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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第五章 数列课时作业33 理 新人教A版


课时作业 33

等差数列

一、选择题 1.(2014·重庆卷)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=( A.5 C.10 B.8 D.14 )

解析:设{an}的公差为 d,则 a1+2d+a1+4d=10,又 a1=2,∴4+6d=10,∴d=1,∴

a7=a1+6d=

8.
答案:B 2.(2014·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差是 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an} 的前 n 项和 Sn=( A.n(n+1) C. ) B.n(n-1) D.
2 2

n?n+1?
2

n?n-1?
2
2

解析: 由题可知 a4=a2a8, 则(a1+3d) =(a1+d)(a1+7d), 即(a1+6) =(a1+2)(a1+14), 解得 a1=2,Sn=2n+ 答案:A 3.设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=2a8-3a4,则 A. C. 3 10 1 9 B. D. 1 3 1 8

n?n-1?
2

·2=n(n+1).

S8 =( S16

)

5 S8 8a1+28d 20d+28d 解析: 由题意可得, a1=2a1+14d-3a1-9d, ∴a1= d, 又 = = = 2 S16 16a1+120d 40d+120d 48d 3 = ,故选 A. 160d 10 答案:A 4. 已知等差数列{an}中, a3+a7-a10=0, a11-a4=4, 记 Sn=a1+a2+…+an, 则 S13=( A.78 C.56 B.68 D.52 )

解析:设等差数列{an}的公差为 d,首项为 a1,

1

?a1-d=0 ? 则? ? ?7d=4

4 a= ? ? 7 ,解得? 4 d= ? ? 7
1



13?13-1? 4 4 ∴S13=13a1+ d=13× +78× =52. 2 7 7 答案:D 5.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S10>0 并且 S11=0,若 Sn≤Sk 对 n∈N 恒成立,则 正整数 k 构成的集合为( A.{5} C.{5,6} ) B.{6} D.{7}
*

解析:在等差数列{an}中,由 S10>0,S11=0 得,

S10= S11=

10?a1+a10? >0? a1+a10>0? a5+a6>0, 2 11?a1+a11? =0? a1+a11=2a6=0, 2

故可知等差数列{an}是递减数列且 a6=0, 所以 S5=S6≥Sn,其中 n∈N , 所以 k=5 或 6. 答案:C 6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足 Sn>0 的最大自 然数 n 的值为( A.6 C.12 ) B.7 D.13
*

解析:∵a1>0,a6a7<0,∴a6>0,a7<0,等差数列的公差小于 0,又 a3+a10=a1+a12>0,a1 +a13=2a7<0,∴S12>0,S13<0,∴满足 Sn>0 的最大自然数 n 的值为 12. 答案:C 二、填空题 7.在等差数列{an}中,已知 a2+a9=5,则 3a5+a7 的值为________. 解析:设等差数列{an}的公差为 d,∵a2+a9=5, ∴2a1+9d=5,∴3a5+a7=3a1+12d+a1+6d=4a1+18d=2(2a1+9d)=10. 答案:10 8. 已知等差数列{an}中, an≠0, 若 n≥2 且 an-1+an+1-an=0, S2n-1=38, 则 n 等于________. 解析:∵2an=an-1+an+1,又 an-1+an+1-an=0, ∴2an-an=0,即 an(2-an)=0.
2 2 2

2

∵an≠0,∴an=2. ∴S2n-1=2(2n-1)=38,解得 n=10. 答案:10 9.设数列{an}的通项公式为 an=2n-10(n∈N ),则|a1|+|a2|+…+|a15|=________. 解析:由 an=2n-10(n∈N )知{an}是以-8 为首项,2 为公差的等差数列,又由 an=2n -10≥0 得 n≥5, ∴当 n≤5 时,an≤0,当 n>5 时,an>0, ∴|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130. 答案:130 三、解答题 10.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,其中 a1=3,S5-S2=27. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 Sn,2 2(an+1+1),Sn+2 成等比数列,求正整数 n 的值. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 S5-S2=3a1+9d=27, 又 a1=3,则 d=2,故 an=2n+1. (2)由(1)可得 Sn=n +2n,又 Sn·Sn+2=8(an+1+1) , 即 n(n+2) (n+4)=8(2n+4) ,化简得 n +4n-32=0, 解得 n=4 或 n=-8(舍),所以 n 的值为 4. 11.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a3·a4=117,a2+a5=22. (1)求通项公式 an; (2)求 Sn 的最小值; (3)若数列{bn}是等差数列,且 bn= 解:(1)∵数列{an}为等差数列, ∴a3+a4=a2+a5=22. 又 a3·a4=117, ∴a3,a4 是方程 x -22x+117=0 的两实根, 又公差 d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13, ∴?
?a1+2d=9, ? ?a1+3d=13, ?
2 2 2 2 2 2 * *

Sn ,求非零常数 c. n+c

∴?

?a1=1, ? ?d=4. ?

∴通项公式 an=4n-3. (2)由(1)知 a1=1,d=4,

3

∴Sn=na1+

n?n-1?
2

? 1?2 1 2 ×d=2n -n=2?n- ? - , ? 4? 8
2n -n = , n+c n+c

∴当 n=1 时,Sn 最小,最小值为 S1=a1=1. (3)由(2)知 Sn=2n -n,∴bn= ∴b1=
2

Sn

2

1 6 15 ,b2= ,b3= . 1+c 2+c 3+c

∵数列{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3, 即 6 1 15 2 ×2= + ,∴2c +c=0, 2+c 1+c 3+c

1 1 ∴c=- 或 c=0(舍去),故 c=- . 2 2

?a 1.已知数阵?a ?a
A.16 C.36

11 21 31

a12 a13 a32 a33

a22 a23 中,每行的 3 个数依次成等差数列,每列的 3 个数也依次成
) B.32 D.72

? ? ?

等差数列,若 a22=8,则这 9 个数的和为(

解析:依题意得 a11+a12+a13+a21+a22+a23+a31+a32+a33=3a12+3a22+3a32=9a22=72. 答案:D 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-n +3n,若 an+1an+2=80,则 n 的值为( A.5 C.3
2 2

)

B.4 D.2

解析:由 Sn=-n +3n,可得 an=4-2n,因此 an+1·an+2=[4-2(n+1)][4-2(n+2)] =80,即 n(n-1)=20,解得 n=-4(舍去)或 n=5. 答案:A 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若-1<a3<1,0<a6<3,则 S9 的取值范围是________.
? ?-1<a1+2d<1, 解析:方法 1:S9=9a1+36d,又? ?0<a1+5d<3, ?

依据线性规划知识,得-3<S9<21.

方法 2:S9=9a1+36d=x(a1+2d)+y(a1+5d),由待定系数法得 x=3,y=6. 因为-3<3a3<3,0<6a6<18,两式相加即得-3<S9<21. 方法 3:a1+a2+a3+a4+a5=5a3,a6+a7+a8+a9=2a6+2a9,而 a3+a9=2a6,所以 S9=3a3 +6a6,又-1<a3<1,0<a6<3,依据线性规划知识,得-3<S9<21.
4

答案:(-3,21) 4.已知数列{an}是等差数列,bn=an-an+1. (1)证明:数列{bn}是等差数列; (2)若 a1+a3+a5+…+a25=130, a2+a4+a6+…+a26=143-13k(k 为常数),求数列{bn} 的通项公式; (3)在(2)的条件下,若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,是否存在实数 k,使 Sn 当且仅当 n=12 时取得最大值?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)证明:设{an}的公差为 d,则 bn+1-bn=(an+1-an+2)-(an-an+1)=2an+1-(an+1-
2 2 2 2 2 2 2

d)2-(an+1+d)2=-2d2,
∴数列{bn}是以-2d 为公差的等差数列. (2)∵a1+a3+a5+…+a25=130,a2+a4+a6+…+a26=143-13k,∴13d=13-13k,∴d =1-k, 13?13-1? 又 13a1+ ×2d=130, 2 ∴a1=-2+12k, ∴an=a1+(n-1)d=(-2+12k)+(n-1)(1-k)=(1-k)n+13k-3, ∴bn=an-an+1=(an+an+1)(an-an+1) =-2(1-k) n+25k -30k+5. (3)存在满足题意的实数 k. 由题意可知,当且仅当 n=12 时 Sn 最大,则 b12>0,b13<0,
? ?-24?1-k? +25k -30k+5>0, 即? 2 2 ?-26?1-k? +25k -30k+5<0, ?
2 2 2 2 2 2 2

∴?

?k +18k-19>0, ? ? ?k -22k+21>0,
2

2

解得 k<-19 或 k>21. 故 k 的取值范围为(-∞,-19)∪(21,+∞).

5


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