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直线的倾斜角与斜率


直线的倾斜角与斜率
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高中数学 通用

适用年级 课时时长(分钟)

高中三年级 60

倾斜角与斜率的概念;倾斜角与斜率的关系及几何意义; 求倾斜角和斜率的范围;斜率公式的应用.

教学目标

1、理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过

两点的直线斜率的计算公式; 2、通过直线倾斜角概念的学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力,运 用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.

教学重点 教学难点

直线的倾斜角和斜率的概念,过两点的直线的斜率公式. 斜率概念的学习,过两点的直线的斜率公式.

1

教学过程
一、课堂导入
一次函数的图象有何特点?给定一次函数函数 y ? 2 x ? 1 ,如何作出它的图像? 1.在平面直角坐标系中经过一点 P 的直线 l 的位置能确定么? 2.这些直线有什么不同?
y

l

o

x

2

二、 复习预习
1.请同学们根据倾斜角的定义找出下列三条直线的倾斜角并指出它们分别是锐角、直角还是 钝角? 2.直线的倾斜角的取值范围是什么? 3.直线 a//b,那么它们的倾斜角是什么关系? 指出:倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等,因此 我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.
y

l2

l3

l1

o

P

x

在平面直角坐标系内要确定一条直线需要哪些几何要素呢? 学生讨论交流,然后让学生回答,老师总结:确定一条直线需要两个独立的要素.

3

三、知识讲解
考点 1 倾斜角与斜率的概念 1.直线倾斜角的定义: 当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 00 . 2.斜率的概念 斜率的概念:一条直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这条直线的斜率 . 倾斜角是 900 的直线没有斜率 . 斜率常用 k 来表示,
k ? tan ? ( ? ? 900 ).

4

考点 2 倾斜角与斜率的关系及几何意义 在日常生活中我们描述人走地快慢、汽车行驶地快慢都是用速率来表示的,也就是用路程与时间的比来表示的;我们又 如何刻画山坡的倾斜程度呢? 如果我们以前进量所在的直线为 x 轴,点 o 为原点建立平面直角坐标系,? 就是直线的倾斜角,即坡 度就是倾斜角 ? 的正切值,也就是说我们可以用倾斜角 ? 的正切值来刻画直线的倾斜程度.这个正切 值我们称为直线的斜率

?
前进

升 高

5

考点 3 求倾斜角和斜率的范围 直线倾斜角的范围 直线倾斜角 α 的范围为: ? ? 00 ,1800 ? 规定:当直线和 x 轴平行或重合时,它的倾斜角为 0° 当 α∈[0° ,90° )时,斜率越大,倾斜角越大;当 α∈(90° ,180° )时,斜率越大,倾斜角越大.
0 0 k ? tan ? , ? ? ? ?0 ,90? ? ? ? 90?,180 ?

?

6

考点 4 斜率公式的应用

( x , y1 ), P (x2 , y2 )的直线的斜率公式为 经过两点 P 1 1 2
y2 ? y1 ( x ? x2 ) x2 ? x1 1

k ?
深化公式:

( x , y1 ), P (x2 , y2 ) 已知直线上两点 P 1 1 2
(1)当 y1 ? y2 时,能用公式求直线的斜率吗? (2)当 x1 ? x2 时,能用公式求直线的斜率吗? (3)当 x1 ? x2 时,直线的斜率与两点坐标的顺序有关系吗?

7

四、例题精析
考点一 倾斜角与斜率的概念 例 1 描述在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率为 1 , ? 1 , 2 及 ? 3 的直线 l1 , l 2 , l 3 及 l 4 .

8

【规范解答】分析:要画出过原点的直线 l1 ,只需找出位于 l1 上的某一点 A1 来,

y A3 A1 O A2 A4

l3

A1 的坐标可以由 OA1 得斜率确定.
解:设 A1( x1 , y1 )是直线 l1 上的一点,根据斜率公式有 1 ?

l1

y1 ? 0 ,即 x1 ? y1 . x1 ? 0

设 x1 ? 1,则 y1 ? 1 ,于是 A1 的坐标是(1,1).过原点及 A1(1,1) 的直线为 l1 ,如图. 同理,由 ?1 ?

x

y2 ? 0 ,得 y2 ? ? x2 .设 x2 ? 1 ,则 y2 ? ?1.于是的直线 l 2 上的 x2 ? 0

l4

l2

一点 A2 的坐标为(1, ?1).过原点及 A2(1,?1)的直线即为 l 2 . 同理可知, l3 是过原点及 A3(1,2)的直线, l 4 是过原点及 A4(1,?3)的直线.

9

考点二 倾斜角与斜率的关系及几何意义 例 2 光线从点 A(?2, 3) 射到 x 轴上的 B 点后,被 x 轴反射,这时反射光线恰好过点 C(1,2 3) ,则光线 BC 所在直线的倾 斜角为 A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

10

【规范解答】答案:B 试题分析: A(?2, 3) 关于 x 轴对称的点设为 A' (?2,? 3) ,由物理知识知 k BC ? k A'C ?

? 2 3 ? (? 3 ) ? 3 ,所以 ? ? 3 1 ? (?2)

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考点三 求倾斜角和斜率的范围 例 3 已知点 A(-1,2),B(2,-2),C(0,3),若点 M(a,b)是线段 AB 上的一点(a≠0),则直线 CM 的斜率的取值 范围是( A.[ ?
5 ,1] 2

) B.[ ?
5 ,0)∪(0,1] 2

C.[-1,

5 ] 2

D.(-∞, ?

5 ]∪[1,+∞) 2

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【规范解答】答案:D 试题分析:画出图象,看 M 点的变化范围.

可知直线 CM 应该在 AC 与 BC 间变化,且 k AC ?
k BC ? 3 ? (?2) 5 ? ? ,故有选 D. 0?2 2

3? 2 ? 1, 0 ? (?1)

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考点四 斜率公式的应用 例 4 已知过两点 A(m 2 ? 2, m 2 ? 3) , B(3 ? m2 ? m,2m) 的直线 l 的倾斜角为 450 ,求实数 m 的值.

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m 2 ? 3 ? 2m 【规范解答】∵ 2 ? tan450 ? 1 ,∴ m 2 ? 3m ? 2 ? 0 ,解得 2 m ? 2 ? (3 ? m ? m)
m ? ?1 或 m ? ?2

但当 m ? ?1 时, A 、 B 重合,舍去

∴ m ? ?2 .

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课程小结
1、直线的倾斜角和斜率的概念. 2、直线的斜率公式. 3、体会将几何问题转化为代数问题的思想方法.

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