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空间点、线、面之间的位置关系


考点 2 空间点、线、面之间的位置关系
1. (15 泰州一模) 若 α、 β 是两个相交平面, 则在下列命题中, 真命题的序号为
出所有真命题的序号) ①若直线 m⊥α,则在平面 β 内,一定不存在与直线 m 平行的直线. ②若直线 m⊥α,则在平面 β 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直. ③若直线 m?α,则在平面 β 内,不一定存在与直线 m 垂直

的直线. ④若直线 m?α,则在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线. 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【答案】②④ 【分析】 对于①,若直线 m⊥α,如果 α,β 互相垂直,则在平面 β 内,存在与直线 m 平行的直 线.故①错误; 对于②,若直线 m⊥α,则直线 m 垂直于平面 α 内的所有直线,则在平面 β 内,一定存在无数条 直线与直线 m 垂直.故②正确; 对于③,若直线 m?α,则在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线.故③错误; 对于④,若直线 m? α,则在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线.故④正确. . (写

2.(15 江苏高考压轴)设 ? , ? 是两个不重合的平面, m, n 是两条不重合的直线,给 出下
列四个命题:①若 n ? ? , n∥? ,? ? ? =m, 则 n∥ m ;②若 m ? ? , n ? ? , m∥? , n∥? , 则 ?∥? ; ③若 ? ? ?,? ? ? =m, n ? ? , n ? m ,则 n ? ? ;④若 m ? ? , ? ? ? , m∥n ,则 n∥? . 其中正确的命题序号为 . 【答案】①③ 【分析】 逐个判断。 由线面平行的性质定理知①正确; 由面面平行的判定定理知直线 m, n 相 交时才成立,所以②错误;由面面垂直的性质定理知③正确;④中,可以是 n ? ? ,所以④ 错误,即正确命题是①③.

3.设 l 为直线, ?,? 是两个不同的平面,则下列命题中正确的有____________.
①若 l∥? , l∥? ,则 ?∥? ③ 若 l ? ? , l∥? ,则 ?∥? ②若 ? ? ? , l∥? ,则 l ? ? ④若 l ? ? , l ? ? ,则 ?∥?

【答案】④【分析】①若 l∥? , l∥? ,则 ? 与 ? 相交或平行,故①错误; ②若 ? ? ? , l∥? ,则 l 与 ? 相交、平行或 l ? ? ,故②错误;

③若 l ? ? , l∥? ,则 ? 与 ? 垂直,故③错误; ④若 l ? ? , l ? ? ,则由平面与平面平行的判定定理知 ?∥? ,故④正确.故选④.

4.设有直线 m、n 和平面 α、β,下列四个命题中,正确的有___________. ① 若 m∥α,n∥α,则 m∥n ② 若 m ? α,n ? α,m∥β,n∥β,则 α∥β ③ 若 α⊥β,m ? α,则 m⊥β ④ 若 α⊥β,m⊥β, m ? ? ,则 m∥α
【答案】④【分析】①不对,由面面平行的判定定理知,m 与 n 可能相交,也可能是异面直 线;②不对,由面面平行的判定定理知少相交条件;③不对,由面面垂直的性质定理知,m 必须垂直交线;故正确的只有④. 5.已知空间直线 l 不在平面 α 内,则“直线 l 上有两个点到平面 α 的距离相等”是“l∥α”的 _____________条件. 【答案】必要非充分【分析】若 l∥α,则直线 l 上有两个点到平面 α 的距离相等成立,当直 线和平面相交时,直线 l 上也可能存在两个点到平面 α 的距离相等,但此时 l∥α 不成立, ∴“直线 l 上有两个点到平面 α 的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件.

6. 已知直线 a 不平行于平面 α,给出下列四个结论:
①α 内的所有直线都与 a 异面; ②α 内不存在与 a 平行的直线; ③α 内的直线都与 a 相交; ④直线 a 与平面 α 有公共点. 以上正确命题的序号________. 【答案】④【解析】因为直线 a 不平行于平面 α,则直线 a 与平面 α 相交或直线 a 在平面 α 内,所以①、②、③均不正确.故答案为④.

7. 若 m、n 为两条不重合的直线,α、β 为两个不重合的平面,则下列命题中真命题的序号
是________. ①若 m、n 都平行于平面 α,则 m、n 一定不是相交直线; ②若 m、n 都垂直于平面 α,则 m、n 一定是平行直线; ③已知 α、β 互相平行,m、n 互相平行,若 m∥α,则 n∥β; ④若 m、n 在平面 α 内的射影互相平行,则 m、n 互相平行. 【答案】②【解析】①为假命题,②为真命题,在③中,n 可以平行于 β,也可以在 β 内, 故是假命题,在④中,m、n 也可能异面,故为假命题.

8. 已知直线 l,m,平面 α,β,且 l⊥α,m?β,则 α∥β 是 l⊥m 的_______________条件.
【答案】充分不必要【解析】若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β,又 m?β,所以 l⊥m,充分性成立.反 之不成立,故 α∥β 是 l⊥m 的充分不必要条件. 9.若空间三条直线 a,b,c 满足 a⊥b,b⊥c,则直线 a 与 c________(填位置关系). 【答案】 平行或相交或异面 【分析】 当 a,b,c 共面时, a ? c ;当 a,b,c 不共面时,a 与 c 可能异面也可能相

交. 10.(2014· 江西七校联考)已知直线 a 和平面 α,β, ? ? ?=l , a ? ?,a ? ? ,且 a 在 α, β 内的射影分别为直线 b 和 c,则直线 b 和 c 的位置关系是________. 【答案】 相交、平行或异面 【分析】 依题意,直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面. 11.平面 α,β 相交,在 α,β 内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________ 个平面. 【答案】 1 或 4 【分析】 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行, 则确定一个平面; 否则确定四个平面. 12.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对. 【答案】 24 【分析】 如图所示,与 AB 异面的直线有 B1C1 , CC1 , A1D1 , DD1 四条,因为各棱 具有不同的位置,且正方体共有 12 条棱,排除两棱的重复计算,共有异面直线

12? 4 ? 24 (对). 2

第 12 题图 FGQ82 13.在正方体 AC1 中,E,F 分别是线段 BC, CD1 的中点,则直线 A 1B 与直线 EF 的位置关 系是________. 【答案】 相交 【分析】 如图所示,直线 A 1B 与直线外一点 E 确定的平面为 A 1BCD 1 , EF ? 平面

A1BCD1 ,且两直线不平行,故两直线相交.

第 13 题图 FGQ83

14. 给出下列命题: ① l1 ? l2 , ② l1 ? l2 , l1 ,l2 ,l3 是空间三条不同的直线, l2 ? l3 ? l1 ? l3 ;

l2 ? l3 ? l1 ? l3 ;③ l1 ? l2 ? l3 ? l1 , l2 , l3 共面;④ l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共
面.其中正确命题的序号是________. 【答案】 ② 【分析】 当 l1 ⊥ l2 ,l2 ⊥ l3 时,l1 与 l3 也可能相交或异面或平行,故①不正确;l1 ⊥ l2 ,

l2 ? l3 ? l1 ? l3 ,故②正确;当 l1 ? l2 ? l3 时, l1 , l2 , l3 未必共面,如三棱柱的三条
侧棱,故③不正确; l1 , l2 , l3 共点时, l1 , l2 , l3 未必共面,如正方体中从同一顶点 出发的三条棱,故④不正确. 15.(2014· 深圳调研)两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是________(填序号). ①两条相交直线;②两条平行直线;③两个点;④一条直线和直线外一点. 【答案】 ③ 【分析】 如图,在正方体 ABCD-EFGH 中,M,N 分别为 BF,DH 的中点,连接 MN, DE,CF,EG.当异面直线为 EG,MN 所在直线时,它们在底面 ABCD 内的射影为两条 相交直线;当异面直线为 DE,GF 所在直线时,它们在底面 ABCD 内的射影分别为 AD, BC,是两条平行直线;当异面直线为 DE,BF 所在直线时,它们在底面 ABCD 内的射 影分别为 AD 和点 B,是一条直线和一个点.

第 15 题图 FGQ84

16. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 C1D1 , C1C 的中点,有以下四 个结论:

第 16 题图 FGQ85 ①直线 AM 与 CC1 是相交直线;

②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为________(填序号). 【答案】 ③④ 【分析】 A,M, C1 三点共面,且在平面 AD1C1B 中,但 C ? 平面 AD1C1B ,因此直 线 AM 与 CC1 是异面直线,同理 AM 与 BN 也是异面直线,AM 与 DD1 也是异面直线, ①②错,④正确;M,B, B1 三点共面,且在平面 MBB1 中,但 N ? 平面 MBB1 ,因此 直线 BN 与 MB1 是异面直线,③正确. 17. 如图, 四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形, ∠BAD=∠FAB= 90 , BC= G,H 分别为 FA,FD 的中点.
?

1 1 AD, BE= FA, 2 2

第 17 题图 FGQ167 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C,D,F,E 四点是否共面?为什么? 【解】(1)证明:由已知 FG=GA,FH=HD,可得 GH= 又 BC=

1 AD 且 GH ? AD. 2

1 AD,AD ? BC,∴GH=BC 且 GH ? BC, 2

∴四边形 BCHG 为平行四边形.

1 AF,G 为 FA 中点知,BE=FG,由题知 AF ? BE,即 BE ? FG, 2 ∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴ EF ? BG .
(2)由 BE= 由(1)知 BG ? CH,∴ EF ? CH ,∴EF 与 CH 共面. 又 D ? FH ,∴C,D,F,E 四点共面. 18.如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,OA⊥底面 ABCD, OA=2,M 为 OA 的中点.

第 18 题图 FGQ168 (1)求四棱锥 O-ABCD 的体积; (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小. 【解】(1)由已知可求得,正方形 ABCD 的面积 S=4, 所以,四棱锥 O-ABCD 的体积 V=

1 8 × 4× 2= . 3 3

第 18 题图 FGQ169 (2)如图,连接 AC,设线段 AC 的中点为 E,连接 ME,DE, 则∠EMD(或其补角)为异面直线 OC 与 MD 所成的角, 由已知,可得 DE= 2 ,EM= 3 ,MD= 5 , ∵ ( 2)2 ? ( 3)2 ? ( 5)2 , ∴△DEM 为直角三角形, ∴tan∠EMD=

DE 2 6 . ? ? EM 3 3

19.四棱锥 P-ABCD 的所有侧棱长都为 5 ,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,则 CD 与 PA 所成角的余弦值为________. 【答案】

5 5

【分析】 因为四边形 ABCD 为正方形,故 CD ? AB ,则 CD 与 PA 所成的角即为 AB 与 PA 所成的角,即为∠PAB. 在 △ PAB 内 , PB = PA =

5 , AB = 2 , 利 用 余 弦 定 理 可 知 cos ∠ PAB =

PA2 ? AB2 ? PB2 5? 4?5 5 . ? ? 2 ? PA ? AB 2? 5 ? 2 5

20. (2015· 南京、盐城模拟)一个正方体的展开图如图所示,A,B,C,D 为原正方体的顶点, 则在原来的正方体中:

第 20 题图 FGQ170 ① AB ? CD ;②AB 与 CD 相交; ③AB⊥CD;④AB 与 CD 所成的角为 60? . 其中正确的结论是________(填序号). 【答案】 ④ 【分析】 如图,把展开图中的各正方形按图 1 所示的方式分别作为正方体的前、后、 左、 右、 上、 下面还原, 得到图 2 所示的直观图, 可见①, ②, ③不正确. 图 2 中, BE ? CD , ∠ABE 为 AB 与 CD 所成的角, △ABE 为等边三角形,∴∠ABE= 60 ,∴④正确.
?

图1 第 20 题图 FGQ171

图2 第 20 题图 FGQ172

21.在图中,G,H,M,N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH,MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).

第 21 题图 FGQ173 【答案】 ②④ 【分析】 图①中,直线 GH ? MN ;图②中,G,H,N 三点共面,但 M ? 面 GHN, 因此直线 GH 与 MN 异面;图③中,连接 MG, GM ? HN ,因此 GH 与 MN 共面;图 ④中,G,M,N 共面,但 H ? 面 GMN,因此 GH 与 MN 异面.所以在图②④中 GH 与

MN 异面. 22.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB 和 AA1 的中点.

第 22 题图 FGQ174 求证:(1)E,C, D1 ,F 四点共面; (2)CE, D1F ,DA 三线共点. 【证明】 (1)连接 EF, CD1 , A 1B .

第 22 题图 FGQ195 ∵E,F 分别是 AB, AA1 的中点, ∴ EF

? BA1 .

又A 1B ? D 1C , ∴ EF

? CD1 ,

∴E,C, D1 ,F 四点共面.

第 22 题图 FGQ175 (2)∵ EF

? CD1 , EF<CD1 ,

∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则由 P ? CE , CE ? 平面 ABCD,

得 P ? 平面 ABCD. 同理 P ? 平面 ADD1 A 1. 又平面 ABCD ? 平面 ADD1 A =DA , 1 ∴ P ? 直线 DA. ∴CE, D1F ,DA 三线共点.


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