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【课堂新坐标】2015届高考数学(理)一轮总复习课后限时自测:第9章-第4节 变量间的相关性与统计案例]


课后限时自测
A组 一、选择题 1.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子的身高数据如 下: 父亲身高 x(cm) 儿子身高 y(cm) 则 y 对 x 的线性回归方程为( A.y=x-1 1 C.y=88+ x 2 【解析】 174 175 ) 176 175 176 176 176 177 178 177 基础训练

B.y=x+

1 D.y=176

x =176, y =176,

又回归直线一定过( x , y ), ∴经检验 A、B、D 错误,C 正确. 【答案】 C

2.在 2012 年 7 月伦敦第 30 届奥运会上,中国健儿取得了 38 金、27 银、 22 铜的好成绩,移居世界金牌榜榜首,由此许多人认为中国进入了世界体育强 国之列,也有许多人持反对意见.有网友为此进行了调查,在参加调查的 2 548 名男性公民中有 1 560 名持反对意见, 2 452 名女性公民中有 1 200 人持反对意见, 在运用这些数据说明中国的奖牌数是否与中国进入体育强国有无关系时, 用什么 方法最有说服力( ) B.回归直线方程 D.概率

A.平均数与方差 C.独立性检验

【解析】 由于参加讨论的公民按性别被分成了两组,而且每一组又被分成 了两种情况:认为有关与无关,故该资料取自完全随机统计,符合 2×2 列联表 的要求. 故用独立性检验最有说服力. 【答案】 C

3.(2012· 湖南高考)设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具

有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立 的回归方程为^ y=0.85x-85.71,则下列结论中不正确 的是( ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 【解析】 由于线性回归方程中 x 的系数为 0.85,因此 y 与 x 具有正的线性 相关关系, 故 A 正确. 又线性回归方程必过样本中心点( x ,y ), 因此 B 正确. 由 线性回归方程中系数的意义知,x 每增加 1 cm,其体重约增加 0.85 kg,故 C 正 确.当某女生的身高为 170 cm 时,其体重估计值是 58.79 kg,而不是具体值, 因此 D 不正确. 【答案】 D )

4.(2014· 济南模拟)在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正 确的是( )

①若 k2≥6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病; ②从独立性检验可知有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时, 我们说某人 吸烟,那么他有 99%的可能患有肺病; ③从统计量中得知有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5%的可 能性使得推断出现错误. A.① B.①③ C.③ D.②

【解析】 【答案】

由独立性检验思想知③正确,①②错误. C

5.(2014· 济南调研)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

^x+a ^中的b ^为 9.4, 根据上表可得回归方程^ y=b 据此模型预报广告费用为 6 万 元时销售额为( A.63.6 万元 ) B.65.5 万元

C.67.7 万元 【解析】 y= ∵x=

D.72.0 万元 4+2+3+5 7 =2, 4

49+26+39+54 =42, 4

^x+a ^必过( x , y ),∴42=7×9.4+a ^,∴a ^=9.1. 又^ y=b 2 ∴线性回归方程为^ y=9.4x+9.1, ∴当 x=6 时,^ y=9.4×6+9.1=65.5(万元). 【答案】 二、填空题 6.(2014· 西安质检)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的 时间,为此进行了 5 次试验.根据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回 归方程^ y=0.67x+54.9. 零件数 x(个) 加工时间 y(min) 10 62 20 30 75 40 81 50 89 B

现发现表中有一个数据看不清,请你推断出该数据的值为________. 【解析】 由- x =30,得- y =0.67×30+54.9=75.

设表中的“模糊数字”为 a, 则 62+a+75+81+89=75×5,∴a=68. 【答案】 68

7.(2011· 陕西高考)设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样 本点,直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图 9-4- 2),以下结论正确的是________.

图 9-4-2 ①直线 l 过点( x , y )

②x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 ③x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 ④当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 【解析】 由样本的中心( x , y )落在回归直线上可知①正确;x 和 y 的相

关系数表示为 x 与 y 之间的线性相关程度,不表示直线 l 的斜率,故②错;x 和 y 的相关系数应在-1 到 1 之间,故③错;分布在回归直线两侧的样本点的个数 并不绝对平均,无论样本点个数是奇数还是偶数,故④错. 【答案】 ①

8 .某炼钢厂废品率 x(%) 与成本 y( 元 /t) 的线性回归方程为 ^ y = 105.492 + 42.569x.当成本控制在 176.5 元/t 时, 可以预计生产的 1 000 t 钢中, 约有________t 钢是废品. 【解析】 ∵176.5=105.492+42.569x,∴x≈1.668.

即成本控制在 176.5 元/t 时,废品率为 1.668%. ∴生产的 1 000 t 钢中,约有 1 000×1.668%=16.68(t)钢是废品. 【答案】 三、解答题 9. 某班主任对全班 50 名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调 查,统计数据如下表所示: 积极参 加班级 工作 学习积极性高 学习积极性一 般 合计 6 24 19 26 25 50 18 不太主 动参加 班级工 作 7 25 合 计 16.68

(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的 概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多 少?

(2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作 的态度是否有关系?并说明理由. (参考下表) P(K2 ≥k) k

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001 10.82 8

0.455 【解】

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

(1)积极参加班级工作的学生有 24 人,总人数为 50 人,

24 12 ∴抽到积极参加班级工作的学生的概率 P1=50=25, 不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有 19 人, 19 ∴抽到不太主动参加工作且学习积极性一般的学生概率 P2=50, (2)由列联表知, 50×?18×19-6×7?2 150 k= = 13 ≈11.5, 25×25×24×26 由 k>6.635,且 P(K2≥6.635)=0.010 ∴在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下,认为学习积极性与对待班级工作 的态度有关系. 10. 某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关 系进行研究, 他们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天 每 100 颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料: 日期 温差 x/℃ 发芽数 y/颗 3月1日 10 23 3月2日 11 25 3月3日 13 30 3月4日 12 26 3月5日 8 16

(1)从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 m,n,求事 件“m,n 均不小于 25”的概率; (2)若选取的是 3 月 1 日与 3 月 5 日的两组数据,请根据 3 月 2 日至 3 月 4 ^x+a ^. 日的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程^ y=b 【解】 (1)m, n 的所有取值情况有(23,25), (23,30), (23,26), (23,16), (25,30),

(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共有 10 个. 设“m,n 均不小于 25”为事件 A,则包含的基本事件有(25,30),(25,26), 3 (30,26),所以 P(A)=10, 3 故事件 A 发生的概率是10. (2)由数据得 x =12, y =27,3 x y =972,i∑ xiyi=977, =1 ∑x2=434,3 x 2=432 i=1 i ^= 由公式,得b 977-972 5 = , 434-432 2
3 3

^=27-5×12=-3, a 2 5 所以 y 关于 x 的线性回归方程为^ y=2x-3. B组 能力提升

1.(2014· 福州质检)在下面四个结论中: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ②设有一个回归方程^ y=3-5x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单 位; ^x+a ^必过(- ③线性回归方程^ y=b x ,- y ); ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 K2 的观测值 k=13.079,则在犯错误的 概率不超过 0.001 的前提下认为这两个变量间有关系. 其中错误的个数是( A.0 B.1 C.2 ) D.3

本题可以参考独立性检验临界值表 P(K2 ≥k0) k0

0.5

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001 10.82 8

0.455 【解析】

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

只有②错误,应该是 y 平均减少 5 个单位.

【答案】

B

2.以下四个命题,其中正确的是________(填正确命题的序号). ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 20 分钟从中抽取一件产品进 行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样; ②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1; ③在线性回归方程^ y=0.2x+12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报 变量^ y平均增加 0.2 个单位; ④对分类变量 X 与 Y,它们的随机变量 K2 的观测值 k 来说,k 越小,“X 与 Y 有关系”的把握程度越大. 【解析】 易知②③正确,①是系统抽样;对于④,随机变量 K2 的观测值

k 越小,说明两个相关变量有关系的把握程度越小.因此①④错. 【答案】 ②③

3.某地区甲校高二年级有 1 100 人,乙校高二年级有 900 人,为了统计两 个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩, 采用分层抽样的方法在两校 共抽取了 200 名学生的数学成绩,如下表:(已知本次测试合格线是 50 分,两校 合格率均为 100%) 甲校高二年级数学成绩: 分组 频数 [50,60) 10 [60,70) 25 [70,80) 35 [80,90) 30 [90,100] x

乙校高二年级数学成绩: 分组 频数 [50,60) 15 [60,70) 30 [70,80) 25 [80,90) y [90,100] 5

(1)计算 x, y 的值, 并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(精确到 1 分). (2)若数学成绩不低于 80 分为优秀,低于 80 分的为非优秀,根据以上统计 数据写下面 2×2 列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为 “两个学校的数学成绩有差异?” 甲校 优秀 非优秀 乙校 总计

总计 【解】 (1)依题意甲校应抽取 110 人,乙校应抽取 90 人,

故 x=10,y=15,估计甲校平均分为 55×10+65×25+75×35+85×30+95×10 ≈75, 110 乙校平均分为 55×15+65×30+75×25+85×15+95×5 ≈71. 90

(2)列 2×2 列联表如下: 甲校 优秀 非优秀 总计 k= 40 70 110 乙校 20 70 90 总计 60 140 200

200?40×70-20×70?2 ≈4.714, 110×90×60×140

又因为 4.714>3.841.故能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“两个 学校的数学成绩有差异”.


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