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2014年高中数学复习方略课时作业:8.7抛 物 线(人教A版·数学文·四川专用)]


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课时提升作业(五十三)
一、选择题 1.(2013· 海口模拟)若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点在圆 x2+y2+2x-3=0 上, 则 p=( (A)
1 2

) (

B)1 (C)2 (D)3

2.设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点 的距离是 ( (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 )

3.正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线 y2=4x 上,则 这个正三角形的边长为( )

? A? 4

3

? B? 8

3

? C? 8

? D?16

4.已知抛物线 y2=2px(p>0)上的一点 M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为 5, 双曲线
x2 ? y 2 ? 1 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实 a

数 a 的值为(

)

?A?

1 9

? B?

1 4

? C?

1 3

? D?

1 2

5.过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这样的直 线共有

( (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条

)

6.(2013·哈尔滨模拟)直线 y=x-3 与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点,过 A,B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 P,Q,则梯形 APQB 的 面积为( (A)48 ) (B)56 (C)64 (D)72

7.(2013·西安模拟)若双曲线 F2,线段 F1F2 被抛物线 x ? 离心率为( )

x 2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1, a 2 b2

1 2 y 的焦点分成 3∶2 的两段,则此双曲线的 2b

?A?

9 8

? B?

6 37 37

?C ?

5 3 3

?D?
1 4

5 21 21

8.(能力挑战题)若已知点 Q(4, 0)和抛物线 y ? x 2 ? 2 上一动点 P(x,y), 则 y+|PQ|最小值为( (A) 2 ? 2 5 二、填空题 9.以抛物线 x2=16y 的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程 为_______. 10.抛物线 y ? m=_______. 11.(能力挑战题)如图,抛物线 C1:y2=4x 和圆 C2:(x-1)2+y2=1,直线 l 经过 C1 的焦点 F,依次交 C1,C2 于 A,B,C,D 四点,则 AB CD 的值是 _______.
1 2 y2 x 2 x 的焦点与双曲线 ? ? 1 的上焦点重合,则 16 3 m

) (C) 1 ? 2 6 (D)6

(B)11

三、解答题 12.已知圆心为 P 的动圆与直线 y=-2 相切, 且与定圆 x2+(y-1)2=1 内切, 记点 P 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程. (2)设斜率为 2 2 的直线与曲线 E 相切,求此时直线到原点的距离. 13.(2013·烟台模拟)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程. (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于 若不存在,说明理由. 14.(2013·武汉模拟)如图,椭圆 C:
x 2 y2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上,左右 a2 2

5 ?若存在, 求出直线 l 的方程; 5

顶点分别为 A1,A,上顶点为 B,抛物线 C1,C2 分别以 A,B 为焦点,其顶 点均为坐标原点 O,C1 与 C2 相交于直线 y ? 2x 上一点 P.

(1)求椭圆 C 及抛物线 C1,C2 的方程. (2)若动直线 l 与直线 OP 垂直,且与椭圆 C 交于不同两点 M,N,已知点
Q ? 2, 0 ,

?

?

求 QM QN 的最小值.

答案解析
1.【解析】选 C.由已知( ,0)在圆 x2+y2+2x-3=0 上, 所以有
p2 p ? 2 ? ? 3 ? 0, 4 2
p 2

即 p2+4p-12=0,解得 p=2 或 p=-6(舍去). 2. 【解析】 选 B.∵点 P 到 y 轴的距离是 4, 延长使得和准线相交于点 Q, 则|PQ|等于点 P 到焦点的距离,而|PQ|=6,所以点 P 到该抛物线焦点 的距离为 6.

【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的 技巧 抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转 化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离;(2)若求点 到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意. 3.【解析】选 B.设其中一个顶点为 ? x, 2 x ?, ∵是正三角形,∴
2 x 3 ? tan 30? ? , x 3

即 ? , ∴x=12. ∴除原点外的另外两个顶点是 (12, 4 3)与(12, ? 4 3), ∴这个正三角形的边长为 8 3. 4.【解析】选 A.由已知得 1+ =5,∴p=8. ∴y2=16x,又 M(1,m)在 y2=16x 上, ∴m2=16(m>0),∴m=4,∴M(1,4). 又双曲线 又 k AM ?
x2 1 a ? y 2 ? 1的左顶点 A ? a , 0 , 一条渐近线为 y ? x? x. a a a
p 2

4 x

1 3

?

?

a 4 a 1 ,? ? , 解得a ? . a a 9 1? a

5.【解析】选 C.作出图形,可知点(0,1)在抛物线 y2=4x 外.因此,过 该点可作抛物线 y2=4x 的切线有两条,还能作一条与抛物线 y2=4x 的对 称轴平行的直线,因此共有三条直线与抛物线只有一个交点. 6.【解析】选 A.由题不妨设 A 在第一象限,联立 y=x-3 和 y2=4x 可得 A(9,6),B(1,-2),而准线方程是

x=-1,所以 AP=10,QB=2,PQ=8, 故 S 梯形 APQB= (AP+QB)·PQ=48. 7.【解析】选 D.由已知得 F1(-c,0),F2(c,0), 抛物线 x ? 依题意
FF 1
1 2 b y, 即 y2=2bx 的焦点 F( , 0), 2b 2 1 2

3 ? . FF2 2

b ?c 3 即 2 ? , 得:5b=2c?25b2=4c2, b 2 c? 2

又 b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2, 解得 c ?
5 21 a. 21 c a 5 21 . 21
x2 ? 2 的准线是 y=1,焦点 F(0,3).用抛物 4

故双曲线的离心率为 ?

8.【解析】选 D.抛物线 y ?

线的定义:设 P 到准线的距离为 d,则 y+|PQ|=d+1+|PQ|=|PF|+|PQ|+1 ≥|FQ|+1=5+1=6,(当且仅当 F,Q,P 共线时取等号)故 y+|PQ|的最小值 是 6. 9.【解析】抛物线 x2=16y 的焦点为(0,4),准线方程为 y=-4,故圆的圆 心为 (0,4),又圆与抛物线的准线相切,所以圆的半径 r=4-(-4)=8,所以圆 的方程为 x2+(y-4)2=64. 答案:x2+(y-4)2=64 10.【解析】因为抛物线 y ?
1 2 2 x 的标准方程为 x =16y,焦点坐标为(0, 16

4),又因为双曲线

y2 x 2 ? ? 1 的上焦点坐标为 0, 3 ? m , 依题意有 3 m

?

?

解得 m=13. 4 ? 3 ? m, 答案:13 【误区警示】本题易出现 y ?
1 2 1 x 的焦点为(0, )的错误,原因是对 16 64

抛物线的标准方程记忆不准确. 11.【解析】由于抛物线 C1 的焦点 F 也是圆 C2 的圆心(1,0), 则 AB ? AF ? 1 ? x A ,
CD ? DF ? 1 ? x D , ? AB CD ? x A x D ? p2 ? 1, 4

? AB CD ? AB CD ? 1.

答案:1 12.【解析】(1)由题意,得点 P 到直线 y=-1 和点(0,1)距离相等, ∴点 P 的轨迹是以点(0,1)为焦点,以直线 y=-1 为准线的抛物线, ∴曲线 E 的方程是 x2=4y. (2)设斜率为 2 2 的直线方程为 y ? 2 2x ? m, 由? ?
? y ? 2 2x ? m, ? ? x ? 4y,
2

消去 y,得 x2- 8 2 x-4m=0,

由直线与曲线 E 相切,得Δ=(- 8 2 )2+16m=0, 得 m=-8, ∴直线方程为 y= 2 2x -8,即 2 2x -y-8=0. ∴原点到直线的距离为 d ?
?8

?2 2 ?

2

?1

8 ? . 3

13.【解析】(1)将(1,-2)代入 y2=2px,得(-2)2=2p〓1, 所以 p=2.故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. (2)存在.假设存在符合题意的直线 l, 其方程为 y=-2x+t. 由?
? y ? ?2x ? t, ? y ? 4x,
2

得 y2+2y-2t=0.

∵直线 l 与抛物线 C 有公共点, ∴Δ=4+8t≥0,解得 t ? ? . 由直线 OA 与 l 的距离 d ? 解得 t=〒1. ∵-1?[ ? , +∞),1∈[ ? , +∞). ∴符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0. 14. 【解析】 (1)由题意 A(a,0),B(0, 2 ), 设抛物线 C1 的方程为 y2=4ax, 抛物线 C2 的方程为 x2= 4 2 y,由
? y 2 ? 4ax, ? ? 2 ? x ? 4 2y ? a ? 4, P(8, 8 2 ), ? ? ? y ? 2x,
1 2 1 2 1 2

t 5 1 ,可得 ? , 5 5 5

∴椭圆 C:

x 2 y2 ? ? 1. 16 2

抛物线 C1:y2=16x, 抛物线 C2:x2=4 2 y. (2)由(1)得直线 OP 的斜率为 2 , ∴直线 l 的斜率 k ? ?
2 , 2

设直线 l:y= ?

2 x+b, 2

? x 2 y2 ? ? 1, ? ? 16 2 由? 消去 y,得 ? y ? ? 2 x ? b, ? ? 2

5x2- 8 2 bx+8b2-16=0. ∵动直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点, ∴Δ=128b2-20(8b2-16)>0.
?? 10 ? b ? 10.

设 M(x1,y1),N(x2,y2), ∴x1+x2=
y1 y 2 ? (?
8b2 ? 16 8 2b . , x1x2= 5 5

2 2 x1 ? b)( ? x 2 ? b) 2 2 1 2b b2 ? 8 ? x1 x 2 ? . ? x1 ? x 2 ? ? b 2 ? 2 2 5

QM ? x1 ? 2, y1 , QN ? x 2 ? 2, y 2 , ? QM QN ? x1 ? 2 x 2 ? 2 ? y1 y 2 ? x1x 2 ? 2 ? x1 ? x 2 ? ? 2 ? y1y 2 ? 9b 2 ? 16b ? 14 , 5

?

?

?

??

?

?

?

? 10 ? b ? 10,

∴当 b ? ? 时, QM QN 取得最小值,其最小值为

8 9 9 8 16 8 14 38 ? (? ) 2 ? ? (? ) ? ? ? . 5 9 5 9 5 9

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