当前位置:首页 >> 数学 >>

分式方程及其解法


一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时, 它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与

以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水
的流速为多少? 解:设江水的流速为 v 千米/时,则顺水速度为____
千米/时;逆水速度为______千米/ 时; 根据题意,得

90 60 ? 30 ? v 30 ? v

说说两方程 有何异同

x?3 x 1? ? 6 2

x 2x 1 2 1 10 +1 = ; = 2 ; = 追问1 方程 2 x x+3 x-5 x - 25 x+1 3x+3 与上面的方程有什么共同特征?

分母中含有未知数.

【分式方程的定义】

分母中含未知数的方程叫做 分式方程.
整式方程的未知数不在分母中 分式方程的分母中含有未知数
判断下列说法是否正确: 2x ? 3 (1) ? 5是 分 式 方 程 2 3 4 ( 2) ? 是分式方程 4 ? 4x x ? 3
(×) (√)

( 3)

( 4)

x2 ? 1是 分 式 方 程 x 1 1 ? 是分式方程 x ?1 y ?1

( √)
( √)

练习 下列式子中,属于分式方程的是(2)(3) , 属于整式方程的是 (1) (填序号).

x x-1 2 4 () 1 + =1; (2) = ; 2 3 2 1-x 1-x 1 2 1 (3) + 2 =1; (4) >5. 3x x x

下面我们一起研究下怎么样来解分式方程:

90 60 ? 30 ? v 30 ? v

一元一次方程

方程两边同乘以(30+v)(30-v) ,得:

90(30 ? v) ? 60 (30 ? v)
解得:

v?6

检验:将v=6代入分式方程,左边=2.5=右边, 所以v=5是原分式方程的解。 在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数 学思想方法:转化的数学思想(化归思想)。

解分式方程的基本思路是将分式方程化为 思考 : 整式方程,具体做法是“去分母”,即方程 分式方程的特征是什么? 左右两边同乘最简公分母,然后解方程即可. 如何解刚才的分式方程?

上面分式方程中各分母的最简公分母是: (30+v)(30-v) 方程两边同乘(30+v)(30-v) ,得: 90(30-v)=60(30+v) 解得: v=6 检验:将v=6代入原方程中,左边=2.5=右边, 因此 v=6是分式方程的解. 答:江水的流速为6千米/时.

1 10 解分式方程: ? 2 x ? 5 x ? 25
解:方程两边同乘以最简公分母(x-5)(x+5),得:

x+5=10 解得: x=5

增根

从去分母后所得的整式方程 中解出的

能使分式方程的分母为0的解 检验: 将x=5代入x-5、x2-25的值都为0,相应 分式无意义。所以x=5不是原分式方程的解。 ∴原分式方程无解。

增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不适合于原方程的根. ········· 使最简公分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式 后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程 ···· ···· 的根.所以我们解分式方程时一定要代入最简 公分母检验

探究分式方程的增根原因
对于原分式方程的解来说,必须要求使 方程中各分式的分母的值均不为零,但变 形后得到的整式方程则没有这个要求.如果 所得整式方程的某个根,使原分式方程中 至少有一个分式的分母的值为零,也就是 说使变形时所乘的整式(各分式的最简公 分母)的值为零,它就不适合原方程,即 是原分式方程的增根.

90 1、上面两个分式方程中,为什么 30+V x-5 x -25

=

去分母后得到的整式方程的解就是它的解,而 10 去分母后得到的整式方程的解却不 1 = 2
90 30+V

60 30-V

是原分式方程的解呢?我们来观察去分母的过程

=

60 两边同乘(30+v)(30-v)90(30-v)=60(30+v) 30-V当v=6时,(30+v)(30-v)≠0

分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的 解与分式方程的解相同.
1 x-5

=

10 x2-25

两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=0

x+5=10

分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的 解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式 方程的解.

2、怎样检验所得整式方程的解是否是 原分式方程的解?
将整式方程的解代入最简公分母,如果 最简公分母的值不为0,则整式方程的 解是原分式方程的解,否则这个解就不 是原分式方程的解.

解分式方程的一般步骤: 1.去分母。化分式方程为整式方程.即 把分式方程两边同乘以最简公分母. 2.解这个整式方程. 3.检验.把整式方程的解(根) 代入最 简公分母, 若结果为零则是增根,必须 舍去,若结果不为0,则是原方程的根. 一化 4.写结论
二解

三检验

例1:

2 3 解方程 : ? x ?3 x

分式方程 转 ,得: 化 整式方程

解:方程两边同乘x(x-3) 2x=3x-9 解得: x=9 检验:将x=9时x(x-3) ≠0 因此 9是分式方程的解.

解整式方程





类似的

x 3 解方程 : ?1 ? x ?1 ( x ? 1)(x ? 2)

例2:
x 3 解方程 : ?1 ? x ?1 ( x ? 1)(x ? 2)
解:方程两边同乘 (x+2)(x-1) ,得: x (x+2)-(x+2)(x-1) =3 解得: x=1 检验:x=1时(x+2)(x-1) =0 ,1不是原 分式方程的解,原分式方程无解.

(2 )

x?2 16 x?2 ? 2 ? x?2 x ?4 x?2

解:方程两边同乘以( x ? 2)(x ? 2), 注意:分 式方程的 2 2 得, ( x ? 2) ?16 ? ( x ? 2) , 求根过程
? x ? 2. 检验:把x=2代入 x2-4, 得x2-4=0。 ∴x=2是增根,从而原方程无解。.

x ? 4x ? 4 ?16 ? x ? 4x ? 4,
2 2

不一定是 同解变形, 所以分式 方程一定 要验根!

通过例题的讲解和练习的操作,你能 总结出解分式方程的一般步骤吗?
解分式方程的一般步骤: (1)在方程的两边都乘以最简公分母,化成 整式 ____________ 方程; 整式 (2)解这个____________ 方程; 这个整式 方程的解代入 (3)检验:把__________ 最简公分母中 如果值_________, 不为零 ____________. 就 是原方程的解;如果值__________, 就不 为零 舍去 是原方程的解.应当__________.

解分式方程的一般步骤:
分式方程
去分母

整式方程
解整式方程

目标

x =a
检验

a是分式方程的解

最简公分 母不为0

最简公分 母 为0

a不是分式方程的解

1.若方程中的分母是多项式,须先分解 因式.再确定最简公分母.

2.若方程中的含有整数项,去分母时不 要漏乘.

?解分式方程容易犯的错误有:
(1)去分母时,原方程的整式部分漏乘. (2)约去分母后,分子是多项式时, 没 有注意添括号.(因分数线有括号的作用)

(3)增根不舍掉。

例3:k为何值时,方程 增根?

k 1? x ?3? 产生 x?2 2? x

问:这个分式方程何时有增根? 答:这个分式方程产生增根,则增根一定是使 方程中的分式的分母为零时的未知数的值,即 x=2。 问:当x=2时,这个分式方程产生增根怎样利用 这个条件求出k值?

答:把含字母k的分式方程转化成含k的整式方 程,求出的解是含k的代数式,当这个代数式等 于2时可求出k值。

例3:k为何值时,方程

k 1? x ?3? 产生增根? x?2 2? x

解:方程两边都乘以x-2,约去分母,得
k+3(x-2)=x-1 把x=2代入以上方程得:K=1

k 1? x ?3? 所以当k=1时,方程 产生增根。 x?2 2? x

1.当m=0时,方程 x ? 2 ? m 会产 x?3 x?3 生增根吗? x m 2.当m=1时,方程 会产 ?2? x?3 x?3 生增根吗?
x m 3.当m为何值时,方程 x ? 3 ? 2 ? x ? 3 会

产生增根呢?

一化二解三检验
1、解分式方程的思路是:
分式方程
去分母

整式方程

2、解分式方程的一般步骤:
1、在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整 式方程. 2、解这个整式方程. 3、 把整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的 值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个 解不是原分式方程的解,必须舍去. 4、写出原方程的根.


相关文章:
例析分式方程的解法与技巧
例析分式方程的解法与技巧_企业管理_经管营销_专业资料。http://www.mathschina.com 彰显数学魅力!演绎网站传奇! 例析分式方程的解法与技巧江苏 朱元生 解分式方程...
分式方程的另两种解法
分式方程的另两种解法_初三数学_数学_初中教育_教育专区。化归法和构造法 分式方程的另两种解法 课本上介绍了两种解分式方程的方法: (1)去分母法; (2)换元法...
分式方程的解题方法
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解析】 例 1. 解方程: x 2 ? ?1 x ?1 x ?1 分析:首先要确定各分式分母的最简公...
分式方程的解法与技巧_知识精讲
分式方程的解法与技巧_知识精讲_数学_初中教育_教育专区。分式方程的解法与技巧【典型例题】 1. 局部通分法: 例 1. 解方程: x?3 x?4 x?6 x?7 ? ? ?...
分式方程及其解法教学设计
分式方程及其解法教学设计 山阳县十里中学 一、教学目标(一) 、知识与能力目标 1.使学生了解分式的概念,使学生能够求出分式有意义的条件,明确分母不得 为零是分...
分式方程的概念及解法
分式方程的概念及解法_数学_初中教育_教育专区。分式方程的概念,解法知识要点梳理 要点一:分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释: 1.分式方程...
《分式方程的解法》
分式方程的解法》_数学_自然科学_专业资料。自主导学课堂模式――《分式方程的解法》教学设计九澧实验学校 陈勇 教学内容:湘教版八年级上册数学《分式方程的解法》...
分式方程的特殊解法
分式方程的特殊解法_数学_初中教育_教育专区。分式方程的特殊解法分式方程的解法除常规的去分母法和换元法之外,还有许多特殊的解法。 一、 分组通分法: 3 4 1 ...
分式方程及其解法教学设计
分式方程及其解法教学设计 单位:洪水庄中学 姓名:张文超 日期:2015 年 1 月 分式方程及其解法教学设计 洪水庄中学 张文超 一、教学目标(一) 、知识与能力目标...
分式方程-第1课时_分式方程及其解法
分式方程-第1课时_分式方程及其解法_数学_初中教育_教育专区。15.3 分式方程 第 1 课时 分式方程及其解法 1.理解分式方程的意义. 2.了解分式方程的基本思路和...
更多相关标签: