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广东省韶关市2015届高考模拟数学试卷(文科)


广东省韶关市 2015 届高考模拟数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1. (5 分)设集合 U={﹣2,﹣1,0,1,2},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则 A∪(?UB) 等于() A.{1} B.{1,2} C.{2} D.{0,1,2} 2. (5 分)已知 i 为虚数单位,复数 z=i(2﹣i)的模|z|=() A.1 B. C.

D.3

3. (5 分)下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)单调递增的函数是() A.y=x
3

B.y=e

x

C.y=x

﹣1

D.y=lnx

4. (5 分)如图所示,该程序运行后输出的结果为()

A.4

B. 6

C. 8

D.10

5. (5 分)如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最 高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为()

A.5 和 1.6

B.85 和 1.6

C.85 和 0.4

D.5 和 0.4

6. (5 分)在△ ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C.

,则 AC=() D.

7. (5 分)已知向量 A.1 B.



,若 C. 4

,则

等于() D.2

8. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x﹣3y 的最大值()

A.2

B. 3

C. 4

D.5

9. (5 分)设 l 为直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是() A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B. 若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β C. 若 l⊥α,l∥β,则 α∥β D.若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β 10. (5 分)下列命题中是假命题的个数是() ①?α,β∈R,使 cos(α+β)=cosα+sinβ; ②?a>0,函数 f(x)=ln x+lnx﹣a 有零点 ③若 , 是两个非零向量,则“| + |=| ﹣ |”是“ ⊥ ”的充要条件; ④若函数 f(x)=|2 ﹣1|,则?x1,x2∈[0,1]且 x1<x2,使得 f(x1)>f(x2) . A.0 B. 1 C. 2 D.3
x 2

二.填空题(一)必做题(11~13 题) 11. (5 分)函数 y=lg(x +2x﹣3)的定义域是. (结果用区间表示)
2 2 2

12. (5 分)如图,已知抛物线 y =2px 的焦点 F 与双曲线

﹣y =1 的右焦点重合,过抛物线

焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,|AF|=3,则 p=;直线 AB 斜率等于.

13. (5 分)已知各项不为零的等差数列{an}满足 2a3﹣a7 +2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b5b9=.

2

(二)选做题(14~15 题,考生只能选做其中的一题,两题全答的,只计算前一题的得分) 【坐标系与参数方程选做题】

14. (5 分)在极坐标中,已知直线 l 方程为 ρ(cosθ+sinθ)=1,点 Q 的坐标为(2, 点 Q 到 l 的距离 d 为.

) ,则

【几何证明选讲选做题】 15. 如图, 平行四边形 ABCD 中, AE: EB=1: 2, △ AEF 的面积为 1cm , 则平行四边形 ABCD 2 的面积为 cm .
2

三.解答题(本大题共 6 题,满分 80 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 16. (12 分)已知函数 f(x)= sinx+cosx (x∈R) (1)求 f( )的值; , ]上的最大值和最小值及相应的 x 值.

(2)求 f(x)在区间[﹣

17. (12 分)2014 年春节期间,高速公路车辆剧增,高速公路管理测控中心在一特定位置从 七座以下小型汽车中按先后顺序,每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 辆进行电子测 速调查,将它们的车速(km/h)分成六段[80,85) ,[85,90) ,[90,95) ,[95,100) ,[100, 105) ,[105,110)后得到如图的频率分布直图. (1)测控中心在采样中,用到的是什么抽样方法?并估计这 40 辆车车速的平均数; (2)从车速在[80,90)的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆车中车速在[85,90)的车辆数 的概率.参考数据:82.5×0.01+87.5×0.02+92.5×0.04+97.5×0.06+102.5×0.05+107.5×0.02=19.4.

18. (14 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是正方形,AB=1,AA1=2,线段 B1D1 上有两个点 E,F. (1)证明:AC⊥B1D1; (2)证明:EF∥平面 ABCD; (3)若 E,F 是线段 B1D1 上的点,且 EF= ,求三棱锥 A﹣BEF 的体积.

19. (14 分)已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,中心在原点,离心率 e=

,直线 l:y=x+2 与以

原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆 O 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 M 是椭圆上异于 Al,A2 的任意一点,设直 线 MA1,MA2 的斜率分别为 ,证明 为定值.

20. (14 分)已知数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,an+1=2Sn+1,n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log3an+1,求数列{ }的前 n 项和 Tn,并证明:1≤Tn< .

*

21. (14 分)已知函数 f(x)=blnx,g(x)=ax ﹣x(a∈R) . (1)若曲线 f(x)与 g(x)在公共点 A(1,0)处有相同的切线,求实数 a,b 的值; (2)若 b=1,设函数 u(x)=g(x)﹣f(x) ,试讨论函数 u(x)的单调性; b (3)若 a=1,b>2e,求方程 f(x)﹣g(x)=x 在区间(1,e )内实根的个数(其中 e 为自 然对数的底数) .

2

广东省韶关市 2015 届高考模拟数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1. (5 分)设集合 U={﹣2,﹣1,0,1,2},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则 A∪(?UB) 等于() A.{1} B.{1,2} C.{2} D.{0,1,2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 由全集 U 及 B,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的并集即可.

解答: 解:∵集合 U={﹣2,﹣1,0,1,2},B={﹣2,﹣1,2}, ∴?UB={0,1}, ∵A={1,2}, 则 A∪(?UB)={0,1,2}. 故选 D 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知 i 为虚数单位,复数 z=i(2﹣i)的模|z|=() A.1 B. C. 考点: 专题: 分析: 解答: ∴|z|= 复数求模. 数系的扩充和复数. 根据复数的有关概念直接进行计算即可得到结论. 解:∵z=i(2﹣i)=2i+1, ,

D.3

故选:C. 点评: 本题主要考查复数的有关概念的计算,比较基础. 3. (5 分)下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)单调递增的函数是() A.y=x
3

B.y=e

x

C.y=x

﹣1

D.y=lnx

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶数和单调性的性质即可得到结论. 解答: 解:A 选项中,函数 y=x 是奇函数又在(0,+∞)单调递增; x B 选项中,y=e 是非奇非偶函数; ﹣1 C 选项中,y=x 是奇函数,但在(0,+∞)上是减函数; D 选项中,y=lnx 是非奇非偶函数. 故选:A. 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调 性的性质. 4. (5 分)如图所示,该程序运行后输出的结果为()
3

A.4

B. 6

C. 8

D.10

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据框图的流程模拟运行程序,直到满足条件,跳出循环,计算输出 S 的值. 解答: 解:由程序框图知:第一次循环 S=0+2=2,i=6﹣1=5; 第二次循环 S=2+2=4,i=5﹣1=4; 第三次循环 S=4+2=6,i=4﹣1=3; 满足条件 i≤3,跳出循环,输出 S=6. 故选:B. 点评: 本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类 问题的常用方法. 5. (5 分)如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最 高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为()

A.5 和 1.6 考点: 专题: 分析: 解答:

B.85 和 1.6

C.85 和 0.4

D.5 和 0.4

茎叶图;众数、中位数、平均数. 图表型. 根据均值与方差的计算公式,分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可. 解:根据题意可得:评委为某选手打出的分数还剩 84,84,84,86,87, =85,
2 2 2 2 2

所以所剩数据的平均数为

所剩数据的方差为 [(84﹣85) +(84﹣85) +(86﹣85) +(84﹣85) +(87﹣85) ]=1.6. 故选 B.

点评: 本题考查茎叶图、平均数和方差,对于一组数据通常要求的是这组数据的众数,中 位数, 平均数, 方差, 它们分别表示一组数据的特征, 这样的问题可以出现在选择题或填空题. 6. (5 分)在△ ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C. ,则 AC=() D.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 结合已知,根据正弦定理, 解答: 解:根据正弦定理, , 可求 AC



故选 B 点评: 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题

7. (5 分)已知向量 A.1 B.



,若 C. 4

,则

等于() D.2

考点: 向量的模;平行向量与共线向量. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由两向量共线,建立关于 x 的方程求出 x,即可得到向量 的坐标,再由求模公式求 模即可 解答: 解:由题意向量 ∴x ﹣3=0,故 x=± ∴ = = =2
2



,若



故选 D 点评: 本题考查求向量的模,求解的关系是根据向量共线的条件求出向量的坐标,以及熟 练掌握向量模的坐标表示,用其求模

8. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x﹣3y 的最大值()

A.2

B. 3

C. 4

D.5

考点: 简单线性规划. 专题: 作图题;不等式的解法及应用. 分析: 根据目标函数的解析式形式,分析目标函数的几何意义,然后判断目标函数取得最 优解的点的坐标,即可求解

解答: 解:作出不等式组

表示的平面区域,如图所示

由 z=2x﹣3y 可得 y= x﹣ z,则﹣ z 表示直线 z=2x﹣3y 在 y 轴上的截距,截距越小,z 越大

由 故选:A.

可得 A(1,0) ,此时 z 最大为 2×1﹣3×0=2.

点评: 本题考查线性规划知识的运用,考查学生的计算能力,考查数形结合的数学思想. 9. (5 分)设 l 为直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是() A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B. 若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β C. 若 l⊥α,l∥β,则 α∥β D.若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:若 l∥α,l∥β,则 α 与 β 相交或平行,故 A 错误; 若 α⊥β,l∥α,则 l 与 β 相交、平行或 l?β,故 B 错误; 若 α⊥β,l∥α,则 l 与 β 相交、平行或 l?β,故 C 错误; 若 l⊥α,l⊥β, 则由平面与平面平行的判定定理知 α∥β,故 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要注意空间思维能力的培养. 10. (5 分)下列命题中是假命题的个数是() ①?α,β∈R,使 cos(α+β)=cosα+sinβ;

②?a>0,函数 f(x)=ln x+lnx﹣a 有零点 ③若 , 是两个非零向量,则“| + |=| ﹣ |”是“ ⊥ ”的充要条件; ④若函数 f(x)=|2 ﹣1|,则?x1,x2∈[0,1]且 x1<x2,使得 f(x1)>f(x2) . A.0 B. 1 C. 2 D.3 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: ①可举 β=0,即可判断; ②令 f(x)=0,由 a>0,通过判别式为 1+4a>0 即可判断; ③将| + |=| ﹣ |两边平方,化简,再由向量垂直的条件得 ⊥ ,由充分必要条件的定义即 可判断; x x ④若函数 f(x)=|2 ﹣1|,当 0<x<1 时,f(x)=2 ﹣1,函数为增函数,由函数的单调性的 定义,即可判断. 解答: 解:①可举 β=0,则 cos(α+β)=cosα+sinβ 成立,故①对; ②令 f(x)=0,则 ln x+lnx﹣a=0,判别式为 1+4a,a>0,即判别式大于 0,故方程有实根, 故②对; ③若 , 是两个非零向量,则“| + |=| ﹣ |”?“ ? ,故③对;
x x 2 x

2

”?

④若函数 f(x)=|2 ﹣1|,当 0<x<1 时,f(x)=2 ﹣1,函数为增函数,故④错. 故假命题的个数为 1. 故选 B. 点评: 本题考查简易逻辑的基础知识,考查存在性命题和全称性命题的真假,注意运用举 反例,同时考查函数的单调性,属于基础题. 二.填空题(一)必做题(11~13 题) 2 11. (5 分)函数 y=lg(x +2x﹣3)的定义域是(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞) . (结果用区间表示) 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件,即可求出函数的定义域. 2 解答: 解:要使函数 f(x)有意义,则 x +2x﹣3>0,解得 x>1 或 x<﹣3, 故函数的定义域为(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞) , 故答案为: (﹣∞,﹣3)∪(1,+∞) 点评: 本题主要考查函数的定义域求法,要求熟练掌握常见函数成立的条件.
2 2

12. (5 分)如图,已知抛物线 y =2px 的焦点 F 与双曲线

﹣y =1 的右焦点重合,过抛物线 .

焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,|AF|=3,则 p=4;直线 AB 斜率等于﹣2

考点: 抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线 ﹣y =1 的右焦点,可得 p 与抛物线方程,利用抛物线的定义,可得 A
2

的坐标,即可求出直线 AB 斜率. 解答: 解:双曲线 ﹣y =1 的右焦点为(2,0) ,∴抛物线方程为 y =8x,p=4.
2 2

∵|AF|=3,∴xA+2=3,∴xA=1 代入抛物线方程可得 yA=±2 ∵点 A 在 x 轴上方,∴A(1,2 ∴直线 AB 斜率等于 =﹣2

) , .

故答案为:4,﹣2 . 点评: 本题考查抛物线、双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 13. (5 分)已知各项不为零的等差数列{an}满足 2a3﹣a7 +2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b5b9=16. 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: 由等差数列的性质可得 a7 =2(a11+a3)=4a7,结合题意可得 b7=a7=4,再由等比数列 2 的性质可得 b5b9=b7 ,代值计算可得. 2 2 解答: 解:∵2a3﹣a7 +2a11=0,∴a7 =2(a11+a3) 2 由等差数列的性质可得 a7 =2(a11+a3)=4a7, 解得 a7=4,或 a7=0 ∵等差数列{an}的各项不为零, ∴a7=4,∴b7=a7=4, 由等比数列的性质可得 16 故答案为:16 点评: 本题考查等差数列和等比数列的性质,属中档题. (二)选做题(14~15 题,考生只能选做其中的一题,两题全答的,只计算前一题的得分) 【坐标系与参数方程选做题】
2

14. (5 分)在极坐标中,已知直线 l 方程为 ρ(cosθ+sinθ)=1,点 Q 的坐标为(2, 点 Q 到 l 的距离 d 为 .

) ,则

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 利用 分别把极坐标化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式即可得

出. 解答: 解:直线 l 方程为 ρ(cosθ+sinθ)=1,化直角坐标方程 x+y=1. 点 Q 的坐标为(2, ∴点 Q 到 l 的距离 d= 故答案为: . ) ,化为 = . =1,yQ= = .∴Q .

点评: 本题考查了极坐标化为直角坐标的方法、点到直线的距离公式,考查了计算能力, 属于基础题. 【几何证明选讲选做题】 2 15. 如图, 平行四边形 ABCD 中, AE: EB=1: 2, △ AEF 的面积为 1cm , 则平行四边形 ABCD 2 的面积为 24cm .

考点: 平行线分线段成比例定理. 专题: 演绎法. 分析: 由四边形 ABCD 为平行四边形,易判断出△ AEF 与△ CDF 相似,进而可得△ AEF 与 2 △ ABC 的面积的比,结合△ AEF 的面积等于 1cm ,即可求出平行四边形 ABCD 的面积. 解答: 解:∵AE∥CD,∴△AEF∽△CDF, ∴AE:CD=AF:CF, ∵AE:EB=1:2, ∴AE:AB=AE:CD=1:3, ∴AF:CF=1:3, ∴AF:AC=1:4, ∴△AEF 与△ ABC 的高的比为 1:4, ∴△AEF 与△ ABC 的面积的比为 1:12, ∴△AEF 与平行四边形 ABCD 的面积的比为 1:24, 2 ∵△AEF 的面积等于 1cm , 2 ∴平行四边形 ABCD 的面积等于 24cm . 故答案为:24.

点评: 本题考查相似三角形的判定,考查平行四边形面积的计算,判断出△ AEF 与△ CDF 相似,确定△ AEF 与△ ABC 的面积的比是关键. 三.解答题(本大题共 6 题,满分 80 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 16. (12 分)已知函数 f(x)= sinx+cosx (x∈R) (1)求 f( )的值; , ]上的最大值和最小值及相应的 x 值.

(2)求 f(x)在区间[﹣

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用两角和差的正弦公式即可得出; (2)利用(1)的结论和正弦函数的单调性即可得出. 解答: 解(1)函数 f(x)= ∴f( )= , ],∴ sinx+cosx= =2sinπ=0. ,∴ 时,f(x)max=2. 时,f(x)min= . , = ,

(2)∵x∈[﹣ 从而当 而当

时,即 x= ,即

点评: 本题考查了两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性,属于基础题. 17. (12 分)2014 年春节期间,高速公路车辆剧增,高速公路管理测控中心在一特定位置从 七座以下小型汽车中按先后顺序,每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 辆进行电子测 速调查,将它们的车速(km/h)分成六段[80,85) ,[85,90) ,[90,95) ,[95,100) ,[100, 105) ,[105,110)后得到如图的频率分布直图. (1)测控中心在采样中,用到的是什么抽样方法?并估计这 40 辆车车速的平均数; (2)从车速在[80,90)的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆车中车速在[85,90)的车辆数 的概率.参考数据:82.5×0.01+87.5×0.02+92.5×0.04+97.5×0.06+102.5×0.05+107.5×0.02=19.4.

考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题: 概率与统计.

分析: (1)根据系统抽样的特征判断抽样方法是系统抽样;根据中位数的左、右两边小矩 形的面积相等求中位数; (2)利用频数=频率×样本容量分别求得车速在[80,85)的车辆数和车速在[85,90)车辆数, 用列举法写出从这 6 辆车中随机抽取 2 辆的所有基本事件,找出抽出的 2 辆车中车速在[85, 90)的基本事件,利用个数比求概率. 解答: 解: (1)根据“某段高速公路的车速分成六段”,符合系统抽样的原理,故此调查公司 在采样中,用到的是系统抽样方法. ( 注意每间隔 50 辆就抽取一辆这一条件) 平均数的估计值为: (82.5×0.01+87.5×0.02+92.5×0.04+97.5×0.06+102.5×0.05+107.5×0.02) ×5=97. (2)从图中可知,车速在[80,85)的车辆数为 0.01×5×40=2(辆) ,分别记为 m,n; 车速在[85,90)车辆数为 0.02×5×40=4(辆) ,分别记为 A,B,C,D, 从这 6 辆车中随机抽取 2 辆共有 mn,mA,mB,mC,mD,nA,nB,nC,nD,AB,AC, AD,BC,BD,CD 共 15 种情况,抽出的 2 辆车中车速在[85,90)的车辆数 AB,AC,AD, BC,BD,CD 共 6 种,故所求的概率 P= .

点评: 本题考查了由频率分布直方图求中位数及频数,考查了古典概型的概率计算,利用 列举法求基本事件个数,是进行古典概型概率计算的常用方法. 18. (14 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面是正方形,AB=1,AA1=2,线段 B1D1 上有两个点 E,F. (1)证明:AC⊥B1D1; (2)证明:EF∥平面 ABCD; (3)若 E,F 是线段 B1D1 上的点,且 EF= ,求三棱锥 A﹣BEF 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的 判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)证明 AC⊥平面 BDD1B1,即可证明 AC⊥B1D1; (2)根据平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,即可证明 EF∥平面 ABCD; (3)证明 AO⊥平面 BEF,即可求三棱锥 A﹣BEF 的体积. 解答: (1)证明:在 ABCD﹣A1B1C1D1 中,连接 BD, 因为底面 ABCD 是正方形 所以 AC⊥BD…(1 分) 又 DD1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, 所以 DD1⊥AC…(3 分) 又 BD∩DD1=D,

所以 AC⊥平面 BDD1B1, 又 B1D1?平面 BDD1B1, 所以 AC⊥B1D1;…(5 分) (2)证明:在 ABCD﹣A1B1C1D1 中,平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, 因为 EF?平面 A1B1C1D1, 所以 EF∥平面 ABCD;…(10 分) (3)解:设 AC 与 BD 交于点 O,由(1)可知 AO⊥平面 BDD1B1, 即 AO⊥平面 BEF 所以 AO 是三棱锥 A﹣BEF 的高,且 AO= AC= 所以 VA﹣BEF= = …(14 分) …(12 分)

点评: 本题考查线面垂直的判定与性质,考查线面平行,考查锥体体积的计算,考查学生 分析解决问题的能力,属于中档题.

19. (14 分)已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,中心在原点,离心率 e=

,直线 l:y=x+2 与以

原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆 O 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 M 是椭圆上异于 Al,A2 的任意一点,设直 线 MA1,MA2 的斜率分别为 ,证明 为定值.

考点: 圆锥曲线的综合;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)设椭圆的方程,利用离心率 ,直线 l:y=x+2 与以原点为圆心,椭圆 C 的

短半轴为半径的圆 O 相切,确定几何量,从而可得椭圆的方程; (Ⅱ)利用 M 点在椭圆上,计算斜率,化简即可得到结论. 解答: (I)解:设椭圆的方程为
2 2 2 2

∵离心率

,∴a =3c ,∴b =2c

∵直线 l:y=x+2 与以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆 O 相切 ∴b= ∴c =1 2 ∴a =3 ∴椭圆的方程为 ; ,0) ,A2( ,0) ,
2

(Ⅱ)证明:由椭圆方程得 A1(﹣

设 M 点坐标(x0,y0) ,则 ∴



=

×

=

=

=﹣



是定值﹣ 是定值.

点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆相切,考查斜率的计算,考查学生的计算 能力,属于中档题. 20. (14 分)已知数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,an+1=2Sn+1,n∈N . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log3an+1,求数列{ }的前 n 项和 Tn,并证明:1≤Tn< .
*

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)根据数列的项和和之间的关系,即可求数列{an}的通项公式; (2)求出 bn=log3an+1 的通项公式,利用错位相减法即可求数列{ 1≤Tn< . 解答: 解: (1)由题意得 an+1=2Sn+1,an=2Sn﹣1+1,n≥2, 两式相减得 an+1﹣an+1=2Sn﹣2Sn﹣1=an+1=2an, 则 an+1=3an,n≥2, 所以当 n≥2 时,{an}是以 3 为公比的等比数列. 因为 a2=2S1+1=2+1=3, , }的前 n 项和 Tn,并证明:

所以,

=3,对任意正整数成立{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列.
n﹣1

(2)由(1 得知 an=3 = =n?( )

,bn=log3an+1=log33 =n,

n

n﹣1


n﹣1

Tn=1+2× +3?( ) +…+n?( )

2



Tn= +2?( ) +…+(n﹣1)?( )

2

n﹣1

+n?( )

n



①﹣②得 Tn=1+ +( ) +…+( )

2

n﹣1

﹣n?( ) =

n

﹣n?( ) ,

n

所以 Tn= ﹣( + 因为( +

) ?( ) ,
n

n

)?( ) >0, ) ?( ) < , ,所以数列{Tn}单调递增,所以 Tn 的最小值为 T1=1,
n

所以 Tn= ﹣( + 又因为 Tn+1﹣Tn= 所以 1≤Tn< .

点评: 本题主要考查递推数列的应用,以及数列求和,利用错位相减法是解决本题的关键, 综合性较强,运算量较大. 21. (14 分)已知函数 f(x)=blnx,g(x)=ax ﹣x(a∈R) . (1)若曲线 f(x)与 g(x)在公共点 A(1,0)处有相同的切线,求实数 a,b 的值; (2)若 b=1,设函数 u(x)=g(x)﹣f(x) ,试讨论函数 u(x)的单调性; (3)若 a=1,b>2e,求方程 f(x)﹣g(x)=x 在区间(1,e )内实根的个数(其中 e 为自 然对数的底数) . 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线 上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用导数的几何意义可得切线的斜率,曲线 f(x)与 g(x)在公共点 A(1,0) 处有相同的切线,可得 ,解出即可;
b 2

(2) b=1 时, (x) u =g (x) ﹣( f x) =ax ﹣x﹣lnx (x>0) . a 分类讨论:当 a=0 时,
2

2

=

. 对

<0,即可得出单调性;

当 a≠0 时,令 u′(x)=0,即 2ax ﹣x﹣1=0…(*) ,△ =1+8a.对△ 分类讨论:当△ ≤0,当△ > 0,利用求根公式即可得出; 2 b (3)当 a=1,b>2e,设 h(x)=f(x)﹣g(x)﹣x=blnx﹣x ,x∈(1,e ) .令 h′(x)=0, 解得 , 当 x>1 时, , . 分区间 与

利用导数研究其零点的个数即可.

解答: 解: (1)

,g′(x)=2ax﹣1.



,即

,解得



(2) b=1 时, u (x) =g (x) ﹣( f x) =ax ﹣x﹣lnx (x>0) . ①当 a=0 时,

2

=



<0,∴函数 u(x)在(0,+∞)上单调递减;
2

②当 a≠0 时,令 u′(x)=0,即 2ax ﹣x﹣1=0…(*) ,△ =1+8a. 当△ ≤0,即 减; 当△ >0,即 当 时,方程(*)的解为:x1= ,x2= . 时,2ax ﹣x﹣1≤0,即 u′(x)≤0,∴函数 u(x)在(0,+∞)上单调递
2

时,x1<0,x2<0,则函数 u(x)在(0,+∞)上单调递减;

当 a>0 时,x1<0,x2>0,则函数 u(x)在(0,x2)上递减,在(x2,+∞)上递增; 综上所述:当 a≤0 时,函数 u(x)在(0,+∞)上单调递减; 当 a>0 时,函数 u(x)在(0,x2)上递减,在(x2,+∞)上递增. 2 b (3)当 a=1,b>2e,设 h(x)=f(x)﹣g(x)﹣x=blnx﹣x ,x∈(1,e ) . ,令 h′(x)=0,解得 ∴ x h′(x)+ h(x) 单调递增 ∴h 极大值= 0 ﹣ 极大单调递减 = >0. 上有一个根. . ,当 x>1 时, ,

又∵h(1)=﹣1 方程在
b b b

h(e )=(b﹣e ) (b+e ) , x x 设 t(x)=e ﹣x(x∈(2e,+∞) ,t′(x)=e ﹣1>0,∴t(x)在(2e,+∞)上单调递增, t(x)>t(2e)>0.e >x,∴h(e )<0,方程在
b x b

上有一个实数根.

方程 f(x)﹣g(x)=x 在区间(1,e )内有两个实根. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义,考查了分类 讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.


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