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安徽省宿州市萧县中学2016届高三上学期第一次月考数学(理)试卷


2015-2016 学年安徽省宿州市萧县中学高三(上)第 一次月考数学试卷(理科)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求) 1.已知 A. B. C. D. ,那么 cosα=( )

2.已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则?UP=( A

.[ ,+∞) B. (0, ) C. (0,+∞) D. (﹣∞,0)∪( ,+∞)

)

3.下列命题中,真命题是( A.?x0∈R,e B.?x∈R,2 >x C.x+ ≥2
x

)

≤0
2

D.a +b ≥

2

2

,a,b∈R

4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如 下统计数据表:

收入 x (万元)8.2 支出 y (万元)6.2

8.6 7.5

10.0 8.0

11.3 8.5

11.9 9.8

据上表得回归直线方程 = x+ ,其中 =0.76, = ﹣ 15 万元家庭年支出为( A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元 )

,据此估计,该社区一户收入为

5.设 abc>0,二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象可能是(

2

)

A.

B.

C.

D. 6. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系 统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一, 该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 V≈ 际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3,那么,近似公式 V≈ 体积公式中的 π 近似取为( A. B. C. D. )
2

L h,它实

2

L h 相当于将圆锥

7.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, 则 等于( )

A. B.2 C.3 D.4

8.若函数 y=sin(ωx+φ) (ω>0)的部分图象如图,则 ω=(

)

A.5 B.4 C.3 D.2 9.执行如图所示的程序框图,若输入 n=10,则输出的 S=( )

A. B. C. D.

10.设 a=log32,b=log52,c=log23,则(

)

A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 11.某三棱锥的三视图如图所示,图中网格小正方形的边长为 1,则该三棱锥的体积为

( A.5 B.4 C.3 D.2

)

12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)= f(x) ,当 x∈[0,2)时,f(x)

=

函数 g(x)=x +3x +m.若?s∈[﹣4,2) ,?t∈[﹣4,

3

2

﹣2) ,不等式 f(s)﹣g(t)≥0 成立,则实数 m 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣12] B. (﹣∞,﹣4] C. (﹣∞,8] D. (﹣∞, ]

)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.若 f(x)=ln(e +1)+ax 是偶函数,则 a=__________. 14.如图所示,正方形 ABCD 与正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a<b) ,原点 O 为 AD 的中点,抛物线 y =2px(p>0)经过 C,F 两点,则 =__________.
2 3x

15.记不等式组

所表示的平面区域为 D.若直线 y=a(x+1)与 D 有公共点,则

a 的取值范围是__________. 16.若函数 f(x)=2x ﹣lnx 在其定义域内的一个子区间(k﹣1,k+1)内不是单调函数, 则实数 k 的取值范围是__________.
2

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) * 17.在数列{an}中,已知 a1=﹣20,an+1=an+4(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式和前 n 项和 An; (2)若 bn= (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项 Sn.
*

18.已知定义 x∈[﹣1,1]在偶函数 f(x)满足:当 x∈[0,1]时,f(x)=x+2

,函数 g

(x)=ax+5﹣2a(a>0) , (1)求函数 f(x)在 x∈[﹣1,1]上的解析式: (2)若对于任意 x1,x2∈[﹣1,1],都有 g(x2)>f(x1)成立,求实数 a 的取值范围. 19. 如图, 已知在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D(侧棱垂直底面的棱柱) 中, AD⊥DC, AB∥DC, 1 DC=DD1=2AD=2AB=2. (1)求证:DB⊥平面 B1BCC1; (2)求 BC1 与平面 A1BD 所成的角的正弦值.

20.某网站针对 2014 年中国好声音歌手 A,B,C 三人进行网上投票,结果如下

观众年龄 支持 A 200 20 岁以下 20 岁以上(含 20 岁) 100

支持 B 400 100

支持 C 800 400

(1)在所有参与该活动的人中,用分层抽样的方法抽取 n 人,其中有 6 人支持 A,求 n 的 值; (2)若在参加活动的 20 岁以下的人中,用分层抽样的方法抽取 7 人作为一个总体,从这 7 人中任意抽取 3 人,用随机变量 X 表示抽取出 3 人中支持 B 的人数,写出 X 的分布列并计 算 E(X) ,D(X) .

21.定圆 M:

=16,动圆 N 过点 F

且与圆 M 相切,记圆心 N

的轨迹为 E. (I)求轨迹 E 的方程; (Ⅱ)设点 A,B,C 在 E 上运动,A 与 B 关于原点对称,且|AC|=|CB|,当△ ABC 的面积 最小时,求直线 AB 的方程. 22.已知函数 f(x)=ax+xlnx(a∈R) (1)若函数 f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围; (2)当 a=1 且 k∈z 时,不等式 k(x﹣1)<f(x)在 x∈(1,+∞)上恒成立,求 k 的最大 值.

2015-2016 学年安徽省宿州市萧县中学高三(上)第一次 月考数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求) 1.已知 A. B. C. D. 考点:诱导公式的作用. ,那么 cosα=( )

专题:三角函数的求值. 分析:已知等式中的角变形后,利用诱导公式化简,即可求出 cosα 的值. 解答: 解:sin( +α)=sin(2π+ +α)=sin( +α)=cosα= .

故选 C. 点评:此题考查了诱导公式的作用,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 2.已知 U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则?UP=( A.[ ,+∞) B. (0, ) C. (0,+∞) D. (﹣∞,0)∪( ,+∞) 考点:对数函数的单调性与特殊点;补集及其运算. 专题:计算题. 分析:先求出集合 U 中的函数的值域和 P 中的函数的值域,然后由全集 U,根据补集的定 义可知,在全集 U 中不属于集合 P 的元素构成的集合为集合 A 的补集,求出集合 P 的补集 即可. 解答: 解:由集合 U 中的函数 y=log2x,x>1,解得 y>0, 所以全集 U=(0,+∞) , 同样:P=(0, ) , 得到 CUP=[ ,+∞) . 故选 A. 点评:此题属于以函数的值域为平台,考查了补集的运算,是一道基础题. 3.下列命题中,真命题是( A.?x0∈R,e B.?x∈R,2 >x C.x+ ≥2
x

)

)

≤0
2

D.a +b ≥

2

2

,a,b∈R

考点:基本不等式;命题的真假判断与应用. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由不等式的性质,逐个选项验证即可. x 解答: 解:选项 A,由指数函数的性质可得任意 x 均有 e >0,故错误; x 2 选项 B,当 x=3 时,不满足 2 >x ,故错误;

选项 C,当 x 为负数时,显然 x

为负数,故错误;

选项 D,a +b ﹣

2

2

=



=

≥0,

故 a +b ≥

2

2

,故正确.

答选:D 点评:本题考查不等式的性质,属基础题. 4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如 下统计数据表:

收入 x (万元)8.2 支出 y (万元)6.2

8.6 7.5

10.0 8.0

11.3 8.5

11.9 9.8

据上表得回归直线方程 = x+ ,其中 =0.76, = ﹣ 15 万元家庭年支出为( ) A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元 考点:线性回归方程. 专题:计算题;概率与统计.

,据此估计,该社区一户收入为

分析:由题意可得 和 ,可得回归方程,把 x=15 代入方程求得 y 值即可. 解答: 解:由题意可得 = (8.2+8.6+10.0+11.3+11.9)=10, = (6.2+7.5+8.0+8.5+9.8)=8, 代入回归方程可得 ═8﹣0.76×10=0.4, ∴回归方程为 =0.76x+0.4, 把 x=15 代入方程可得 y=0.76×15+0.4=11.8, 故选:B. 点评:本题考查线性回归方程,涉及平均值的计算,属基础题. 5.设 abc>0,二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象可能是(
2

)

A.

B.

C.

D. 考点:二次函数的图象;函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析:分别从抛物线的开口方向,对称轴,f(0)的符号进行判断即可. 解答: 解:A.抛物线开口向下,∴a<0,又 f(0)=c<0. ∵abc>0,∴b>0,此时对称轴 x= >0,与图象不对应.

B.抛物线开口向下,∴a<0,又 f(0)=c>0. ∵abc>0,∴b<0,此时对称轴 x= <0,与图象不对应.

C.抛物线开口向上,∴a>0,又 f(0)=c<0. ∵abc>0,∴b<0,此时对称轴 x= >0,与图象不对应.

D.抛物线开口向上,∴a>0,又 f(0)=c<0. ∵abc>0,∴b<0,此时对称轴 x= >0,与图象对应.

故选:D. 点评:本题主要考查二次函数的图象和性质,要从抛物线的开口方向,对称轴,以及 f(0) , 几个方面进行研究. 6. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系 统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一, 该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 V≈ 际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3,那么,近似公式 V≈ 体积公式中的 π 近似取为( A. B. C. D. 考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. )
2

L h,它实

2

L h 相当于将圆锥

专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:根据近似公式 V≈ L h,建立方程,即可求得结论.
2

解答: 解:设圆锥底面圆的半径为 r,高为 h,则 L=2πr, ∴ ∴π= . = (2πr) h,
2

故选:B. 点评:本题考查圆锥体积公式,考查学生的阅读理解能力,属于基础题. 7.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, 则 A. B.2 C.3 D.4 考点:向量在几何中的应用. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:虑用特殊值法去做,因为 O 为任意一点,不妨把 O 看成是特殊点,再代入 计算,结果满足哪一个选项,就选哪一个. 解答: 解: ∵O 为任意一点, 不妨把 A 点看成 O 点, 则 ∵M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点,∴ 故选:D. =2 =4 = , 等于( )

点评:本题考查了平面向量的加法,做题时应掌握规律,认真解答. 8.若函数 y=sin(ωx+φ) (ω>0)的部分图象如图,则 ω=( )

A.5 B.4 C.3 D.2 考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析:利用函数图象已知的两点的横坐标的差值,求出函数的周期,然后求解 ω. 解答: 解:由函数的图象可知, (x0,y0)与 是相邻的对称点, 所以函数的周期 T=2( 所以 T= = ,所以 ω= =4. )= , ,纵坐标相反,而且不

故选 B. 点评:本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法,考查学生的视图用图能力. 9.执行如图所示的程序框图,若输入 n=10,则输出的 S=( )

A. B. C.

D. 考点:循环结构. 专题:计算题;图表型. 分析:框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 分别赋值 0 和 2,在输入 n 的值为 10 后,对 i 的值域 n 的值大小加以判断,满足 i≤n, 执行 ,i=i+2,不满足则跳出循环,输出 S.

解答: 解:输入 n 的值为 10,框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 分别赋值 0 和 2, 判断 2≤10 成立,执行 ,i=2+2=4;

判断 4≤10 成立,执行

= ,i=4+2=6;

判断 6≤10 成立,执行

,i=6+2=8;

判断 8≤10 成立,执行

,i=8+2=10;

判断 10≤10 成立,执行

,i=10+2=12;

判断 12≤10 不成立,跳出循环,算法结束,输出 S 的值为



故选 A. 点评:本题考查了循环结构中的当型循环,即先判断后执行,满足条件,执行循环,不满足 条件跳出循环,算法结束,是基础题. 10.设 a=log32,b=log52,c=log23,则( ) A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 考点:对数值大小的比较. 专题:计算题. 分析:判断对数值的范围,然后利用换底公式比较对数式的大小即可. 解答: 解:由题意可知:a=log32∈(0,1) ,b=log52∈(0,1) ,c=log23>1, 所以 a=log32,b=log52= 所以 c>a>b, ,

故选:D. 点评:本题考查对数值的大小比较,换底公式的应用,基本知识的考查. 11.某三棱锥的三视图如图所示,图中网格小正方形的边长为 1,则该三棱锥的体积为

(

)

A.5 B.4 C.3 D.2 考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由三视图及题设条件知,此几何体为一个三棱锥,其高为 2,底面是直角边长度为 3 的等腰直角三角形,故先求出底面积,再由体积公式求解其体积即可. 解答: 解:由已知中三棱锥的三视图,可得该三棱锥的直观图如下所示:

其高为 2,底面是直角边长度为 3 的等腰直角三角形, 故其底面面积 S= ×3×3= , 高 h=2, 故体积 V= =3,

故选:C 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积, 解决本题的关键是得到该几何体的形 状.

12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)= f(x) ,当 x∈[0,2)时,f(x)

=

函数 g(x)=x +3x +m.若?s∈[﹣4,2) ,?t∈[﹣4,

3

2

﹣2) ,不等式 f(s)﹣g(t)≥0 成立,则实数 m 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣12] B. (﹣∞,﹣4] C. (﹣∞,8] D. (﹣∞, ]

)

考点:其他不等式的解法;特称命题. 专题:计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:由 f(x+2)= f(x)得 f(﹣ )=2f( )=2×(﹣2)=﹣4,x∈[﹣4,﹣3],f(﹣ ) =2f(﹣ )=﹣8, ?s∈[﹣4,2) ,f(s)最小=﹣8,借助导数判断:?t∈[﹣4,﹣2) ,g(t)最小=g(﹣4)=m﹣16, 不等式 f(s)﹣g(t)≥0 恒成立,得出 f(s)小=﹣8≥g(t)最小=g(﹣4)=m﹣16,求解即可.

解答: 解:∵当 x∈[0,2)时,f(x)=



∴x∈[0,2) ,f(0)= 为最大值, ∵f(x+2)= f(x) , ∴f(x)=2f(x+2) , ∵x∈[﹣2,0], ∴f(﹣2)=2f(0)=2× =1, ∵x∈[﹣4,﹣3], ∴f(﹣4)=2f(﹣2)=2×1=2, ∵?s∈[﹣4,2) , ∴f(s)最大=2, ∵f(x)=2f(x+2) , x∈[﹣2,0], ∴f(﹣ )=2f( )=2×(﹣2)=﹣4, ∵x∈[﹣4,﹣3], ∴f(﹣ )=2f(﹣ )=﹣8, ∵?s∈[﹣4,2) ,

∴f(s)最小=﹣8, 3 2 ∵函数 g(x)=x +3x +m, 2 ∴g′(x)=3x +6x, 2 3x +6x>0,x>0,x<﹣2, 2 3x +6x<0,﹣2<x<0, 2 3x +6x=0,x=0,x=﹣2, 3 2 ∴函数 g(x)=x +3x +m,在(﹣∞,﹣2) (0,+∞)单调递增. 在(﹣2,0)单调递减, ∴?t∈[﹣4,﹣2) ,g(t)最小=g(﹣4)=m﹣16, ∵不等式 f(s)﹣g(t)≥0, ∴﹣8≥m﹣16, 故实数满足:m≤8, 故选 C. 点评:本题考查了函数的图象的应用,判断最大值,最小值问题,来解决恒成立和存在性问 题,属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.若 f(x)=ln(e +1)+ax 是偶函数,则 a=﹣ .
3x

考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数奇偶性的定义,建立方程关系即可得到结论. 3x 解答: 解:若 f(x)=ln(e +1)+ax 是偶函数, 则 f(﹣x)=f(x) , 即 ln(e +1)+ax=ln(e 即 2ax=ln(e
﹣3x

3x

﹣3x

+1)﹣ax,
3x

+1)﹣ln(e +1)=ln

=ln

=lne

﹣3x

=﹣3x,

即 2a=﹣3,解得 a=﹣ , 故答案为:﹣ , 点评:本题主要考查函数奇偶性的应用,根据偶函数的定义得到 f(﹣x)=f(x)是解决本 题的关键. 14.如图所示,正方形 ABCD 与正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a<b) ,原点 O 为 AD 的中点,抛物线 y =2px(p>0)经过 C,F 两点,则 =
2



考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:可先由图中的点与抛物线的位置关系,写出 C,F 两点的坐标,再将坐标代入抛物线 方程中,消去参数 p 后,得到 a,b 的关系式,再寻求 的值. 解答: 解:由题意可得 , ,

将 C,F 两点的坐标分别代入抛物线方程 y =2px 中,得

2

∵a>0,b>0,p>0,两式相比消去 p 得

,化简整理得 a +2ab﹣b =0,

2

2

此式可看作是关于 a 的一元二次方程,由求根公式得 取 从而 , ,



故答案为: . 点评:本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系,这样才能顺利写出 C,F 的坐标, 接下来是消参,得到了一个关于 a,b 的齐次式,应注意根的取舍与细心的计算.

15.记不等式组 a 的取值范围是[ ,4].

所表示的平面区域为 D.若直线 y=a(x+1)与 D 有公共点,则

考点:简单线性规划. 专题:压轴题;不等式的解法及应用.

分析:本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件 的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,然后将其代入 y=a(x+1)中,求出 y=a(x+1) 对应的 a 的端点值即可. 解答: 解:满足约束条件 的平面区域如图示:

因为 y=a(x+1)过定点(﹣1,0) . 所以当 y=a(x+1)过点 B(0,4)时,得到 a=4, 当 y=a(x+1)过点 A(1,1)时,对应 a= . 又因为直线 y=a(x+1)与平面区域 D 有公共点. 所以 ≤a≤4. 故答案为:[ ,4]

点评:在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行 域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优解. 16.若函数 f(x)=2x ﹣lnx 在其定义域内的一个子区间(k﹣1,k+1)内不是单调函数, 则实数 k 的取值范围是[1, ) .
2

考点:利用导数研究函数的单调性. 分析:先对函数进行求导,根据导函数大于 0 时原函数单调递增,导函数小于 0 时原函数单 调递减得解. 解答: 解:因为 f(x)定义域为(0,+∞) , 又 f'(x)=4x﹣ ,由 f'(x)=0,得 x= .

据题意,

,解得 1≤k<

故答案为:[1, ) 点评:本题主要考查函数的单调性与导函数的关系.属基础题.

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.在数列{an}中,已知 a1=﹣20,an+1=an+4(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式和前 n 项和 An; (2)若 bn= (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项 Sn.
* *

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)根据条件判断数列为等差数列即可求数列{an}的通项公式; (2)求出数列{bn}的通项公式,利用裂项法进行求和即可. * 解答: 解: (1)∵数列{an}满足 an+1=an+4(n∈N ) , ∴数列{an}是以公差为 4,以 a1=﹣20 为首项的等差数列. * 故数列{an}的通项公式为 an=﹣20+4(n﹣1)=4n﹣24, (n∈N ) , 2 * 数列{an}的前 n 项和 An=2n ﹣22n, (n∈N ) , (2)∵bn= = = ﹣ , =1﹣ = .

∴前 n 项和公式 Sn=1

+…+ ﹣

点评: 本题主要考查等差数列的通项公式以及数列求和的应用, 利用裂项法是解决本题的关 键. 18.已知定义 x∈[﹣1,1]在偶函数 f(x)满足:当 x∈[0,1]时,f(x)=x+2 ,函数 g

(x)=ax+5﹣2a(a>0) , (1)求函数 f(x)在 x∈[﹣1,1]上的解析式: (2)若对于任意 x1,x2∈[﹣1,1],都有 g(x2)>f(x1)成立,求实数 a 的取值范围. 考点:函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)可设 x∈[﹣1,0],则﹣x∈[0,1],可得到 f(﹣x) ,然后利用奇偶性得到 f(x) , 再合并成分段函数的形式给出结果; (2)结合图象分析:只需 g(x)min≥f(x)max,然后再分别求出两函数相应的最值即可. 解答: 解: (1)设 x∈[﹣1,0],则﹣x∈[0,1],结合函数 f(x)是[﹣1,1]上的偶函数, 所以 f(x)=f(﹣x)=﹣x+ ,所以 .

(2)因为对任意的 x1,x2∈[﹣1,1],都有 g(x2)>f(x1)成立,则只需 g(x)min≥f(x) max, 又因为 y=f(x) ,x∈[﹣1,1]是偶函数,所以 f(x)的值域就是 f(x)在[0,1]值域. 而当 x∈[0,1]时,f(x)=x+2
2 2

,令 t=

, ],显然 t=1 时 f(x)max=3,

原函数化为 y=﹣t +2t+2=﹣(t﹣1) +3,t∈[1,

又因为 g(x)min=﹣3a+5,则由题意得 解得 0 即为所求.



点评: 本题的第二问实际上是与两个函数有关的恒成立问题, 这种类型一般分别求出两个函 数的最值,然后列出不等式求解. 19. 如图, 已知在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D(侧棱垂直底面的棱柱) 中, AD⊥DC, AB∥DC, 1 DC=DD1=2AD=2AB=2. (1)求证:DB⊥平面 B1BCC1; (2)求 BC1 与平面 A1BD 所成的角的正弦值.

考点:直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)首先根据题中的已知条件找到线线垂直,进一步找到线面垂直的条件,来证明线 面垂直. (2)要求直线与平面的夹角,首先找到直线与平面所成角的平面角,然后利用余弦定理来 求解. 解答: 证明: (1)设 E 是 DC 的中点,连结 BE,则四边形 DABE 为正方形. ∴BE⊥CD,故 BD= ,BC= ,CD=2 ∴∠DBC=90°即:BD⊥BC ∵BD⊥BB1 BB1∩BC=B ∴BD⊥平面 BCC1B1 (2)由(1)知∴BD⊥平面 BCC1B1 BC1?平面 BCC1B1 ∴BD⊥BC1 取 BD 的中点 F,连结 A1F,A1D=A1B A1F⊥BD 取 DC1 的中点 M,连结 FM, 则:FM∥BC1 ∴FM⊥BD ∴BD⊥平面 A1FM 过 M 向平面 A1FM 作垂线,垂足必落在 A1F 上, ∴∠A1FM 为直线 BC1 与平面 A1BD 所成的角.

连结 A1M,在△ A1FM 中, 取 D1C1 的中点 H,连结 A1H,HM 在 Rt△ A1HM 中,

FM=

=



=

∴直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的正弦值为

点评:本题考查的知识点:线面垂直的判定,线面垂直的性质定理,直线与平面所成的角, 余弦定理勾股定理及相关的运算问题. 20.某网站针对 2014 年中国好声音歌手 A,B,C 三人进行网上投票,结果如下
观众年龄 支持 A 200 20 岁以下 20 岁以上(含 20 岁) 100 支持 B 400 100 支持 C 800 400

(1)在所有参与该活动的人中,用分层抽样的方法抽取 n 人,其中有 6 人支持 A,求 n 的 值; (2)若在参加活动的 20 岁以下的人中,用分层抽样的方法抽取 7 人作为一个总体,从这 7 人中任意抽取 3 人,用随机变量 X 表示抽取出 3 人中支持 B 的人数,写出 X 的分布列并计 算 E(X) ,D(X) . 考点:离散型随机变量的期望与方差;极差、方差与标准差. 专题:应用题;概率与统计. 分析: (1)根据分层抽样时,各层的抽样比相等,结合已知构造关于 n 的方程,解方程可得 n 值. (2)X=0,1,2,求出相应的概率,可得 X 的分布列并计算 E(X) ,D(X) . 解答: 解: (1)∵利用层抽样的方法抽取 n 个人时,从“支持 A 方案”的人中抽取了 6 人, ∴ 解得 n=40, (2)X=0,1,2 ,

X P

0

1

2

∴E (X) =1× +2× = , D (X) =

=



点评:本题考查分层抽样方法和等可能事件的概率,考查离散型随机变量的期望与方差,正 确运用公式是关键.

21.定圆 M:

=16,动圆 N 过点 F

且与圆 M 相切,记圆心 N

的轨迹为 E. (I)求轨迹 E 的方程; (Ⅱ)设点 A,B,C 在 E 上运动,A 与 B 关于原点对称,且|AC|=|CB|,当△ ABC 的面积 最小时,求直线 AB 的方程. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I) 因为|NM|+|NF|=4>|FM|, 所以点 N 的轨迹 E 为椭圆, 且 , 所以 b=1, 从而可求求轨迹 E 的方程; (Ⅱ)分类讨论,直线 AB 的方程为 y=kx,代入椭圆方程,求出|OA|,|OC|,可得 S△ ABC=2S△ OAC=|OA|×|OC|,利用基本不等式求最值,即可求直线 AB 的方程. 解答: 解: (Ⅰ)因为点 在圆 内,所以圆 N 内切 ,所以 b=1,

于圆 M,因为|NM|+|NF|=4>|FM|,所以点 N 的轨迹 E 为椭圆,且 所以轨迹 E 的方程为 .…

(Ⅱ) (i)当 AB 为长轴(或短轴)时,依题意知,点 C 就是椭圆的上下顶点(或左右顶点) , 此时 |AB|=2.…

(ii)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设其斜率为 k,直线 AB 的方程为 y=kx,

联立方程





所以|OA| =

2

.…

由|AC|=|CB|知,△ ABC 为等腰三角形,O 为 AB 的中点,OC⊥AB,所以直线 OC 的方程为 ,



解得



=



,…

S△ ABC=2S△ OAC=|OA|×|OC|=



由于 ,…

,所以

当且仅当 1+4k =k +4,即 k=±1 时等号成立,此时△ ABC 面积的最小值是 , 因为 ,所以△ ABC 面积的最小值为 ,此时直线 AB 的方程为 y=x 或 y=﹣x.…

2

2

点评:本题考查椭圆方程,考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查基本不等式的运用,考查 学生分析解决问题的能力,属于中档题. 22.已知函数 f(x)=ax+xlnx(a∈R) (1)若函数 f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围; (2)当 a=1 且 k∈z 时,不等式 k(x﹣1)<f(x)在 x∈(1,+∞)上恒成立,求 k 的最大 值. 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:综合题;导数的概念及应用. 分析: (1)易求 f′(x)=a+1+lnx,依题意知,当 x≥e 时,a+1+lnx≥0 恒成立,即 x≥e 时,a≥ (﹣1﹣lnx)max,从而可得 a 的取值范围; (2)依题意, 对任意 x>1 恒成立,令 则

,再令 h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1) ,易知 h(x)在(1,+∞)上单 增,从而可求得 g(x)min=x0∈(3,4) ,而 k∈z,从而可得 k 的最大值. 解答: 解: (1)∵f(x)=ax+xlnx, ∴f′(x)=a+1+lnx,又函数 f(x)在区间[e,+∞)上为增函数, ∴当 x≥e 时,a+1+lnx≥0 恒成立, ∴a≥(﹣1﹣lnx)max=﹣1﹣lne=﹣2,即 a 的取值范围为[﹣2,+∞) ; (2)当 x>1 时,x﹣1>0,故不等式 k(x﹣1)<f(x)?k< 即 对任意 x>1 恒成立. ,







令 h(x)=x﹣lnx﹣2(x>1) , 则 在(1,+∞)上单增.

∵h(3)=1﹣ln3<0,h(4)=2﹣ln4>0, ∴存在 x0∈(3,4)使 h(x0)=0, 即当 1<x<x0 时,h(x)<0,即 g′(x)<0, 当 x>x0 时,h(x)>0,即 g′(x)>0,∴g(x)在(1,x0)上单减,在(x0,+∞)上单 增. 令 h(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,即 lnx0=x0﹣2, =x0∈(3,4) , ∴k<g(x)min=x0 且 k∈Z, 即 kmax=3. 点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值, 着重考查等 价转化思想与函数恒成立问题,属于难题.


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