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微积分课程教学大纲


《微积分》课程教学大纲
一、使用说明
(一)课程性质
《微积分》是高等学校财经、管理类专业核心课程经济数学基础之一,它 有着深刻的实际背景,在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等 领域中有广泛的应用。 微积分作为一学年的课程,是为财经类、管理类等非数学专业本科生开设 的, 制定大纲的原则是具有一定数学基础的学生对该领域的基础知识、背景有所 了解,为进一步学习专业课打下坚实的基础。

(二)教学目的
通过本课程的学习, 使学生较好地掌握微积分特有的分析思想,并在一定 程度上掌握利用微积分认识问题、解决问题的方法;对微积分的基本概念、基本 方法、基本结果有所了解,并能运用其手法解决实际问题中的简单课题。

(三)教学时数
本课程共 132 学时,8 学分。

(四)教学方法
采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

(五)面向专业
经济学、管理学所有本科专业。

二、教学内容 第一章 函数
(一)教学目的与要求
[教学目的] 使学生正确理解函数的定义。理解函数的各种表示法,特别是分析表示法。 了解函数的几何特性及图形特征,了解反函数、复合函数概念。熟练掌握基本初 等函数的性质及图形, 掌握初等函数的结构并能确定其定义域,能列出简单的实 际问题中的函数关系。
1

[基本要求] 1、理解实数与实数的绝对值的概念。 2、理解函数、函数的定义域和值域,熟悉函数的表示法。 3、了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征。 4、了解反函数概念;知道函数与其反函数的几何关系;给定函数会求其反 函数。 5、理解复合函数的概念;了解函数能构成复合函数的条件;掌握将一个复 合函数分解为较简单函数的方法。 6、基本初等函数及定义域、值域等概念;掌握基本初等函数的基本性质。 7、了解分段函数的概念。 8、会建立简单应用问题的函数关系。

(二)教学内容
函数的定义,函数的几何特性,反函数,复合函数,初等函数,经济中的常 用函数。 教学重点: 1、五个基本初等函数的分析表达式、定义域、值域及其图形。 2、初等函数的概念,复合函数的复合步骤的分解方法。 3、几个常用经济量的含义及几个常用的经济函数。 教学难点: 1、复合函数的复合步骤的分解方法。 2、利用图形把抽象的数学问题形象化、直观化研究问题的方法。

第一节
一、实数 二、绝对值 三、区间 四、邻域 五、集合

预备知识

第二节
一、常量与变量

函数概念

2

二、函数的定义与表示法 三、函数定义域的求法

第三节
一、函数的单调性 二、有界性 三、奇偶性 四、周期性

函数的几何特性

第四节 反函数
一、反函数的定义及其图形 二、反三角函数及其主值

第五节
一、复合函数的定义 二、运算及举例

复合函数

第六节

初等函数

一、基本初等函数的定义、定义域、值域及其图形 二、初等函数的定义

第七节
一、分段函数的概念 二、分段函数的图形特征

分段函数

第八节 建立函数关系的例子
一、总成本函数、总收入函数、总利润函数 二、需求函数、供给函数

(三)教学方法与形式
采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

(四)教学时数
6 学时。

第二章 极限与连续
(一)教学目的与要求
3

[教学目的] 通过本章教学使学生理解极限与连续这两个高等数学中的基本概念掌握极 限运算法则和两个极限存在准则,了解间断点的概念和闭区间上连续函数的性 质。 [基本要求] 1、了解数列极限与函数极限概念。关于数列极限与函数极限分析定义不做 要求。 2、了解无穷小量的概念与基本性质,掌握无穷小量比较的方法;了解无穷 大量的概念;知道无穷小量与无穷大量的关系。 3、知道两个极限的存在性定理,并能用于求一些简单的极限。夹逼定理, 单调有界数列的极限存在性定理。 4、熟练掌握两个重要极限,两个重要极限的证明不作要求。 5、了解函数连续性的概念,函数间断点的概念;掌握函数间断点的分类; 掌握讨论简单分段函数连续性的方法。 6、了解连续函数的性质,理解初等函数在其定义区间内必连续的结论。 7、了解闭区间上连续函数的基本定理,基本定理的证明不作要求。 8、掌握求极限的基本方法:利用极限运算法则、无穷小量的性质、两个重 要极限以及函数的连续性等求极限的方法。

(二)教学内容
数列极限, 函数极限, 极限的基本性质, 无穷小及无穷大, 极限的四则运算, 极限存在准则及两个重要极限,函数连续的概念及性质。 教学重点: 1、极限概念、极限的运算法则。 2、两个重要极限,求极限的一些基本初等方法。 3、函数连续性的概念、间断点的分类。 教学难点: 1、极限的概念。 2、分段函数的连续性。 3、间断点的分类。

4

第一节
一、数列的概念 二、数列极限的定义与几何意义

数列的极限

三、数列极限的唯一性及收敛数列的有界性

第二节
一、 x ? x0 时,函数 f ( x) 的极限 二、 x ?? 时,函数 f ( x) 的极限 三、函数极限的几何解释 四、单边极限

函数的极限

第三节
一、唯一性 二、有界性 三、保号性 四、不等式性

极限的基本性质

第四节 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量的定义与基本性质 二、无穷小量的比较 三、无穷大量的定义 四、无穷小量与无穷大量的关系

第五节
一、极限的四则运算法则 二、复合函数的极限运算法则

极限的运算法则

第六节
一、夹逼定理

极限的存在性定理

二、单调有界数列的极限存在性定理

第七节
一、 lim
x ?0

两个重要极限

sin x ?1 x
5

1 二、 lim(1 ? ) x ? e x x ??

第八节
一、函数的改变量 二、函数的连续性,左连续与右连续 三、函数的连续性与极限的关系 四、函数的间断点及其分类

函数的连续性

五、连续函数的和、差、积、商的连续性 六、反函数与复合函数的连续性 七、初等函数的连续性 七、分段函数的连续性

第九节
一、有界性定理 二、最值定理 三、介值定理 四、零点定理

闭区间上连续函数的基本定理

(三)教学方法与形式
采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

(四)教学时数
14 学时。

第三章 导数与微分
(一)教学目的与要求
[教学目的] 让学生理解导数与微分的概念, 导数的几何意义及函数可导性与连续性之间 的关系。掌握导数四则运算法则,初等函数、复合函数、反函数以及隐函数所确 定的函数的一阶二阶导数的求导方法,会求简单的 n 阶导数。 [基本要求] 1、了解导数的概念;知道导数的几何意义与经济意义;了解可导与连续的
6

关系。 2、熟练掌握基本初等函数的导数公式。 3、熟练掌握导数的四则运算法则。 4、掌握反函数的导数公式(证明不作要求) 。 5、熟练掌握复合函数的链式求导公式(证明不作要求) 6、掌握隐函数求导法与对数求导法。 7、了解高阶导数概念,掌握求二阶、三阶导数及某些简单函数的 n 阶导数 的方法。 8、了解微分的概念;掌握可导与可微的关系;熟练掌握微分法则与微分基 本公式;了解微分形式的不变性。 9、知道边际与弹性的概念,会求解简单的经济应用问题。

(二)教学内容
导数概念;导数的和、差、积、商的求导法则;反函数的导数;复合函数的 求导法则;高阶导数;隐函数的导数;函数的微分;微分在近似计算中的应用。 教学重点: 1、导数定义,利用求导公式及四则运算法则计算初等函数的导数。 2、复合函数的导数。 3、微分的定义以及计算方法。 教学难点: 1、导数概念的建立。 2、复合函数的导数。 3、微分概念的建立,微分形式不变性。

第一节
一、变速直线运动的速度 二、平面曲线的切线斜率 三、导数的定义与几何意义 四、可导与连续的关系

导数的概念

第二节

基本初等函数的导数公式

推导基本初等函数的导数公式。

7

第三节

导数的四则运算

导数的和、差、积、商的求导法则。

第四节

反函数与复合函数的导数,隐函数的导数,对数求导法

一、反函数的导数 二、复合函数的求导法则 三、隐函数的导数 四、对数求导法

第五节
一、高阶导数的概念 二、高阶导数求法

高阶导数的概念与求法

第六节 微分
一、微分的定义与几何意义 二、可导与可微的关系 三、微分法则与微分基本公式 四、微分形式的不变性

第七节
一、边际与弹性概念 二、边际与弹性经济学意义

导数与微分的简单应用

(三)教学方法与形式
采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

(四)教学时数
16 学时。

第四章 中值定理与导数的应用
(一)教学目的与要求
[教学目的] 使学生掌握中值定理的条件和结论。会用中值定理进行简单的推理论证,熟 练运用洛必达法则求不定式的极限,掌握利用导数判断函数的单调性、极值、凹 凸型和拐点的方法, 并会描绘简单函数的图形,会用到书分析一些简单的经济问
8

题。 [基本要求] 1、能叙述 Rolle 定理、Lagrange 定理、Cauchy 定理,知道这些定理之间的 联系,会利用这些定理证明一些简单的证明题(如证明不等式) 。有关这些定理 的证明不作要求。
0 ? 2、 熟练掌握 0 型、 ? 型的洛必达法则,了解其它未定式的定值方法。注意

洛必达法则适用的条件。 3、熟练掌握函数单调性的判别法。 4、熟练掌握求函数的极值与最值的方法;了解函数极值与最值的关系与区 别;会求某些简单的经济应用问题。 5、掌握曲线凹凸性的判别法;掌握求曲线拐点与渐进线的方法。 6、掌握函数作图的基本步骤与方法;会作某些简单函数的图形。

(二)教学内容
中值定理;洛必达法则;函数单调性、凹凸性及拐点的判定;函数的极值与 最值及其求法;函数图形的描绘。 教学重点: 1、拉格朗日中值定理的题的条件,结论和有限增量形式。
0 0 ? 0 ? 0 2、用洛必达法则求 , 型的极限化五种不定式∞-∞,0*∞, 1 , 0 , ? 为 0 ? 0

型或

? 型。 ?

3、利用导数研究函数的单调性,极值及曲线的凹凸性。 4、经济应用问题:最大利润,最小成本等。 教学难点: 1、三个中值定理的证明,证明时辅助函数的引进。
0 ? ? 0 2、化五种不定式∞-∞,0*∞, 1 , 0 , ? 为 型或 型。 0 ?
0

3、利用单调性和极值证明不等式。

第一节

中值定理

9

一、Rolle 定理 二、Lagrange 定理 三、Cauchy 定理

第二节
一、洛必达法则 二、洛必达法则的条件及其应用

洛必达法则

第三节
一、函数的单调性及其判别法

函数的单调性与凹凸性

二、函数的凹凸性及其判别法、拐点

第四节
一、函数极值的定义

函数的极值与最值

二、函数取极值的必要条件与充分条件 三、函数最值的概念 四、求函数最值的基本步骤

第五节
一、曲线的渐进线 二、函数作图

函数作图

第五节
一、最大利润 二、最小成本

经济应用举例

(三)教学方法与形式
采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

(四)教学时数
18 学时。

第五章 不定积分
(一)教学目的与要求
[教学目的] 通过教学让学生理解不定积分的概念与性质.掌握不定积分的基本公式,还原
10

法和分部积分法,会求一些简单的有理函数的积分。 [基本要求] 1、了解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质。 2、熟悉基本积分公式。 3、熟练掌握计算不定积分的两种换元法和分部积分法。 4、会计算三种简单的分式的不定积分: ?
A dx , x?a

? ( x ? a)

A

m

dx ,

?x

2

M x? N d x p? 4 ? 0 ) ( 2 q ? px q ?

(二)教学内容
不定积分的概念与性质;换元积分法;分部积分法;有理函数的积分。 教学重点: 1、原函数,不定积分的定义,基本积分公式。 2、换元法,分部积分法 教学难点: 1、第一换元法,第二换元法,分部积分法。 2、有理函数式化部分分式代数和。

第一节
一、原函数的概念 二、不定积分的定义与几何意义 三、不定积分的基本性质

不定积分的概念

第二节
基本积分公式。

基本积分表

第三节
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法

换元积分法

第四节
一、分部积分公式 二、分部积分公式应用

分部积分法

11

第五节
一、简单分式的不定积分 二、真分式的分解

有理函数的积分

三、求有理函数不定积分的一般步骤与方法

(三)教学方法与形式
采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

(四)教学时数
10 学时。

第六章 定积分
(一)教学目的与要求
[教学目的] 使学生理解定级分和广义积分的概念,掌握定积分的计算方法.会计算简单的 广义积分,另外会用定积分求解一些简单的几何和经济问题。 [基本要求] 1、了解定积分的概念与基本性质,掌握积分中值定理。 2、会求变上限积分的导数,熟练掌握牛顿——莱布尼兹公式。 3、熟练掌握定积分的换元积分公式与分部积分公式。 4、会利用定积分求解平面图形的面积、旋转体的体积、及简单的经济应用 问题。 5、了解广义积分收敛与发散的概念,掌握计算广义积分的方法。知道广义 积分 ?
?? 1 1 1 1 dx 与 ? p dx 的收敛条件。知道 Γ 函数的定义、性质与递推公式。 p 0 x x

(二)教学内容
定积分的概念与性质; 微积分基本定理; 定积分的换元积分法和分部积分法; 定积分在面积、体积与经济学中的应用;广义积分。 教学重点: 1、定积分的概念,牛顿—莱布尼兹公式,定积分的计算。 2、定积分的换元法及分部积分法。 3、平面图形的面积计算。
12

教学难点: 1、定积分几何意义,变上限定积分。 2、广义积分的敛散性。 3、”微元法”的基本思想。

第一节 定积分的概念与性质
一、曲边梯形的面积 二、定积分的定义与几何意义 三、定积分的基本性质 四、积分中值定理

第二节
一、变上限积分与原函数存在定理 二、变上限积分的求导方法 三、牛顿——莱布尼兹公式

微积分基本定理

第三节
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法

定积分的计算

第四节
一、平面图形的面积 二、立体的体积 三、简单的经济应用问题

定积分的应用

第五节

广义积分初步

一、无穷积分的概念与无穷积分收敛与发散的定义及其计算 二、瑕积分的概念与瑕积分收敛与发散的定义及其计算 三、广义积分 ?
?? 1 1 1 1 dx 与 ? p dx 的敛散性判别 p 0 x x

四、Γ 函数的定义、性质与递推公式五

(三)教学方法与形式

13

采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

(四)教学时数
14 学时。

第七章 多元函数微积分学
(一)教学目的与要求
[教学目的] 使学生了解空间直角坐标系的有关概念及多元函数的概念.理解多元函数微 分理论,掌握多元函数微分的基本计算方法和在求极值方面的应用.了解二重积分 的概念,性质.掌握在直角坐标系下二重积分的计算方法及对特殊区域会用极坐标 系去计算积分。 [基本要求] 1、了解空间直角坐标系的有关概念,会求空间两点间的距离。了解平面区 域、区域的边界、点的领域、开区域与闭区域等概念。 2、了解多元函数的概念;掌握二元函数的定义与表示法。 3、知道二元函数的极限与连续性的概念。 4、理解多元函数的偏导数与全微分的概念;熟练掌握求偏导数与全微分的 方法;掌握求多元复合函数偏导数的方法。 5、掌握由一个方程确定的隐函数的求偏导数的方法。 6、了解二元函数极值与条件极值的概念;掌握用二元函数极值存在的必要 条件与充分条件求二元函数极值的方法; 掌握用拉格朗日乘数法求解二元函数极 值的方法。 7、了解二重积分的概念、几何意义与基本性质;掌握在直角坐标系与极坐 标系下计算二重积分的常用方法,会计算一些简单的二重积分

(二)教学内容
多元函数的概念;偏导数;多元复合函数偏导数;隐函数的求偏导数;全微 分;二元函数极值与条件极值;二重积分的概念、性质、计算法及应用。 教学重点: 1、偏导数的运算。 2、复合函数的偏导数和全微分。
14

3、条件极值与拉格朗日乘数法。 4、二重积分定义,性质。 5、在直角坐标系及极坐标系下计算二重积分 教学难点: 1、二元函数极限的概念。 2、高阶偏导数的运算。 3、复合函数的偏导数。 4、极值应用问题的求解。 5、二重积分定义。 6、二重积分的定限

第一节

预备知识

一、空间直角坐标系、空间两点间的距离与空间曲面与曲面方程 二、平面上的区域、区域的边界、点的领域、开区域与闭区域的概念

第二节
一、多元函数的定义 二、二元函数的定义域与几何意义 三、二元函数的极限与连续性

多元函数的概念

第三节
一、偏导数的定义与计算方法 二、全微分的定义与计算方法

偏导数与全微分

第四节

多元复合函数微分法与隐函数微分法

一、多元复合函数概念与微分法 二、隐函数微分法

第五节
一、高阶偏导数的定义 二、高阶偏导数的求法

高阶偏导数

第六节
一、二元函数极值的定义

多元函数的极值与最值

二、极值的必要条件与充分条件
15

三、条件极值与拉格朗日乘数法 四、多元函数最值的概念与求法

第七节
一、曲顶柱体体积 二、二重积分的定义与基本性质 三、二重积分的计算法

二重积分

四、在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分

(三)教学方法与形式
采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

(四)教学时数
28 学时。

第八章 无穷级数
(一)教学目的与要求
[教学目的] 使学生掌握关于级数的基本概念和基本理论及有关级数收敛性的理论和方 法.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念,能熟练掌握简单的幂级数收敛区间 的求法. [基本要求] 1、了解无穷级数及其一般项、部分和、收敛与发散、收敛级数的和等基本 概念。 2、掌握几何级数与 P 级数敛散性判别条件;知道调和级数的敛散性。 3、掌握级数收敛的条件,以及收敛级数的基本性质。 4、掌握正项级数的比较判别法;熟练掌握正项级数的达朗贝尔比值判别法。 5、掌握交错级数敛散性的莱布尼兹判别法。 6、了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念;掌握绝对收敛与条件收 敛的判别法。

(二)教学内容
常数项级数的概念与性质;正项级数的判别法;任意项级数的判别法;幂级 数的概念;收敛半径;收敛区间。
16

教学重点: 1、正项级数收敛性的判别。 2、交错级数的判敛.任意级数绝对收敛与条件收敛的概念。 3、幂级数的收敛半径和收敛区间 教学难点: 1、对级数通项的认识并选定恰当的判敛法。 2、任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念。

第一节

无穷级数的概念与性质

一、无穷级数及其一般项与部分和的概念 二、无穷级数收敛与发散的定义 三、收敛级数和的概念 四、几何级数与调和级数的收敛性 五、无穷级数收敛的必要条件 六、收敛级数的基本性质

第二节
一、正项级数收敛的概念 二、正项级数收敛的充分必要条件

正项级数

三、正项级数敛散性的比较判别法、达朗贝尔比值判别法 四、P 级数的敛散性

第三节
一、交错级数的概念

任意项级数

二、交错级数敛散性的莱布尼兹判别法 三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念 四、绝对收敛与条件收敛的判别法

*第四节

广义积分的敛散性判别法

一、无穷积分与瑕积分的比较判别法与极限判别法 二、广义积分的绝对收敛性 三、Β 函数的定义 四、Β 函数与 Γ 函数的关系
17

*第五节 幂级数
一、函数项级数的概念 二、幂级数的概念 三、幂级数收敛半径、收敛区间、和函数的概念 四、幂级数敛散性判别法 五、幂级数收敛半径、收敛区间的求法 六、幂级数的基本性质

*第六节
一、泰勒公式及其余项 二、泰勒级数与麦克劳林级数 三、幂级数展开定理

函数的幂级数展开

四、将函数展成幂级数的方法(直接展开法、间接展开法) 五、基本初等函数的幂级数展开

(三)教学方法与形式
采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

(四)教学时数
10 学时。

第九章 微分方程初步
(一)教学目的与要求
[教学目的] 使学生了解微分方程的一些基本概念,掌握一些特殊而又简单的微分方程的 解法,以及一阶线性方程,二阶常系数线性方程的解法,并会解一些简单的经济应 用问题. [基本要求] 1、了解微分方程的阶、解、通解、特解等概念。 2、掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。 3、掌握二阶常系数线性微分方程的解法。 4、会求解一些简单的经济应用问题。

18

(二)教学内容
微分方程的基本概念;可分离变量的微分方程;齐次微分方程;一阶线性微 分方程;二阶常系数线性微分方程;微分方程在经济学中的应用。 教学重点: 1、微分方程的概念。 2、变量可分离的微分方程,齐次方程,一阶线性微分方程,二阶常系数线性微 分方程的解法。 教学难点: 1、各种类型的微分方程的判别。 2、建立实际问题的微分方程

第一节 微分方程的基本概念
一、微分方程的定义 二、微分方程的阶、解(通解、特解) 、定解条件 三、微分方程的初值问题

第二节
一、可分离变量的微分方程 二、齐次微分方程 三、一阶线性微分方程

一阶微分方程

第三节
一、n 阶微分方程的一般形式

高阶微分方程

二、二阶常系数线性微分方程的特征根解法 三、*几种特殊的高阶微分方程的解法

(三)教学方法与形式
采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

(四)教学时数
8 学时。

第十章 差分方程初步
(一)教学目的与要求
19

[教学目的] 使学生了解差分方程的基本概念。掌握一阶,二阶常系数线性齐次差分方程 的解法。会解一些特殊的一阶,二阶常系数线性非齐次差分方程。了解差分方程 在经济学中的简单应用。 [基本要求] 1、了解差分与差分方程的阶、解、通解、特解等概念。 2、掌握一阶与二阶常系数线性齐次差分方程的解法。 3、 会求某些特殊的一阶与二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解。 4、会求解一些简单的经济应用问题。

(二)教学内容
差分方程的基本概念; 一阶与二阶差分方程的解法;差分方程在经济学中的 应用。 教学重点: 1、差分与差分方程的概念。 2、一阶、二阶常系数线性差分方程的特解、通解。 教学难点: 二阶常系数线性非齐次差分方程的特解与通解。

第一节 差分方程的基本概念
一、差分与差分方程的概念 二、差分方程的阶、解(通解、特解)

第二节
一、一阶齐次差分方程的通解

一阶常系数线性差分方程

二、一阶非齐次差分方程的特解与通解

第三节

二阶常系数线性差分方程

一、二阶齐次差分方程的通解(特征根解法) 二、二阶非齐次差分方程的特解与通解

*第四节

n 阶常系数线性差分方程

一、n 阶齐次差分方程的通解(特征根解法) 二、n 阶非齐次差分方程的特解与通解
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第五节

差分方程在经济学中的简单应用

一、 “筹措教育经费”模型 二、价格与库存模型 三、国民收入的稳定分析模型

(三)教学方法与形式
采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。

(四)教学时数
8 学时。

三、考核方式
闭卷笔试。

四、教材选用
1、朱来义: 《微积分 第二版》 ,高等教育出版社,2004 年 3 月第 2 版。

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