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天津市五区县2015年高三质量调查试卷(二)理数


天津市五区县 2015 年高三质量调查试卷(二) 数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题: 1~4 ACBD 5~8 ABCD

二、填空题: 9. 5 10.

1 2

11.

2? 3

12. 2

13.

2 2

14. [ , ]

1 5 2 2

三、解答题: 15.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由图像可知 A ? 1, 周期 T ? 2( ………………1 分

2? 2? ? ? ? 2 ,………………3 分 ? ) ? 2 ? ? ? ,所以 w ? T 3 6 2 ? ? ? sin( 2 ? ? ? ) ? 1 ,又 ? ? ,则 ? ? ………………5 分 2 6 6 ? 所以 f ( x) ? sin( 2 x ? ) ………………6 分 6 4 ? 5? ? 4 (Ⅱ)因为 f ( x 0 ) ? ,所以 sin( 2 x 0 ? ) ? ,又 ? x0 ? , 5 6 12 6 5 ? ? 则 ? 2 x0 ? ? ? , ………………7 分 2 6
得 cos(2 x0 ?

?
6

) ? ? 1 ? sin 2 (2 x0 ?

?
6

) ??

3 5

………………9 分

所以 cos 2 x0 ? cos(( 2 x0 ? =?

?
6

)?

?
6

) ? cos( 2 x0 ?

?
6

) cos

?
6

? sin( 2 x0 ?

?
6

) sin

?
6

3 3 4 1 ?3 3 ?4 ? ? ? ? 5 2 5 2 10

………………12 分

16.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设趣味数学讲座在星期二、星期四都不满座为事件 A ,则

1 1 1 P( A) ? (1 ? )(1 ? ) ? . 3 2 3

…………4 分

(Ⅱ)由题意可知 ? 的所有取值为:0,1,2,3,4. ………………………5 分

1 2 1 P (? ? 0) ? (1 ? )3 (1 ? ) ? , 2 3 24 1 2 2 1 5 1 1 P(? ? 1) ? C3 ? ? ( ) 2 (1 ? ) ? ? ( )3 ? , 2 2 3 3 2 24 1 1 2 2 1 1 1 2 3 P(? ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? ? (1 ? ) ? ? C3 ? ?( ) ? , 2 2 3 3 2 2 8 1 2 2 1 1 7 3 P(? ? 3) ? C3 ? ( )3 ? (1 ? ) ? ? C32 ? ( ) 2 ? ? ; 2 3 3 2 2 24 2 1 1 P (? ? 4) ? ? ( )3 ? ………………………………10 分 3 2 12
所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4

1 24

5 24

3 8

7 24

1 12
…………………11 分

故 ? 的期望为 E? ? 0 ?

1 5 3 7 1 13 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? .…………………13 分 24 24 8 24 12 6

17.(本小题满分 13 分)
z

解: (I)因为 AB ? 4, AC ? 2 2, AD ? 2. 所以 AC ? BC , AD ? DC , 取 AC 中点 O ,连接 DO, 则 DO ? AC , 因为平面 ACD ? 平面 ACB , DO ? 平面 ACD 所以 DO ? 平面ACB ,所以 DO ? BC 因为 AC ? BC , AC 所以 BC ? 平面 ACD .

D E C O
x

A M

y

B

OD ? O
……………4 分

(II)分别以 OA, OM , OD 为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示直角坐标系,则 A( 2,0,0) ,

B(? 2, 2 2,0) , M (0, 2,0) , C (? 2,0,0) , D(0,0, 2) , CM ? ( 2, 2,0) ,

CD ? ( 2,0, 2) .
设平面 CDM 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,所以 ? 令 x1 ? 1 ,所以 n1 ? (1, ?1, ?1) ; 平面 ACD 的法向量为 n2 ? (0,1,0) ,所以 cos ? n1 , n2 ??

? ? n1 ? CM ? 0 ? ? n1 ? CD ? 0

,即 ?

? ? 2 x1 ? 2 y1 ? 0 ? ? 2 x1 ? 2 z1 ? 0



n1 ? n2 3 , ? n1 n2 3
……………8 分

故二面角 A ? CD ? M 的余弦值为

3 . 3

(III)由 E 点在棱 BD 上,设 DE ? ? DB,(0 ? ? ? 1) , 故 OE ? OD ? DE ? (0,0, 2) ? ?(? 2, 2 2, ? 2) ? (? 2?, 2 2?,(1 ? ? ) 2) , 由 OE ? BD 得 OE ? BD ? 0 ,即 2? ? 8? ? 2(1 ? ? ) ? 0 ,解得 ? ? 所以 DE ?

1 , 6

1 (? 2, 2 2, ? 2) , 6

……………10 分

1 1 ME ? MD ? DE ? (0, ? 2, 2) ? (? 2, 2 2, ? 2) ? (? 2, ?4 2,5 2) , 6 6
平面 CDM 的法向量是 n1 ? (1, ?1, ?1) , 设直线 ME 与平面 CDM 所成的角为 ? , ……………11 分

2 ME ? n1 14 3 ? ? 所以 sin ? ? cos? ME , n1 ? ? .…………………13 分 21 21 ME n1 3 3

18. (本小题满分 13 分) 解: (I)圆的方程为 x ? y ? b ,
2 2 2

圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

2 ? 2 ?b, 2

又e ?

3 2 2 2 ,即 a ? 3c ,结合 b ? c ? a 得 a ? 3, c ? 1 , 3
x2 y 2 ? ? 1, 3 2
……………4分

椭圆 C 的方程为

(II)由 P( x, y ) ,可设 M ( x, y?) ,其中 x ?[? 3, 3] ,已知条件

| OP | ? ? 可表示为 | OM |

2 2 x2 ? y 2 x2 ? 6 2 2 y ? 2 ? x ,而 ,则 ?? ? ?2 , 2 2 2 2 3 x ? y? 3 x ? 3 y?
整理得 (3? 2 ?1) x2 ? 3? 2 y?2 ? 6 (其中 ? 3 ? x ? 3

3 ? ? ? 1 ). 3

……………8 分

(i)当 ? ?

3 时,点 M 的轨迹方程为 y?2 ? 6 , 3
……………10 分

即 y? ? ? 6 ( ? 3 ? x ? 3 ) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段;

(ii)当

3 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹方程为 3

x2 y ?2 ? ? 1 ,因为 0 ? 3? 2 ?1 ? 3? 2 , 6 2 2 3? ? 1 ? 2

所以轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ? 3 ? x ? 3 的部分. ……………13 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公比为 q .因为 a3 , a2 ? a4 , a5 成等差数列, 所以 2 ? a2 ? a4 ? ? a3 ? a5 ,…………2 分
3 2 4 即 2 q ? q ? q ? q ,解得 q ? 2 ,所以 an ? 2n?1 . ………………………………4 分

?

?

(Ⅱ)因为 b1 ?

b2 ? 2

?

bn ? an , ? n ? N*? n

所以,当 n ? 1 时, b1 ? a1 ? 1 ; ……………………………………………5 分 当 n ? 2 时,

bn ? an ? an ?1 ? 2n ? 2 ,所以 bn ? n ? 2n?2 . ………………………7 分 n

即 bn ? ?

n ? 1, ? 1, n?2 ?n ? 2 , n ? 2.

…………………………………………8 分

所以,当 n ? 1 时, S1 ? b1 ? 1 ,所以 S1 ? 1 ? 0 ,不满足 S1 ? 1 ? a1 ? b1 ; ……9 分 当 n ? 2 时, Sn ? 1 ? 2 ? 20 ? 3? 21 ? 所以 2Sn ? 2 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ? 所以 ? Sn ? 1 ? 2 ?
1

? n ? 2n?2 ,

? n ? 2n?1 ,
n ?1

?2

n?2

? n?2

1 ? 2n?1 ? ? n ? 2n?1 ? ?1 ? n ? 2n?1 ? 1 , 1? 2

所以 Sn ? ? n ?1? 2

n?1

?1 . ………………………………………………………12 分
n?1

要使 Sn ? 1 ? an ? bn ,只需 ? n ?1? 2

? 2n?1 ? n ? 2n?2 ,解得 n ? 4 ,

所以满足 Sn ? 1 ? an ? bn 的 n 的最小值为 5. …………………………………14 分

20. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由 f ( x) = x -

1 1 2a x 2 + 2ax + 1 + 2a ln x 得 f ? ( x) = 1 + 2 + = . x x x x2

因为函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴, 所以 f ? (1) = 2 + 2a = 0 ,所以 a ? ?1 . 又因为 f (1) ? 1 ? b ,所以 a ? b ? 0 . ……………………2 分 ……………………4 分

(Ⅱ)(ⅰ)因为函数 f ( x ) 两个极值点 x1 , x2 ,所以 f ? ( x) = 0 有两个不等正根, 所以 x + 2ax + 1 = 0 有两个不等正根. 令 g ( x) = x + 2ax + 1 ,因为 g (0) = 1 ,所以 ? 即实数 a 的取值范围是 (??, ?1) . (ⅱ)由(ⅰ)知 x1 x2 ? 1 , x1 ? 1 ? x2 , x2 ?
2
2

……………………5 分

??a ? 0,
2 ?? ? 4a ? 4 ? 0,

所以 a ? ?1 .

……………………8 分

1 ? 0 ,所以 x2

1 1 k ?1 ? 2 2

x2 ?

1 1 ? 1 ? 2a ln x2 ? x1 ? ? 1 ? 2a ln x1 x2 x1 ?1 x2 ? x1

x ? 2a ln 2 ? x1 1 1 ? ?1 ? ? 2 ? x1 x2 x2 ? x1 ? ?

? ? 2a ln x2 ? ?1 ? . 1 ? x2 ? ? x2 ?
2

……………………10 分

1 ? x ?1? ? 0 . 2 1 令 h( x ) ? 2 ln x ? x ? ,则 h?( x) ? ? 1 ? 2 ? ? x x x x2
所以函数 h( x) 单调递减, h( x2 ) ? h(1) ? 0 ,所以 2 ln x2 ? x2 ?

1 ? 0. x2

所以

2 ln x2 ? 1. 1 x2 ? x2 2a ln x2 ?a. 1 x2 ? x2

……………………13 分

又因为 a ? ?1 ,所以



1 k ?1 ? a . 2

……………………14 分


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