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【金版学案】2014-2015学年高中数学(人教必修一)课时训练:3 函数的应用 本章小结


数学· 必修 1(人教 A 版)

一、零点 1.零点定义:对于函数 y=f(x),我们把使得方程 f(x)=0 的实 数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. 特别关注:零点不是点,而是实数. 2.函数零点与方程根之间的等价关系: 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. 3.函数零点存在性定理:如果函

数 y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函数 y=f(x) 在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也 就是方程 f(x)=0 的根.

特别关注:正确理解函数零点存在性定理. 若函数 y=f(x)图象在[a,b]上是连续的, A.f(a)· f(b)<0,则 y=f(x)在(a,b)内有零点? 对 B.f(a)· f(b)>0,则 y=f(x)在(a,b)内有零点? 不一定 C.f(a)· f(b)<0,则 y=f(x)在(a,b)内只有一个零点? 不一定 D.y=f(x)在(a,b)内有零点,则 f(a)· f(b)<0? 不一定 得出结论:(1)函数零点的存在性定理,只是判断函数在某区间

有零点的其中一种方法, 不是唯一方法, 且不能确定零点的个数有多 少.(2)不能由存在性定理的结论反推出条件.

4.判断函数零点个数的求法: 方法一,解对应方程的实根; 方法二, 画出函数图象, 图象与 x 轴的交点个数即为函数的零点 个数; 方法三, 对于超越方程, 则可以将超越方程分解为两个基本的初 等函数,两个初等函数的交点个数,即为原函数零点的个数. 方法四,若是单调函数,则可以利用函数零点存在性定理,判断 出原函数只有一个零点.

二、二分法 1.二分法定义:对于区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间 的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2.利用二分法求近似解的解题步骤: (1)确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε. (2)求区间(a,b)的中点 c. (3)计算 f(c): ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)· f(c)<0,则令 b= c[此时零点 x0∈(a, c)]; ③若 f(c)· f(b)<0,则令 a= c[此时零点 x0∈( c, b)]. (4)判断是否达到精确度 ε: 即若|a-b|<ε, 则得到零点近似值 a(或 b);否则重复步骤(2)~(4). 特别关注:首先要注意判断函数是否可用二分法求零点;其次, 用二分法求零点时要根据函数性质尽可能地找到含有零点的更小的 区间,这样可以减少用二分法的次数,减少运算量. 三、函数模型及应用 1.几类不同增长的函数模型. (1)一次函数模型:y=ax+b;

(2)二次函数模型:y=ax2+bx+c(a≠0); (3)指数函数模型:y=ax(a>0,且 a≠1); (4)对数函数模型:y=logax(a>0,且 a≠1); (5)幂函数模型:y=xα; (6)分段函数模型. 特别关注: 指数增长模型是爆炸性增长模型, 其增长速度非常惊 人. 2.指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较. (1)在区间(0,+∞)上,尽管函数 y=ax(a>1),y=logax(a>1)和 y = xn(n>0) 都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个 “档次”上.随着 x 的增大, y= ax (a>1),增长速度越来越快,会 超过并远远大于 y= xn(n>0)的增长速度,而 y=logax (a>1)的增长速 度越来越慢.因此总存在一个 x0,当 x>x0 时,就有 logax<xn<ax. (2)在区间(0, +∞)上, 尽管函数 y= ax (0<a<1), y=logax(0<a<1) n 和 y= x (n<0)都是减函数,但它们的衰减速度不同,而且不在同一 个“档次”上.随着 x 的增大,y=logax (0<a<1)的衰减速度比 y= xn(n<0)和 y=ax (0<a<1)的衰减得快.因此总存在一个 x0,当 x> x0 时,就有 logax<xn<ax. 3.解决应用问题的基本步骤: (1)实际应用题 → 明确题意,找出题设与结论的数学关系—— 数量关系和空间位置关系; (2)在分析联想的基础上,转化为数学问题,抽象构建成一个或 几个数学模型来解; (3)阅读、分析、联想、转化、抽象; (4)建立数学模型; (5)运用数学知识作为工具; (6)解答数学问题; (7)解决实际问题(作答).

函数零点的判断 1.函数零点存在性定理:若函数 y=f(x)的零点在区间[a,b]上

的图象是一条连续不断的曲线,且 f(a)· f(b)<0,则函数 y=f(x)在区间 (a,b)内有零点.

2.求曲线和 x 轴的交点的横坐标,就是求函数的零点,即求方 程的根. 已知函数 f(x)=3x-x2,问方程 f(x)=0 在区间[-1,0]内有 没有实数根?为什么? 2 解析:∵f(-1)=3-1-(-1)2=- <0, 3 0 x f(0)=3 -0=1>0,函数 f(x)=3 -x2 的图象是连续曲线,所以 f(x)在区间[-1,0]内有实数根.

?跟踪训练
?1? 1.设函数 y=x3 与 y=?2?x-2 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在 ? ?

的区间是( ) A.(0,1) C.(2,3)

B.(1,2) D.(3,4)

解析:令 g(x)=x3-22-x,则有 g(0)<0,g(1)<0,g(2)>0,g(3) >0,g(4)>0.故函数 g(x)的零点所在区间为(1,2).选 B. 答案:B
2 2. 已知 f(x)=2+log3x(1≤x≤9), 判断函数 g(x)=f2(x)+f(x )有 无零点,并说明理由.

解析:∵log3x 在区间[1,9]上为增函数,且 g(x)=f2(x)+f(x2). ∴1≤x2≤9. ∴1≤x≤3.故 g(x)的定义域为[1,3]. g(x)=f2(x)+f(x2) =4+4log3x+(log3x)2+2+log3x2 =6+6log3x+(log3x)2. 在区间[1,3]上,g(x)也为增函数. 所以 g(x)>g(1)=6,所以 g(x)无零点.

二分法的应用 1. 对于在区间[a,b]上连续不断,且满足 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二,使 区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做 二分法.

2.给定精确度 ε,用二分法求函数零点近似值的步骤: (1)确定初始区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε. a+b (2)求区间(a,b)的中点 x1(将 称为区间[a,b]的中点) . 2 (3)计算 f(x1): ①若 f(x1)=0,则 x1 是函数的零点; ②若 f(a)· f(x1)<0,则令 b=x1[此时零点 x0∈(a,x1)]; ③若 f(x1)· f(b)<0,则令 a=x1[此时零点 x0∈(x1,b)]. (4)判断是否达到精确度 ε, 即若|a-b|<ε, 则得到零点近似值 a(或 b);否则重复(2)~(4)步骤. 用二分法求函数 f(x)=x3-x-1 在区间[1,1.5]内的一个零点 (精确度 0.1). 解析: 由于 f(1) = 1 - 1 - 1 =- 1<0 , f(1.5) = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875>0, ∴f(x)在区间[1,1.5]上存在零点, 取区间[1,1.5]作为计算的初始区间, 用二分法逐次计算列表如下: 端(中)点 中点函数值 坐标 符号 1.25 1.375 1.312 5 f(1.25)<0 f(1.375)>0 f(1.312 5)<0

零点所 在区间 [1,1.5] [1.25,1.5] [1.25,1.375] [1.312 5,1.375]

|an-bn| 0.5 0.25 0.125 0.062 5

∵|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1, ∴函数的零点落在区间长度小于 0.1 的区间[1.312 5,1.375]内, 故函数零点的近似值为 1.3.

x y=2x y=x2

?跟踪训练 3.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表: 3. 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.4 0 8. 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 10.556 0 9. 0.04 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 11.56 0 那么方程 2x=x2 的一个根位于下列区间的( A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8) C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0) )

? ? ?

解析: 由 f(0.6)=1.516-0.36>0, f(1.0)=2.0-1.0>0, 故排除 A; 由 f(1.4)=2.639-1.96>0,f(1.8)=3.482-3.24>0,故排除 B; 由 f(1.8)=3.482-3.24>0,f(2.2)=4.595-4.84<0,故可确定方 x 程 2 =x2 的一个根位于下列区间(1.8,2.2),选 C. 答案:C

利用散点图、函数拟合建立函数模型 在没有给出具体模型的问题中, 要根据题目中的有关数据描绘出 基本草图, 然后根据直观性, 去和已学过的有关函数图象对照、 比较, 由此猜测函数模型. 在解此类问题的过程中, 首先需要在实际的情境 中去理解、分析所给的一系列数据,舍弃与解题无关的因素,抽象转 化为数学模型.

某县 2005—2010 年财政收入情况如下: 年份 2005 2006 2007 2008 2009 2010

收入/万元 25 899 30 504 37 997 48 898 66 800 85 000 (1)请建立一个数学模型,预测该县以后几年的财政收入情况; (2)计算该县财政收入的平均增长率, 并结合(1)分别预测 2011 年 该县财政收入,并讨论哪一种预测结果更具有可行性. 解析: (1)利用描点法,过 A(1,2.59) , B(2 , 3.05), C(3,3.80), D(4,4.89),E(5,6.68),F(6,8.50)画一条光滑的曲线,如下图所示, 其中年份第一年为 2005 年,第二年为 2006 年,其他依次类推.

通过直观判断函数图象, 它可以和前面已学过的两种函数模型进 行比较: 模型一:设 f(x)= ax+b (a>0,a≠1 ), 将 A、B、C 三点的坐标代入,得 f?1?=a+b=2.59, ? ? ?f?2?=a2+b=3.05, ? ?f?3?=a3+b=3.80
?a≈1.35, ? ?? ? ?b≈1.25.

∴f(x)= 1.35x+1.25. 计算得 f(4)≈4.57,f(5)≈5.73,f(6)≈7.30,它们与实际的误差分 别为 0.32,0.95,1.20. 模型二:设 g(x)= ax2+bx+c (a≠0,x≥1), 将 A、B、C 三点的坐标代入,得 g?1?=a+b+c=2.59, ? ? ?g?2?=4a+2b+c=3.05, ? ?g?3?=9a+3b+c=3.80 a=0.145, ? ? ??b=0.025, ? ?c=2.42.

∴g(x)= 0.145x2+0.025x+2.42.

计算得 g(4)≈4.84,g(5)≈6. 17,g(6)≈7.79, 它们与实际的误差分别为 0.05,0.51,0.71. 对两个函数模型进行对比,发现 g(x)与实际的误差较小, 所以用函数模型 g(x)= 0.145x2+0.025x+2.42 (x≥1)较好. (2)设年财政收入平均增长率为 a, 由 2005 年和 2010 年财政收入, 则有 2.59(1+a)5= 8.5,解得 a≈26.83%. 从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型: h(x)= 2.59(1+26.83%)x-1. 用 g(x)和 h(x)分别预测 2011 年的财政收入是: g(7)= 9.7(亿元),h(7)= 10.78(亿元). 从该县经济发展趋势看,两种预测都有可能,但是选择 g(x)模型 比较稳妥. 点评: 在没有给出具体模型的问题中, 首先要由已知数据描绘出 函数草图, 然后联想熟悉的函数图象, 通过检测所求函数模型与实际 误差的大小,探求相近的数学关系,预测函数的可能模型. ?跟踪训练 4.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表: 身高/cm 体重/kg 身高/cm 体重/kg 60 6.13 70 7.90 80 9.99 90 100 110 12.15 15.02 17.50

120 130 140 150 160 170 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05

若体重超过相同身高男性平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为 偏瘦,那么这个地区一名身高 175 cm,体重为 78 kg 的在校男生的 体重是否正常? 解析:以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出由离散点构成的草 图,如下图所示.

根据点的分布情况, 结合以前学过的指数函数图象特征, 可猜测 x 以 y = ab (b>0,b≠1 )为男性的体重与身高关系的函数模型. 把点(70,7.90)、(160,47.25)代入函数以 y = abx 中,得 70 ? ? ?ab =7.90, ?a≈2, ? 160 使用计算器可求得? ?ab =47.25. ?b≈1.02. ? ? x 所以,函数模型为 y = 2×1.02 . 用计算器验证其他点与模拟函数的关系,发现拟和程度相符. 再将 x =175 代入函数式 y = 2×1.02x,即 y = 2×1.02175, 用计算器求得 y≈63.98. 78 因为 ≈1.22>1.2,所以,这个男生偏胖. 63.98

数学思想方法的应用 数形结合的思想方法是根据数量与图形的对应关系, 通过数与形 的相互转化来解决问题的一种思想方法. 转化与化归的思想方法则是 将问题不断转化, 直到转化为比较容易解决或已经解决的问题. 而分 类讨论的核心是通过增强条件来分情况逐一研究,使问题易于解决. 一、数形结合思想 二次函数 y=x2+(a-3)x+1 的图象与 x 轴的两个交点的 横坐标分别为 x1、x2,且 x1<2,x2>2,如图所示,则 a 的取值范围 是( )

A.a<1 或 a>5 1 C.a<- 或 a>5 2

B.a<

1 2

1 D.- <a<1 2

1 解析:由题意可得 f(2)<0,即 4+(a-3)×2+1<0,解得 a< . 2 答案:B

?跟踪训练 5.已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2(其中 a<b),且 α、β 是方程 f(x) =0 的两根(α<β),则实数 a、b、α、β 的大小关系为( ) A.α<a<b<β B.α<a<β<b C.a<α<b<β D.a<α<β<b

解析:a,b 是方程 g(x)=(x-a)(x-b)=0 的两根,在同一坐标 系中作出函数 f(x)、g(x)的图象(如下图所示),知 α<a<b<β.选 A.

答案:A 6.函数 f(x)=x2-4|x|+5-m 恰有三个零点,则实数 m 的取值 集合为________.

解析:函数 f(x)=x2-4|x|+5-m 恰有三个零点,等价于函数 y1=x2-4|x|+5 与 y2=m 的图象恰有三个公共点(如下图).知 m=5.

答案:{5} 二、函数与方程思想 一个人以 6 米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车,当他 离汽车 25 米时,交通灯由红变绿,汽车以 1 米 / 秒 2 的加速度匀加 速开走,那么( ) A.人可在 7 米内追上汽车 B.人可在 10 米内追上汽车 C.人追不上汽车,其距离最近为 5 米 D.人追不上汽车,其距离最近为 7 米 1 解析:若经 t 秒人刚好追上汽车,则 s+25=6 t,由 s= t2,得 2 12 t -6t+25=0?t2-12t+50=0. 2 因为 Δ<0,所以人追不上汽车. 考虑距离差 1 1 d=(s+25)-6t= t2-6t+25= (t-6)2+7, 2 2 故当 t = 6 时,d 有最小值 7 , 即人与汽车最少相距 7 米, 故 选 D. 答案:D

?跟踪训练 7. 函数 f(x)=a|x|-x-a 恰有两个零点, 则实数 a 的取值范围是: ________.

解析:函数 f(x)=a|x|-x-a 恰有两个零点等价于函数 y=a|x|与 y=x+a 的图象恰有两个公共点. 画出 y=a|x|与 y=x+a 的图象如下:

情形 1:?

?a>0, ?a>1

?a>1. ?a<-1.

?a<0, ? 情形 2:? ?a<-1 ?

答案:{ a|a>1或a<-1}

8.某种汽车安全行驶的稳定性系数 μ 随使用年数 t 的变化规律 是 μ=μ0e-λt,其中 μ0、λ 是正常数.经检测,当 t=2 时,μ=0.09μ0, 则当稳定系数降为 0.50μ0 时, 该种汽车的使用年数为_____年(结果精 确到 1,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1). 解析: 由 0.90μ0=μ0(e-λ)2,得 e-λ= 0.90, 1 于是 0.50μ0=μ0(e-λ)t? =( 0.90)t, 2 -2lg 2 -0.602 0 1 t 两边取常用对数,lg = lg 0.90,解得 t= = = 2 2 2lg 3-1 -0.045 8 13.1. 答案:13

三、分类讨论思想 如下图,三个机器人 M1,M2,M3 和检测台 M 位于一条 直线上.三个机器人需把各自生产的零件送交 M 处进行检测,送检 程序规定:当 M1 把零件送达 M 处时,M2 即刻自动出发送检,当 M2 把零件送达 M 处时,M3 即刻自动出发送检.设 M2 的送检速度为 v, 且送检速度是 M1 的 2 倍、M3 的 3 倍.

(1)求三台机器人 M1,M2,M3 把各自生产的零件送达检测台 M 处的时间总和; (2)现要求 M1,M2,M3 送检时间总和必须最短,请你设计出检 测台 M 在该直线上的位置(M 与 M1,M2,M3 均不能重合). 解析:借助数轴构建分段函数模型使抽象问题具体化. (1)由题设条件知,检测台 M 的位置坐标为 0,机器人与检测台 的距离分别为 2,1,3. 故机器人 M1,M2,M3 按程序把各自的生产零件送达检测台 M 2 1 3 14 处的时间总和为 y= +v+ = v . 1 1 v v 2 3 (2)设 x 为检测台 M 的位置坐标,则机器人 M1,M2,M3 与检测 台 M 的距离分别为|x-(-2)|,|x-1|和|x-3|,于是机器人送交检测 台 M 的时间的总和为 |x-?-2?| |x-1| |x-3| y= + v + 1 1 v v 2 3 1 =v(2|x+2|+|x-1|+3|x-3|).只要求 f(x)=2|x+2|+|x-1|+3|x-3|取最小值. -6x+6?x<-2?, ? ?-2x+14?-2≤x<1?, ∵f(x)=? 12?1≤x≤3?, ? ?6x-6?x>3?. 所对应的 f(x)均取最小值 12,

由其图象可知, x∈[1,3]时,

12 即送检时间总和最短为 v . 依题意,检测台 M 与 M1,M2,M3 均不能重合,故可将检测台 M 设置在直线上机器人 M2 与 M3 之间的 任何位置(不含 M2、M3 的位置),都能使各机器人 M1,M2,M3 的送 检时间总和最短. ?跟踪训练 9.若函数 f(x)=mx2-2x+3 只有一个零点,求实数 m 的取值范 围. 解析:(1)当 m=0 时,f(x)=-2x+3 与 x 轴只有一个交点,此 时函数 f(x)只有一个零点. (2)当 m≠0 时,要使得 f(x)=mx2-2x+3 只有一个零点,则 Δ 1 =(-2)2-4×3×m=0,此时 m= . 3 1 综上所述,当 m=0 或 m= 时,函数 f(x)=mx2-2x+3 只有一 3 个零点.

建立函数模型的方法 一、关系分析法 即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题 的数学模型的方法. 进货价为 80 元的商品共 400 个,按 90 元一个售出时,可 全部卖出.已知这种商品每涨价 1 元,其销售数量就减少 20 个,问 销售价为多少时所获得的利润最大? 分析:题中显示“利润最大”的语句,因此,应从构造利润的函 数关系入手.(利润=销售额-成本) 解析:设销售价为 90+x 元时利润为 y,此时销售数量为 400- 20x.

∴y=(90+x)(400-20x)-(400-20x)×80 =-20(x-5)2+4 500, ∴当 x=5 时,ymax=4 500(元). 答:销售价为 95 元时所获得的利润最大,其最大值为 4 500 元.

?跟踪训练 10.某公司生产一种产品每年投入固定成本 0.5 万元,此外每生 产 100 件这种产品还需要增加投资 0.25 万元,经预测知,市场对这 种产品的年需求量为 500 件,且当出售的这种产品的数量为 t(单位: 1 百件)时,销售所得的收入约为 5t- t2 (万元). 2 (1)若该公司这种产品的年产量为 x(单位:百件,x>0),试把该 公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为当年产量 x 的函数; (2)当该公司的年产量多大时,当年所得利润最大?

二、列表分析法 即通过列表的方式探求问题的数学模型的方法. ?例题分析 某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器 12 台和 6 台.现销售给 A 地 10 台,B 地 8 台.已知从甲地调运 1 台至 A 地、 B 地的运费分别为 400 元和 800 元, 从乙地调运 1 台至 A 地、 B 地的 运费分别为 300 元和 500 元. (1)设从乙地调运 x 台至 A 地, 求总运费 y 关于 x 的函数关系式. (2)若总运费不超过 9 000 元,共有几种调运方案?

(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费. 分析:本题数量关系较多,利用列表法将数量关系明朗化,有利 于函数关系的确立.由甲、乙两地调运至 A 地、B 地的机器台数及 运费如下表所示: 调出地 调至地 台数 每台运 费/元 运费合 计/元 甲地 A地 10-x 400 400(10-x) B地 12-(10-x) 800 800[12-(10-x)] A地 x 300 300x 乙地 B地 6-x 500 500(6-x)

解析:(1)依题意,得:y=400(10-x)+800[12-(10-x)]+300x +500(6-x), 即 y=200(x+43)(0≤x≤6,x∈Z). (2)由 y≤9 000,解得 x≤2. ∵x∈Z,0≤x≤6, ∴x=0,1,2.故,共有三种调运方案. (3)由一次函数的单调性可知,当 x=0 时,总运费最低,ymin=8 600(元). 即从乙地调 6 台给 B 地, 甲地调 10 台给 A 地、 调 2 台给 B 地的 调运方案的运费最低,最低运费为 8 600 元. ?跟踪训练 11.某厂为了尽快解决职工住房困难问题,鼓励个人购房和积累 建房基金,决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房公积金, 办法如下: 每月工资 公积金 1 000 元以下 不交纳 1 000 元至 2 000 元 交纳超过 1 000 元部分 5% 1 000 元至 2 000 元部分交纳 5%, 超过 2 000 元部分 2 000 元至 3 000 元 交纳 10% 1 000 元至 2 000 元部分交纳 5%,2 000 至 3 000 部 3 000 元以上 分 10%,3 000 元以上部分交纳 15%

设职工每月工资为 x 元,交纳公积金后实得数为 y 元,求 y 与 x 之间 的关系式.


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