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双曲线的简单几何性质及经典习题


知识回顾:
名称 椭
y
y







线

图象

O

x
O

x

平面内到两定点 F1 , F2 的距离的 轨迹叫椭圆。即 MF1 ? MF2 ? 2a 定义 当 2 a ﹥2 c 时,轨迹是椭圆, 当 2 a =2 c 时,轨迹是一条线段

平面内到两定点 F1 , F2 的距离的 的动点的轨迹叫双曲线。即
MF1 ? MF 2 ? 2a

和为常数(大于 F1F2 )的动点的 差的绝对值为常数(小于 F1F2 )

F1 F2
当 2 a ﹤2 c 时,轨迹不存在
2 2

当 2 a ﹤2 c 时,轨迹是双曲线 当 2 a =2 c 时,轨迹是两条射线 当 2 a ﹥2 c 时,轨迹不存在

x2 y2 焦点在 x 轴上时: 2 ? 2 ? 1 x y 焦点在 x 轴上时: 2 ? 2 ? 1 a b a b 2 y x2 焦点在 y 轴上时: 2 ? 2 ? 1 y2 x2 焦点在 y 轴上时: 2 ? 2 ? 1 a b 标 准 a b 注:是根据项的正负来判断焦 注:是根据分母的大小来判断 方程 点所 焦点在哪一坐标轴上 在的位置
a 2 ? c 2 ? b 2 (符合勾股定理的结 c 2 ? a 2 ? b 2 (符合勾股定理的结 常 数 a, b, c 构) 构) 的 关 a ?b ? 0, c?a?0 系 a 最大, c ? b, c ? b, c ? b c 最大,可以 a ? b, a ? b, a ? b
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二、讲解新课: 1.范围、对称性
x2 y2 ? ? 1 可得 x 2 ? a 2 ,当 x ? a 时,y 才有实数值;对于 y 的 a2 b2 任何值,x 都有实数值 这说明从横的方向来看,直线 x=-a,x=a 之间没有图象,

由标准方程

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从纵的方向来看,随着 x 的增大,y 的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向 上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心
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1

2.顶点

顶点: A1 (a,0), A2 ?? a,0? 特殊点: B1 (0, b), B2 ?0,?b? 实轴: A1 A2 长为 2a, a 叫做半实轴长 虚轴: B1B2 长为 2b,b 叫做虚半轴长
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x y ? 2 ? 1 中,令 y=0 2 a b 得 x ? ? a , 故 它 与 x 轴 有 两 个 交 点 A1 (a,0), A2 ?? a,0? , 且 x 轴 为 双 曲 线

讲述:结合图形,讲解顶点和轴的概念,在双曲线方程

2

2

x2 y2 ? ?1 的 对 称 轴 , 所 以 a2 b2 A1 (a,0), A2 ?? a,0? 与其对称轴的交点,称为

y Q B2 A1 O B1

N M A2 x

双曲线的顶点(一般而言,曲线的顶点均指 与其对称轴的交点),而对称轴上位于两顶
x2 y2 点间的线段 A1 A2 叫做双曲线 2 ? 2 ? 1 的 a b 实轴长,它的长是 2a.

在方程

x2 y2 ? ? 1 中 令 x=0 得 a2 b2

y 2 ? ?b 2 ,这个方程没有实数根,说明双曲线和 Y 轴没有交点。但 Y 轴上的两
个特殊点 B1 (0, b), B2 ?0,?b? ,这两个点在双曲线中也有非常重要的作用 把线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长是 2b 要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混 淆
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双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异

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3.渐近线 过双曲线
x2 y2 ? ? 1 的两顶点 A1 , A2 ,作 Y 轴的平行线 x ? ? a ,经过 B1 , B2 a2 b2
2

作 X 轴的平行线 y ? ?b ,四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在
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直线方程是 y ? ?

b x y x( ? ? 0) ,这两条直线就是双曲线的渐近线 a a b

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x2 y2 b x y 分析:要证明直线 y ? ? x ( ? ? 0 )是双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线,即 a a b a b 要证明随着 X 的增大,直线和曲线越来越靠拢
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4.等轴双曲线 a=b 即实轴和虚轴等长,这样的双曲线叫做等轴双曲线

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结合图形说明:a=b 时,双曲线方程变成 x2 ? y 2 ? a2 (或 b 2 ) ,它的实轴和都等 于 2a(2b),这时直线围成正方形,渐近线方程为 y ? ? x 双曲线的实轴和虚轴所成的角
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它们互相垂直且平分

5.共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为 y ? ? 方程就一定是:
b kb x ? ? x(k ? 0) ,那么此双曲线 a ka
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x2 y2 x2 y2 ? ?? ? ? ? 1 ( k ? 0 ) 或写成 a2 b2 (ka) 2 (kb) 2

6.双曲线的草图 利用双曲线的渐近线,可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图 具体做法是:画出双曲线的渐近线,先确定双曲 y 线的顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两
3
F1 A 1
O

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A2

F2

x

点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的 一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 三、讲解范例:
y2 ? 1 的顶点坐标、焦点坐标,实半轴长、虚半轴长和渐近 4 线方程,并作出草图
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例 1 求双曲线 x 2 ?

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x2 y2 ? 1 共渐近线且过 A(3 3,?3) 的双曲线的方程 例 2 求与双曲线 ? 16 9 分析:因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线,故可先设出双曲线系,再把已
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知点代入,求得 K 的值即可

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例 2 (1) 已知双曲线的两条渐近线方程是

y??

3 x 2 ,焦点坐标是 (0,? 26) ,

(0, 26) ,求双曲线的标准方程.
y2 x2 ? ?1 3 (2)求与双曲线 4 有共同的渐近线,且经过点 M (3,?2) 的双曲线的标准

方程. (2)已知双曲线的一条渐近线方程是 3x ? 4 y ? 0 ,且焦距为 8,求此双曲线的 离心率及标准方程.

四、课堂练习: 1.下列方程中,以 x±2y=0 为渐近线的双曲线方程是
x2 y2 ( A) ? ?1 16 4 x2 y2 ( B) ? ?1 4 16 x2 (C ) ? y2 ? 1 2 y2 ( D) x ? ?1 2
2

24.过点(3,0)的直线 l 与双曲线 4x2-9y2=36 只有一个公共点,则直线 l 共有 (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条
x2 y2 ? =1 表示双曲线,其中 a 为负常数,则 k 的取值范围是 3k ? a 4k ? a
4

34.若方程

( )
a a a a a a a a (A)( ,- ) (B)( ,- ) (C)(- , ) (D)(-∞, )∪(- ,+∞) 3 4 4 3 3 4 4 3

45.中心在原点,一个焦点为(3,0),一条渐近线方程 2x-3y=0 的双曲线方程是
13x 2 13 y 2 ? ?1 (A) 81 36 13x 2 13y 2 ? ?1 (B) 36 81

5x 2 5y 2 ? ?1 (C) 36 54

5x 2 5y 2 ? ?1 (D) 54 36

55.与双曲线 ( )

x2 y2 ? ? ? 有共同的渐近线,且一顶点为 (0,9)的双曲线的方程是 9 16

(A) (C)

x2 y2 ? ?1 144 81

(B) ? (D) ?

x2 y2 ? ?1 144 81

x2 y2 ? ?1 16 9

x2 y2 ? ?1 (27 / 4) 81
3 ,则它的共轭双曲线的焦 2

65. 一双曲线焦点的坐标、离心率分别为 ( ? 5 , 0)、 点坐标、离心率分别是 ( ) (A)(0, ? 5),

3 3 3 3 (B)(0, ?5) , (C)(0, ? 5 ) , (D)(0, ? 5 ) , 2 2 5 5

75.双曲线 2kx2-ky2=1 的一焦点是 F(0,4),则 k 等于 (A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16
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( )

1.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2 倍,且一个顶点的坐标为
(0,2) ,则双曲线的标准方程为



x2 y2 ? ?1 2.双曲线与椭圆 16 64 有相同的焦点,它的一条渐近线为 y ? ? x ,则双

曲线方程为


5

3.双曲线的两条渐近线的夹角为 60°,则双曲线的离心率为



5 4.中心在原点,离心率为 3 的圆锥曲线的焦点在 y 轴上,则它的渐近线方程





x2 y2 ? ?1 5.与双曲线 9 16 有共同的渐近线,且经过点 A(?3,2 3) 的双曲线的一

个焦点到一条渐近线的距离是



五、小结 :双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴 长、渐近线方程、等轴双曲线;双曲线草图的画法;双曲线 线是 y ? ?
b x ,但反过来此渐近线对应的双曲线则是 a
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x2 y2 ? ? 1 的渐近 a2 b2

x2 y2 x2 y2 ? ?? 或写成 ? ? ? 1 ( k ? 0 ) a2 b2 (ka) 2 (kb) 2

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