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几何画板在高中数学教学中的应用


《几何画板》在高中数学教学中的应用
《几何画板》是观察和探索几何图形的内在关系,深入几何的精髓的实验平台

《校本课程开发与实施有效性研究》课题组

雷作明

校本课程自编教材

《几何画板》
—观察和探索几何图形的内在关系,深入几何的精髓的实验平台
《几何画板》是一个适用于几何(平面几何、解析几何、射影几何等)教学的软件平台。它为老师和 学生提供了一个观察和探索几何图形内在关系的环境。它以点、线、圆为基本元素,通过对这些基本元素 的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等,构造出其它较为复杂的图形。 《几何画板》最大的特色是“动态性”,即:可以用鼠标拖动图形上的任一元素(点、线、圆) ,而事先 给定的所有几何关系(即图形的基本性质)都保持不变。举个简单的例子。我们可以先在画板上任取三个 点,然后用线段把它们连起来。这时,我们就可以拉动其中的一个点,同时图形的形状就会发行变化,但 仍然保持是三角形。再进一步,我们还可以分别构造出三条形的三条中线。这时再拉动其中任一点时,三 角形的形状同样会发生变化,但三条中线的性质永远保持不变。这样学生就可以在图形的变化中观察到不 变的规律:任意三角形的三条中线交于一点。 请注意:上述操作基本上与老师在黑板上画图相同。但当老师说“在平面上任取一点”时,在黑板上画 出的点却永远是固定的。所谓“任意一点”在许多时候只不过是出现在老师自己的头脑中而已。而《几何画 板》就可以让“任意一点”随意运动,使它更容易为学生所理解。所以,可以把《几何画板》看成是一块“动 态的黑板”。 《几何画板》的这种特性有助于帮助学生在图形的变化中把握不变的几何规律,深入几何的精 髓。这是其它教学手段所不可能做到的,真正体现了计算机的优势。另一方面,利用它的动态性和形象性, 还可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境。学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证,在 观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识,形成丰厚的几何经验背景,从而更有助于学生理 解和证明。因此, 《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境,有助于发挥学生的主体性、积 极性和创造性,充分体现了现代教学的思想。 《几何画板》的操作非常简单,一切操作都只靠工具栏和菜单实现,而无需编制任何程序。在《几何 画板》中,一切都要借助于几何关系来表现,因此用它设计软件最关键的是“把握几何关系”,而这正是老 师们所擅长的;但同时这也是它的局限性:它只适用于能够用几何模型来描述的内容。例如几何问题、部 分物理、天文问题等。 用《几何画板》开发软件的速度非常快。一般来说,如果有设计思路的话,操作较为熟练的老师开发 一个难度适中的软件只需 5-10 分钟。 正因为如此, 老师们才能真正把精力用于课程的设计而不是程序的编 制上,才能使技术真正地促进和帮助教学工作,并进一步推动教育改革的发展。 由此可见, 《几何画板》是一个“个性化”的面向学科的工具平台。这样的平台能帮助所有老师在教学中 使用现代教育技术,也能帮助学生更好地把握学科的内在实质,培养他们的观察能力、问题解决能力,并 发展思维能力。可以认为, 《几何画板》这样的平台代表着教育类工具软件的一个发展方向。

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目录
第一篇 《几何画板》基本操作 一、 画板工具 二、 编辑 三、 按钮设置 四、 显示/隐藏 五、 构造 六、 变换 七、 度量 八、 绘图 第二篇 边学边作

示范 1.动画制作(线性规划,动点轨迹) 示范 2.制作太阳、地球、月亮相对运动 示范 3.指数函数、对数函数、幂函数图象比较 示范 4.二分法求方程的零点(计算器与几何画板比较) 示范 5.分段函数图象制作(符号函数利用) 示范 6.某区间(可动)上二次函数的值域 第三篇 一、深度迭代 二、圆锥曲线制作 三、旋转生成圆台、圆柱、圆锥 四、一动点与两定点之连线的斜率乘积为常数的点的轨迹 五、投掷硬币模拟试验
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深化学习

第一篇
一、画板工具与菜单 1. 工具与菜单:

《几何画板》基本操作

要想用几何画板来开发一些简单但又实用的课件,就得先认识几何画板的工具及命令。

2.点击【文件】:

其中下设: 【新建文件】新建一个几何画板文件(.gsp) 【画板课堂链接】

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3【打开】打开一个或多个(.gsp 或.gss)文件

若勾选“包括工作过程”,则可保留上次工作过程,并对前面工作步骤进行“撤消”或“重复”(在编辑 菜单中有此项目),对画板进行加工,对于初学者可从别人的工作过程中获益。 【保存】保存当前文件(.gsp 或.gss) 【另存为】换名保存或存为图象文件(.wmf)

在此标签中的“文件名:”后输入所存的文件名。若要将画板当前状态存为图像文件,则只须将“保存为 元文件[.wmf]”前勾选,按下确认后再次确认,即存有一幅图元文件,可在 word 等字处理软件中调用。 下面就是调用的:波的干涉的画板图元文件:(由于是矢量图形,所以任意缩放均不会出现变花现象) 【关闭】关闭当前文件(.gsp 或.gss) 【文档选项】

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【打印预览】预览当前文件(.gsp 或.gss)的打印效果,也可在此处对打印的情况进行调整。 在标签中,显示了要打印图形(左方)及有关属性右上、进一步对打印机的设置(如纸张大小、打印质量 等)“尺寸”可选“实际尺寸”(按实际尺寸打印)、充满整页(使图象按纸张大小充满整页打印)、“其它” (按给定比例打印)等,可根据需要,打印出合适的图形来。 【打印】按前面的设置打印图形。

【退出】全部退出几何画板。 二、【编辑】 点选编辑栏,弹出如下菜单:

1.撤销与重做操作: (1) U 撤消[Ctrl+R] 复原前一次操作(也就是撤消前一次操作)。 (2)[R 重做[ Ctrl+R] 重复前一次操作(将已撤消的操作重复出来) 2..编辑操作: (1)[X 剪切 Ctrl+X]将选中对象剪切到剪贴板 5

(2)[C 复制 Ctrl+C]将选中对象复制到剪贴板 (3)[P 粘贴图片 Ctrl+V]将剪贴板上的内容粘贴到当前文件上 (4)[E 清除 Ctrl+Del]清除全部选中对象等。 三、按钮设置 1. M 运动:命令点由这一位置运动到另一位置。 操作:①依次选定起点、终点; ②启动下拉菜单中[编辑]→[操作类按钮]→[动画]命令;③运动方式设置:如下图, 有急速、快速、中速及慢速等四档。

于是在画板中出现按钮 2.

,当双击该按钮时,动点就会按要求移动。

A 动画:动点按照给定的路径(线段、直线、射线、圆等)运动。

操作:①选定一个动点、一条轨迹;②执行[编辑]→[按钮]→[动画]命令,弹出上图所示对话框,进行动画设置; ③一切设定完毕,按下“动画”按钮,在画板中出现按钮,双击此按钮,动点就按给定的轨迹运动起来。 3. H 隐藏/显示:对选定对象设置“隐藏/显示”按钮。 操作:①选择需要隐藏的对象;②执行[编辑]→[按钮]→[隐藏/显示]命令,画板上出现按钮,双击△隐藏按钮, 被选择对象隐藏起来,双击▲显示按钮,显示被隐藏对象。 4. Q 序列:按选定动作序列设置新的动作按钮。 操作:①依次选择几个需要顺序完成的动作;②执行[编辑]→[按钮]→[序列]命令,在画板中出现按钮,双击此按 钮,画板就依次执行设定的动作。 5.执行按钮:执行选择按钮的动作。 6.选择按钮 6

(1)[A 选择全部 Ctrl+/]选择活动窗口中的全部内容。 (2)[N 选择父母 Ctrl+U]选择父母对象。 (3)[H 选择子女 Ctrl+D]选择子女对象。 7.[O 插入] 【链接】

【O 插入】可插入各种对象:声音、动画、图形、图像、文字、?。设置标签如图: 从插入目标类型看, 理论上可在几何画板中插入 Windows 资源管理器中存在的各种媒体文件, 究竟有哪些媒体能在 你的计算机中插入,希望通过实践来摸索(声音是可以的)。 四、显示/隐藏

1.[L 线类型]定义所选择的线的类型:粗线、细线、虚线等。

2.[C 颜色]定义线或面的颜色。面的颜色只有 7 种(前一列中的 7 种);面的颜色共有 28 种。 7

3.[Y 字号/字形?]、[F 字体?] 对选定的文字进行字号、字形与字体的定义。 4.[H 隐藏(对象) Ctrl+H]、[S 显示所有隐藏]

对选定的对象(点、线、文本、图像等)进行隐藏;将所有隐藏对象 全显示出来。 5.[B 显示符号 Ctrl+k]、[R 更改符号(对象)]

显示所选对象的符号;对所选对象的符号进行更改。 6.[T 轨迹跟踪(对象) Ctrl+T]、[A 动画?]

跟踪对象(点、线、内圆、内多边形等)移动的轨迹;定义动画(与前面编辑中动画定义相比,这里只有一 次,且无按钮)。 7. 设置显示参数。其设置标签如图所示。

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五、构造

构造菜单由五部分够成:构造点、构造线、构造圆或圆弧、内部、轨迹等。 1.构造点: (1)[O 目标上的点] (2)[I 交点 Ctrl+I]构造两相交线(直线或弧线)的交点。 操作:①依次选择两条相交的直线或弧线;②执行该命令或按下[Ctrl+I]键。 (3)[M 中点 Ctrl+M]构造某一线段的中点。 操作:①选定一条或多条线段;②执行该命令或按下[Ctrl+M]键。 2.构造线: (1)[S 线段 Ctrl+L]根据选定的点依次构造线段(直线、射线),具体由“工具”给定。 操作:①选定两点或依次选定几点;执行该命令或按下[Ctrl+L]键。 (2)[D 垂直线]过直线(或线段)外(或直线上)一点构造该直线(或线段)的垂直线。 操作:①选择一个(或多个)点和一条(或多条)直线;②执行该命令。 (3)[P 平行线]过直线外一点构造该直线的平行线。 操作:①选择一个点(或多个点)和一条(或多条直线);②执行该命令。 (4)[B 角平分线]构造一个角的平分线。 操作:①依次选定三点 A、B、C 代表∠ABC;②执行该命令,便作出∠ABC 的平分线。 3.构造弧线: (1)[T 以圆心和一点划圆]以选定的第一点为圆心,过选定的第二点画一圆。 (2)[R 以圆心和半径划圆]以选定的点为圆心、选定的线段为半径画圆。 (3)[E 圆上的弧]根据选定的三点,构造圆上的弧(有一点为圆心,另有一点不一定在圆弧上) (4)[A 构造过三点的圆弧(三点均在圆弧上) 9

4.构造轨迹:

根据条件,构造点的轨迹(以后在讲)。

5.构造内部:

→(三种方式)

根据选定的对象构造内圆(选择对象是圆时)、内多边形

(按依次选定的点)、扇形内

(按选定的圆弧)、弧弦内 6.构造轨迹:按约束条件构造轨迹。 六、变换

(按选定的圆弧)

1.变换方式: (1) 执行[变换]→[平移?]后出现定义标签:

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可选择“根据标识的距离”平移、根据“直角坐标向量”平移、根据“极坐标向量”平移、根据“标识的向量”平 移等多种定义,不同的定义方式,移动的用处不同。 (2) 执行[变换]→[R 旋转?]后,出现如下对话框:

这里,可给定要旋转的角度或选择“根据标识的角度”事先设定进行旋转。 (3) 执行[变换]→[D 缩放?],出现下图对话框:

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这里,你可自己给定缩放的比例,或选择“根据标识的比例”(事先设定)进行缩放。 (4) 执行[变换]→[F 反射]命令,将选择对象按标识的镜面进行反射。

2.标识: (1) 在进行旋转、缩放等操作时,需标识中心。选择一个点,执行[变换]

→[C 标识中心* Ctrl+F]或用鼠标双击该点,即标识此点为中心,即可进行旋转、缩放等变换。 (2) 在进行反射时,需标识镜面。选择一条直线或线段,执行[变换]→[M 标

识镜面 Ctrl+G]或用鼠标双击该直线或线段,即标识此直线或线段为镜面,此后可进行反射变换。 (3) 标识从起点到终点的向量。顺次选择两个点,执行[变换]→[V 标识向量],即标识

一个从起点到终点的向量,在进行平移变换时,可选择“按标识的向量”进行,则平移的距离大小、方向均与该向 量一致。

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(4)

标识一个距离。选定一个已测算的长度,执行[变换]→[I 标识距离],即按已测算的长度标识

一个距离,在进行平移时,可选择按“标识的距离”平移,其平移的方式就是在 X 轴或 Y 轴上按次距离平移一段。 (5) 标识一个角度。依次选定三个点(如 A、B、C),执行[变换]→[A 标识角度],则标 识一个角度∠ABC,在进行旋转变换时,可选择“按标识的角度进行旋转。 (6) 标识一个比例。依次选定两条线段(如 k、j),执行[变换]→[O 标识比例”k/j”],

则标识一个以线段 k 和线段 j 的长度之比的比例,在执行缩放变换时,可选择“按标识的比例”进行缩放。 七、度量 测算:

1.

: 测算两点间、 一点和另一条线之间的距离。 先选定两点或一个点和另一条线段(直线),

执行[测算]→[D 距离],画板中显示被测算的距离。 2. 测算线段的长度、线段所在直线或选定的直线的斜率。选定一条线段,执行[测算]→[L

长度],即测出所选线段的长度并显示于画板中;执行[测算]→[S 斜率],即测出所选线段或直线的斜率。

3.

测算一个圆的半径、圆周、和面积。选定一个圆,执行[测算]→[R 半径]([F 圆周]、[A

面积]),即测出所选定的圆的半径(圆周、面积)。

4.

测算内多边形的面积、周长。选定一个内多边形,执行[测算]→[A 面积]([P 周长]),

即测出内多边形的面积(周长)。 5. 测定所选角的角度。 依次选定三点(A、 B、 C), 执行命令[测算]→[N 角度], 所测角度(∠ABC)

便显示于画板中。

6.

测定所选弧的弧度或弧长。选定一段圆弧,执行命令[测算]→[G 弧度]([H 弧长]),所测

弧度或弧长显示于画板中。 7. 中。 13 依次选定两条线段(l1、l2),执行命令[测算]→[O 比例],则比例 l1/l2 算出并显示于画板

8. 画板中。 9. 程式。 10.

测算点的坐标。选定一个或多个点,执行命令[测算]→[I 坐标],则测算出各点的坐标并显示于

测算圆、直线的方程。选定一个圆或直线,执行[测算]→[Q 方程式],则测算出该圆或直线的方

执行命令[测算]→[C 计算? Ctrl+=],出现如下对话框:

分离坐标:将一个点的坐标分离为单独的横坐标和纵坐标。 根据需要编写一个简单的计算公式或由系统内部 提供的函数进行数值计算。

11.

将测算出来的一组数固定成表格。 例如:设计一反映折射定律的小课件:

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拖动“入射光线”上端的点,可改变入射角,折射角发生相应改变,这时,我们将入射角、折射角、入射角与折射角的比值, 入射角的正弦值、折射角的正弦值、入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值固定成表格,通过对比就可得相应的结论。 八、绘图

1. 2. 3. 4. 5.

显示或隐藏坐标轴。 显示或隐藏格栅。 点的移动只能按照格栅进行而不能连续移动。 选择是按直角坐标还是极坐标方式显示格栅。 按给定坐标画点,可设定所画点的属性是定点还是自由点。设置如下。

6.设定坐标的形式:

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直角坐标还是极坐标。 7.给定直线或圆的方程式的形式。

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第二篇
线性规划:

边学边作

动点轨迹:

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太阳、地球、月亮相对运动:

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指数函数、对数函数、幂函数图象比较:

二分法求方程的零点:

分段函数图象制作:

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某区间(可动)上二次函数的值域:

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第三篇

深化学习
【深度迭代】

【操作步骤】先选中圆上起始点,再选中参数 n-1,按住 shift 不放, 【变换】出现【深度迭代】(否则只出现【迭代】), 对话框中出现“?”,点圆上第二个点,点击对话框中【迭代】 (可连接第一与第二两个点得线段, 选中圆上起始点,再 选 中参数 n-1,按住 shift 不放进行迭代得正多边形)。点击参数 n,【操作类按钮】,【动画】,范围改成 3 到 18(太大不 明显),,连续改为【离散】,动画参数 n,迭代成功。选择起始点,【操作类按钮】,【动画】,可使圆旋转起来。(注: n-1 可变为 n+1)

【圆锥曲线制作】 制作定长线段绕轴旋转中点的轨迹是圆:

按椭圆定义制作椭圆:

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画双曲线:

画抛物线:

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【旋转生成圆台、圆柱、圆锥】

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【一动点与两定点之连线的斜率乘积为常数的点的轨迹】

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【投掷硬币模拟试验】

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