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函数映射


函数映射 一、选择题 1.下列各图中表示的对应,其中能构成映射的个数是( )

A.4 【解析】

B.3

C.2

D.1

所谓映射,是指“多对一”或“一对一”的对应,且 A 中每一

个元素都必须参与对应. 只有图(3)所表示的对应符合映射的定义,即 A

中的每一个元素在对应法则 下,B 中都有唯一的元素与之对应. 【答案】 D )

2.下列对应关系 f 中,不是从集合 A 到集合 B 的映射的是( A.A={x|1<x<4},B=[1,3),f:求算术平方根 B.A=R,B=R,f:取绝对值 C.A={正实数},B=R,f:求平方 D.A=R,B=R,f:取倒数 【解析】

A、B、C 均符合映射的定义,而对于 D,集合 A 中的元素 0 在

集合 B 无元素与之对应,故 D 不是 A 到 B 的映射. 【答案】 D

3.已知集合 A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b,若 4 和 10 的原像分 别对应 6 和 9,则 19 在 f 作用下的像为( A.18 B.30 )

27 C. 2 【解析】

D.28 ?6a+b=4, 由题意,可知? 解得 a=2,b=-8, ?9a+b=10,

∴对应关系为 y=2x-8. 故 19 在 f 作用下的像是 y=2×19-8=30. 【答案】 B

4.集合 A={1,2,3},B={3,4},从 A 到 B 的映射 f 满足 f(3)=3,则这样的 映射共有( A.3 个 【解析】 ) B.4 个 C.5 个 D.6 个

∵f(3)=3,∴共有如下 4 个映射

【答案】

B

5.(2013· 太原高一检测)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 →密文(加密),接收文由密文→ 明文(解密),已知加密规则为:明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如,明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.当接收文 收到密文 14,9,23,28 时,解密得到的明文为( A.4,6,1,7 C.6,4,1,7 【解析】 B.7,6,1,4 D.1,6,4,7 由题意得 a+2b=14,2b+c=9,2c+3d=23,4d=28,解得 d=7, )

c=1,b=4,a=6. 【答案】 二、填空题 6.设集合 A 和 B 都是坐标平面上的点集{(x,y)|x∈R,y∈R},映射 f:A→B 把集合 A 中的元素(x,y),映射成集合 B 中的元素(x+y,x-y),则在映射 f 下, 像(2,1)的原像是________. C

【解析】

?x+y=2, 解方程组? ?x-y=1, 3 1 (2,2)

3 ? ?x=2 得? 1 y = ? ? 2

【答案】

b 7.a,b 为实数,集合 M={a,1},N={a,0},f:x→x 表示把集合 M 中的 元素 x 映射到集合 N 中仍为 x,则 a+b 的值等于________. 【解析】 ∵f:x→x,∴M=N,

b ∴a=0,b=0,a=1,故 a+b=1. 【答案】 1

8.设 f:x→x2 是从集合 A 到集合 B 的映射,如果 A={1,2},则满足条件且 元素最少的集合 B=________. 【解析】 【答案】 三、解答题 9.判断下列对应是否是从集合 A 到集合 B 的映射,其中哪些是一一映射? 哪些是函数? (1)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系 f:“作圆的内接矩 形”; (2)A=B={0,1,2},对应关系 f:x→y,y=x+1; (3)A=B=N,对应关系 f:x→y,y=(x-2)2. 【解】 (1)不是映射,更不是函数或一一映射.因为一个圆有无数个内接 由已知,12=1,22=4,故 B={1,4}. {1,4}

矩形,即集合 A 中任何一个元素在集合 B 中有无数个元素与之对应,故不是映 射. (2)不是映射,更不是函数或一一映射,因为 x=2 时,y=3,但 3?B,即集 合 A 中元素 2 在 B 中没有元素和它对应,所以这个对应不是集合 A 到集合 B 的 映射. (3)是映射,也是函数,但不是一一映射.因为数集 A 中的元素 x 按照对应 关系 f 和数集 B 中的唯一一个元素对应,这个对应是集合 A 到集合 B 的映射和

函数.显然原像 0,4 在对应关系下的像都是 4,故映射不是一一映射. 10.已知映射 f:A→B 中,A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:A 中的元素(x, y)对应到 B 中的元素(3x-2y+1,4x+3y-1). (1)是否存在这样的元素(a,b)使它的像仍是自己?若存在,求出这个元素; 若不存在,说明理由; (2)判断这个映射是不是一一映射? 【解】 (1)假设存在元素(a,b)使它的像仍是(a,b).

?3a-2b+1=a, 1 由? 得 a=0,b=2. ?4a+3b-1=b, 1 ∴存在元素(0,2)使它的像仍是自己; (2)对任意的(a,b)(a∈R,b∈R), ?3x-2y+1=a, 方程组? 有唯一解, ?4x+3y-1=b 这说明对 B 中任意元素(a,b)在 A 中有唯一的原像, 所以映射 f:A→B 是 A 到 B 上的一一映射. 11.设集合 A=B={(x,y)|x,y∈R},f 是 A 到 B 的一个映射,并满足 f:(x, y)→(-xy,x-y). (1)求 B 中元素(3,-4)在 A 中的原像; (2)试探索 B 中哪些元素在 A 中存在原像; (3) 求 B 中元素(a,b)在 A 中有且只有一个原像时,a,b 所满足的关系式. ?-xy=3, 【解】 (1)设(x,y)是 B 中元素(3,-4)在 A 中的原像,于是? ?x-y=-4, ?x=-1, ?x=-3, 解得? 或? ?y=3 ?y=1. ∴(3,-4)在 A 中的原像有两个,(-1,3)和(-3,1). ?-xy=a, (2)设任意(a,b)∈B,则它在 A 中的原像(x,y)应满足,? ?x-y=b, 由②式得,y=x-b,将它代入①式,并化简得 x2-bx+a=0. ③ ① ②

当且仅当 Δ=b2-4a≥0 时,方程③有实数根,因此只有当 B 中元素(a,b)

满足 b2-4a≥0 时,在 A 中才有原像. (3)由以上(2)的解题过程可知,当 B 中元素(a,b)满足 b2=4a 时,它在 A 中 有且只有一个原像.


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