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江苏省海门市10-11学年高二第一学期期末考试(数学)。


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海门市 2010-2011 学年度第一学期期末考试

高二数学试题
数学Ⅰ 数学Ⅰ
小题, 请把答案填写在答题卡相应的位 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位 填空题: ....... 置上. .. 1. 若直线经过 A(? 3 ,1) 、 B ( 3 ,3) 两点, 则直线 AB 的倾斜角为 ▲ . 2. 已知直线 a ⊥ 平面 α ,直线 b // 平面 α ,则直线 a, b 的位置关系是 ▲ .
ax l 2 若 则实数 a 的值等于 ▲ . 3. 已知直线 l1 : ? 3 y + 1 = 0 ,2 : x + (a + 1) y + 1 = 0 . l1 ⊥ l 2 , 4. 若双曲线的一个焦点为(2,0),渐近线方程为 y = ± 3x ,则此双曲线的标准方程为 ▲ . 5. 若直线 a 不平行于平面 α ,则下列结论正确的是 ▲ . ..

① α 内的所有直线均与直线 a 异面; ③直线 a 与平面 α 有公共点;

② α 内不存在与 a 平行的直线; ④ α 内的直线均与 a 相交.

6. 正四棱锥的侧棱长为 2 2 ,侧棱与底面所成的角为 60° ,则该正四棱锥的侧面积为 ▲ . 7. 已知直线 l 的斜率为 2 , 且直线 l 过抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点 F , y 轴交于点 A . 与 若

?OAF (其中 O 为坐标原点)的面积为 4,则该抛物线方程为 ▲ .
8. 将圆 x + ( y + 1) = 3 绕直线 kx ? y ? 1 = 0 旋转一周,所得几何体的表面积为 ▲ . 9. 设 x, y, z 是空间的不同直线或不同平面,下列条件中能使“若 x ⊥ z ,且 y ⊥ z ,则 x // y ” (填所有正确条件的代号) 为真命题的是 ▲ . ① x, y, z 为直线; ② x, y, z 为平面; ③ x, y 为直线, z 为平面; ④ x, y 为平面, z 为直线.
2 2

10. 若椭圆

x2 y2 1 + = 1(m, n > 0) 的离心率为 ,一个焦点恰好是抛物线 y 2 = 8 x 的焦点, 2 m n


则椭圆的标准方程为 ▲ .
11.若圆 x 2 + y 2 = 4 上存在与点 (2a, a + 3) 距离为 1 的点,则 a 的取值范围为 ▲ 12. 在正三棱锥 A ? BCD 中, E 是 BC 的中点, AD ⊥ AE .若 BC = 2 ,则正三棱锥

A ? BCD

的体积为 ▲ .
13.已知直线 kx ? y + 1 = 0 (k > 0) 与圆 C : x 2 + y 2 =
1 相交于 A, B 两点,若点 M 在圆 C 上,且 4

有 OM = OA + OB ( O 为坐标原点) ,则实数 k =
2 2

▲ .

14. 已知椭圆 x 2 + y2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,右准线是 l ,若该椭圆上存在
a b

点 P,使 | PF1 | 等于点 P 到直线 l 的距离的 3 倍,则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ .

小题, 请在答题卡指定区域内作答, 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 解答题: 字说明、证明或演算步骤. 字说明、证明或演算步骤 15. 本题满分 14 分) ( 求过两直线 x ? 2 y + 4 = 0 和 x + y ? 2 = 0 的交点 P ,且分别满足下列条件的直线 l 的方 程. (1)过点 (2,1) ;
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(2)和直线 3 x ? 4 y + 5 = 0 垂直.

16. 本题满分 14 分) ( 如图已知在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ⊥ 面 ABC , AC = BC , M 、 N 、 P 、 Q 分别是 AA1 、 BB1 、 AB 、 B1C1 的中点. (1)求证:平面 ABC1 ∥平面 MNQ ; (2)求证:平面 PCC1⊥平面 MNQ.
C C1 Q B P A M A1 N B1

17. 本题满分 15 分) ( 已知圆 C 的圆心 C 在 x 轴的正半轴上,半径为 5 ,圆 C 被直线 x ? y + 3 = 0 截得的弦长 为 2 17 . (1)求圆 C 的方程; (2)设直线 ax ? y + 5 = 0 与圆相交于 A, B 两点,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,是否存在实数 a ,使得 A, B 关于过点 P ( ?2, 4) 的直线 l 对称? 若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

18. 本题满分 15 分) ( 如图边长为 4 的正方形 ABCD 所在平面与正 ?PAD 所在平面互相垂直, M , Q 分别为 PC, AD 的中点. (1)求点 P 到平面 ABCD 的距离; (2)求证: PA // 平面 MBD ; (3)试问:在线段 AB 上是否存在一点 N ,使得平面 PCN ⊥ 平面 PQB ?若存在,试指 出点 N 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

19. 本题满分 16 分) (
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x2 y 2 + = 1 ( a > b > 0) 有一 a 2 b2 个公共点 A(3,1) F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. , (1)求直线 PF1 的方程; (2)求椭圆 E 的方程;

已知点 P(4,4) ,圆 C: ( x ? m)2 + y 2 = 5 (m < 3) 与椭圆 E:

(3)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求证:以 QF1 为直径的圆与圆 x 2 + y 2 = 18 相切.

20. 本题满分 16 分) ( 2 2 已知椭圆 C : x 2 + y2 = 1 ( a > b > 0) 的左顶点和右焦点分别为 A, F ,右准线为直线 m , a b 2 2 圆 D: x + y ? 6 y ? 4 = 0 .
3 ,求椭圆 C 的方程; 2 (2)若直线 m 上存在点 Q,使 ?AFQ 为等腰三角形,求椭圆 C 的离心率的取值范围; (3)若点 P 在(1)中的椭圆 C 上,且过点 P 可作圆 D 的两条切线,切点分别为 M、N, 求弦长 MN 的取值范围.

(1)若点 A 在圆 D 上,且椭圆 C 的离心率为

数学Ⅱ 附加题) 数学Ⅱ(附加题)
21. 本题满分 10 分) ( 1 ? 1? ′ ? 已知矩阵 A = ? ?a 1 ? ,其中 a ∈ R ,若点 P(1 , 1)在矩阵 A 的变换下得到点 P (0, 3) . ? ? (1)求实数 a 的值;
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(2)求矩阵 A 的特征值. 22. 本题满分 10 分) ( 在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 2 2 sin(θ ? π ) ,以极点为原点,极轴为 x 轴 4 4 ? ?x = 1+ 5 t ? 的正半轴建立平面直角坐标系, 直线 l 的参数方程为 ( t 为参数) 求直线 l 被 , ? 3 ? y = ?1 ? t ? 5 ? 曲线 C 所截得的弦长.

23. 本题满分 10 分) ( 如图,边长为 2 的正方形 A1 ACC1 绕直线 CC1 旋转 90°得到正方形 B1 BCC1 ,D 为 CC1 的 中点,E 为 A1 B 的中点,G 为△ADB 的重心. (1)求直线 EG 与直线 BD 所成的角; (2)求直线 A1 B 与平面 ADB 所成的角的正弦值.
C1 A1 D E G A C B B1

24. 本题满分 10 分) ( 过点 A 作圆 C 的弦 已知圆 C : ( x ? 1) 2 + y 2 = r 2 ( r > 1) ,设 A 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点, AM,并使弦 AM 的中点恰好落在 y 轴上. (1)当 r 在 (1,+∞) 内变化时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)设轨迹 E 的准线为 l , N 为 l 上的一个动点,过点 N 作轨迹 E 的两条切线,切点 分别为 P,Q.求证:直线 PQ 必经过 x 轴上的一个定点 B,并写出点 B 的坐标.

高二数学参考答案
1.

π
6
2

2. 垂 直

3. ?3

4. x ?
2

7. y = 8 x 14. ? 7 ? 2,1

8. 12π

9. ③ ④

?

)

y2 = 1 5. ③ 6. 4 7 3 x2 y 2 ? 6 ? 10. + =1 11. ? ? , 0 ? 16 12 ? 5 ?

12.

2 3

13. 15

?x ? 2 y + 4 = 0 ?x = 0 得? ,∴ p (0, 2) …………………………………………4 分 ?x + y ? 2 = 0 ?y = 2 1 (1) kl = ? , ……………………………………6 分 2
15.由 ?

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1 y = ? x + 2 ,即 x + 2 y ? 4 = 0 ……………………………………9 分 2 4 …………………………………11 分 (2) kl = ? , 3 4 y = ? x + 2 ,即 4 x + 3 y ? 6 = 0 ……………………………………14 分 3 16.证明:(1) ?B1 BC1 中,因为 N , Q 分别为 B1 B , B1C1 的中点, ∴ QN / / BC1 ,
又 QN ? 平面ABC1 , BC1 ? 平面ABC1 ,所以 QN / / 平面ABC1 …………………3 分 矩形 A1 B1 BA 中,因为 M , N 分别为 AA1 , BB1 的中点,

∴ MN / / AB ,又 MN ? 平面ABC1 , AB ? 平面ABC1 ∴ MN / / 平面ABC1
平面 MNQ / / 平面ABC1 (2)因为 AA1 ⊥ 平面ABC , AB, CP ? 平面ABC , 故 AA1 ⊥ AB , AA1 ⊥ CP 由(1) MN / / AB 得 AA1 ⊥ MN , 又 AA1 / / CC1 ,所以 CC1 ⊥ MN . 又因为 P 为 AB 的中点, AC = BC ,所以 CP ⊥ AB 因为 CP ⊥ AB , CP ⊥ AA1 所以 CP ⊥ 平面AA1 B1 B ,又因为 MN ? 平面AA1 B1 B , 所以, CP ⊥ MN , 又因为 MN ⊥ CC1 ,所以 MN ⊥ 平面PCC1 , ……………………………………11 分 ……………………………………13 分 ……………………14 分 ……………………………………9 分 ……………………………………6 分 ……………………………………7 分

又 MN ? 平面MNQ ,所以 平面MNQ ⊥ 平面PCC1 . 17 解:(1)设⊙ C 的方程为 ( x ? m) 2 + y 2 = 25 ( m > 0)

? m+3 = 25 ? 17 ? 解由题意设 ? 2 ?m > 0 ?
故 m = 1 .故⊙ C 的方程为 ( x ? 1) 2 + y 2 = 25 . (2)由题设
2

……………………………………2 分

……………………4 分 ……………………………………6 分

a+5 a2 + 1

<5

5 . 12 5 故,实数 a 的取值范围为 ( ?∞, 0) ∪ ( , +∞) 12 (3)存在实数 a ,使得 A, B 关于 l 对称. 5 ∴ PC ⊥ AB ,又 a < 0 或 a > 12
故 12a ? 5a > 0 ,所以 a < 0 或 a >
4 ? ? a ? (? 3 ) = ?1 即? 5 ?a < 0或a > 12 ?

……………………………………9 分

……………………………………13 分

∴a=

3 3 ,∴ 存在实数 a = ,满足题设 4 4

……………………15 分

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18(1)解:正 ?PAD 中, θ 为 AD 的中点 故 PQ ⊥ AD

? ? 平面PAD ∩ 平面ABCD = AD ? 由 ? ? PQ ⊥ 平面ABCD .………………………………3 分 PQ ? 平面PAD ? ? PQ ⊥ AD ? ∵ Q ∈平面ABCD
PQ 长为 P 到平面 ABCD 的距离.因为 AD = 4 ,所以 PQ = 2 3
所以, P 平行 ABCD 的距离为 2 3 ……………………………………5 分

平面PAD ⊥ 平面ABCD

(2)证明:连 AC 交 BD 于 O ,连 MO 则 ABCD 为正方形,所以 O 为 AC 中点, M 为 PC 中点, 所以 MO / / AP , ……………………………………7 分 又 AP ? 平面MBD , MO ? 平面MBD , 则 AP / / 平面MBD . (3) N 为 AB 中点时,平面 PCN ⊥ 平面PQB . ……………………………………10 分 ……………………………………11 分

证明如下:由(1)证明知 PQ ⊥ 平面ABCD ,又 CN ? 平面ABCD ,则 PQ ⊥ CN ………12 分 又因为正方形 ABCD 中 Q, N 分别为 AD, AB 中点,则 CN ⊥ BQ ………………………13 分

∴ CN ⊥ 平面PQB 又∵ CN ? 平面PCN 所以,平面 PCN ⊥ 平面PQB . 19 解(1),因为 A(3,1) 在⊙ C 上,
所以, ?

……………14 分 ……………………………………15 分

?(3 ? m) 2 = 4 , m = 1. ?m < 3
……………………………………2 分

所以,⊙ C : ( x ? 1) 2 + y 2 = 5 .

易知直线 PF1 的斜率存在,设直线 PF1 方程: y ? 4 = k ( x ? 4) ,即: kx ? y + (4 ? 4k ) = 0 题设有:

4 ? 3k

k 2 +1

= 5 ,k =

11 1 或k = 2 2

……………………………………4 分

11 11 36 时,直线 PF1 方程 x ? y ? 18 = 0 ,令 y = 0 ,则 x = > 0 ,不合题意(舍去) 2 2 11 1 k = 时,直线 PF1 方程: x ? 2 y + 4 = 0 .令 y = 0 ,则 x = ?4 < 0 满足题设. 2 所以,直线 PF1 方程为: x ? 2 y + 4 = 0 . ……………………………………6 分 k=
(2)由(1)知 F1 ( ?4, 0) ,所以, F2 (4, 0) , a ? b = 16 ①……………………………………7 分
2 2

又 2a = AF1 + AF2 = 所以, a = 3 2 所以, b = 2
2

50 + 2 = 6 2
……………………………………9 分 ……………………………………10 分

椭圆 E 的方程:

x y + = 1. 18 2 (3)设 QF1 的中点为 M ,连 QF2 .

2

2

……………………………………11 分

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则 OM =

1 1 1 QF2 = (6 2 ? QF1 ) = 3 2 ? QF1 …………………15 分 2 2 2 所以,以 QF1 为直径的圆内切于圆 x 2 + y 2 = (3 2) 2 ,即 x 2 + y 2 = 18 .…………………16 分
所以, A( ?2, 0) , a = 2 ……………………………………2 分

20 解(1)对 x 2 + y 2 ? 6 y ? 4 = 0 ,令 y = 0 ,则 x = ±2 .

c 3 = ,所以, c = 3 , ……………………3 分 a 2 b 2 = a 2 ? c 2 = 1 ……………………………………4 分 x2 所以,椭圆 C 的方程为: + y 2 = 1 . ……………………5 分 4 (2)由图知 ?AFQ 为等腰三角形
又因为, e =

a2 ? c ………………………………7 分 c 2 2 所以, 2c + ac ? a > 0 , 2e 2 + e ? 1 > 0 , (2e ? 1)(e + 1) > 0 1 1 又 0 < e < 1 ,所以 < e < 1 ,即椭圆离心率取值范围为 ( ,1) .……10 分 2 2 (3) 连 PD 交 MN 于 H , 连 DM , 则 由 圆 的 几 何 性 质 知 : H 为 MN 的 中 点, DM ⊥ PM , MN ⊥ PD . a + c = AF = QF >

2MD ? MP 2MD PD 2 ? MD 2 = PD PD 2 2 ⊙ D : x + ( y ? 3) = 13 , MD = 13
所以, MN = 2 MH = 所以, MN = 2 13 ? 1 ? 设 P ( x0 , y0 ) ,则
13 PD 2

= 2 MD ? 1 ?

MD 2 PD 2

…………………………………13 分

x0 2 + y0 2 = 1 且 ?1 ≤ y0 < 0 4 2 2 2 2 2 所以, PD = x0 + ( y0 ? 3) = ?3 y0 ? 6 y0 + 13 = ?3( y0 + 1) 2 + 16 (?1 ≤ y0 < 0)
所以, 13 < PD ≤ 16
2

……………………………………15 分

39 . …………………………………16 分 2 x0 2 另解:设 P ( x0 , y0 ) ,则 + y0 2 = 1 且 ?1 ≤ y0 < 0 4
所以, O < MN ≤ 圆 D: x 2 + ( y ? 3) 2 = 13 ,所以直线 MN 的方程: x 0 x + ( y 0 ? 3)( y ? 3) = 13 即: x 0 x + ( y 0 ? 3) y ? 3 y 0 ? 4 = 0
∴ MN = 2 13 ? [ = 2 13 ? 1 ?
∴ O < MN ≤

…………………………………12 分
] 2 = 2 13 ? 1 ? (?1 ≤ y 0 < 0) 13 x 0 + ( y 0 ? 3) 2
2

13 x 0 + ( y 0 ? 3) 2
2

…………………15 分

13 ? 3( y 0 + 1) 2 + 16

39 2

…………………………………16 分
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附加题: 21 解(1)由 ?

?1 ? 1? ?1? ?0 ? ? ? ? = ? ? ,得 a + 1 = ?3 ,则 a = ?4 …………………………………3 分 ? a 1 ? ?1? ? ?3? ?1 ? 1? (2) A = ? ?, ? ?4 1 ?

所以,由 F (λ ) =

λ ?1 1 = λ 2 ? 2λ ? 3 = 0 得: 4 λ ?1
……………………………………7 分

λ1 = ?1 , λ2 = 3
? ? ?1 ? λ2 = 3 时,由 2 x + y = 0 得: y = ?2 x ,取 α 2 = ? ? . ? ?2 ? 所以, A 的特征值为 ?1 或 3 . ?1 ? 属于 ?1 的一个特征向量 α1 = ? ? , ?2?
属于 3 的一个特征向量 α 2 = ?

λ1 = ?1 时,由 ?2 x + y = 0 得: y = ?2 x 取 α1 = ? ? 2

?1 ?

………………………9 分

?1 ? ? ? ?2 ?

……………………………………10 分

4 ? ?x = 1+ 5 t π ? 22 解:将方程 ρ = 2 2 sin(θ ? ) , ? ( t 为系数) 3 4 ? y = ?1 ? t ? 5 ? 2 2 化为普通方程分别为: x + y + 2 x ? 2 y = 0 , 3 x + 4 y + 1 = 0 . …………………………6 分 曲线 c 为圆 ( x + 1) 2 + ( y ? 1) 2 = 2

2 2 2 46 .……………………………10 分 5 5 23 解:由题设 CC1 ⊥ AC , CC1 ⊥ BC , AC ⊥ BC 所以,以 C 为坐标原点, CA , CB , CC1 所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 则 C (0, 0, 0) , A(2, 0, 0) , B (0, 2, 0) , C1 (0, 0, 2) , A1 (2, 0, 2) , B1 (0, 2, 2) , 2 2 1 所以 D (0, 0,1) , E (1,1,1) , G ( , , ) .……………………………………2 分 3 3 3 1 1 2 (1) EG = ( ? , ? , ? ) , BD = (0, ?2,1) ……………………………4 分 3 3 3 2 2 所以 EG ? BD = ? = 0 ,∴ EG ⊥ BD 3 3
所以直线 l 被曲线 c 截得的弦长为 2 2 ? ( ? ) = 所以,直线 EG 与直线 BD 所成的角为 (2) A1 B = ( ?2, 2, ?2)

π

2

.……………………………5 分

……………………………………6 分

AB = (?2, 2, 0) , AD = (?2, 0,1)
设 n = ( x0 , y0 , z0 ) 为平面 ABD 的一个法向量

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则?

?n ? AB = ?2 x0 + 2 y0 = 0 ? y0 = x0 ? ,∴ ? ? z0 = 2 x0 ?n ? AD = ?2 x0 + y0 = 0 ?
……………………………………8 分

取 n = (1,1, 2) . 设 A1 B 与平面 ADB 所成的角为 θ 则 sin θ = cos A1 B,n =

4 2 = . 3 2 3? 6

即: A1 B 与平面 ADB 所成的角为正弦值为

2 .…………………10 分 3
y 2 y 2

24 解(1)设 M ( x, y ) ,则 AM 的中点 D (0, ) .因为 C (1, 0) , DC = (1, ? ) , DM = ( x, ) . 在⊙ C 中,因为 CD ⊥ DM ,所以, DC ? DM = 0 ,所以 x ? 所以, y 2 = 4 x ( x ≠ 0) 所以,点 M 的轨迹 E 的方程为: y 2 = 4 x ( x ≠ 0) ……………………………………5 分 (说明漏了 x ≠ 0 不扣分) (2)轨迹 E 的准线 l : x = ?1 所以,可设 N ( ?1, t ) ,过 N 的斜率存在的直线方程为: y ? t = k ( x + 1)

y 2

y2 = 0. 4

? y2 = 4x k 2 2 得 y ? y + ( k + t ) = 0 .由 ? = 1 ? k ( k + t ) = 0 得: k + kt ? 1 = 0 . ? y = kx + (k + t ) 4 2 2 设直线 NP , NQ 斜率分别为 k1 , k 2 ,则 k1k2 = ?1 ①且 y p = , yQ = k1 k2 2 2 2 2 所以 P ( 2 , ) , Q ( 2 , ) k1 k1 k2 k2 2 2 所以,直线 PQ 的方程: ( y ? )( k1 + k 2 ) = 2k1k2 ( x ? 2 ) . k1 k1 1 k +k ?k ?1 令 y = 0 ,则 x = 2 ? 1 2 2 = 2 1 = ? k1 k1 k2 k1 k2 k1k2 由①知, x = 1 即直线 PQ 过定点 B (1, 0) .……………………………………10 分
由?

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