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305匀变速运动


匀变速运动问题 解法

一.初速为零的匀加速运动的比例:

s1: s2:?? : sn=1: 4:?? : n2, sI: sII:?? : s第n秒 =1: 3:?? : (2n-1), t1: t2:?? : tn=1: 2: 3?? : n,

tI: tII:?? : t第n米 =1:( 2-1):?? :

( n- n-1)

练习:一物体做初速为零的匀加速运动, 1.第1 m内,第2 m内,第3 m内,??的平均速度 之比,

1 1 1 : : ?? vI:vII:vIII: ??= : 1 2-1 3- 2
2.开始的连续三段,所用时间之比为1:2:3,求位 移之比,

1

3

5

7

9

11

s1:s2:s3=1:(3+5):(7+9+11 )

练习:一物体做初速为零的匀加速运动, 3.(1)第2s的后1/3时间与第3s的后1/3时间内的位 移之比,

1 3 5 7

9

11

13

15

17

(2)通过第2s的后1/3位移与通过第3s的后1/5位移 所用的时间之比,

1
1 2-1

3
2- 3

5 3- 8

练习4:竖直上抛一物,第3 s末到达最大高度, 则

sI: sII: sIII=______, 5:3:1 s1: s2: s3=______, 5:8:9 5 :8 : 9 v1:v2:v3 =______。

1 3

1 2 3

5

5.质点做方向不变的匀变速直线运动(加速度不为 零),设在连续两段相等时间内质点的位移分别为s1和 s2,则s1和s2之比值可能为( ) (A)1:1,(B)2:5, (C)2:1,(D)4:1。

如果是匀加速运动

1:3≤s1:s2<1:1
如果是匀减速运动 1:1<s1:s2≤3:1

二.匀变速直线运动的常见解法: 1.基本方法:
例:子弹水平射入静止在光滑水平面上的木块,子 弹入射时速度为v0,射入木块s深后与木块共同以速度v 运动,设子弹与木块均做匀变速直线运动,则从子弹射 入木块至与木块相对静止的过程中木块滑行的距离为_ _____。

v0

子弹:s’+s=(v+v0)t/2 sv 木块:s’=vt/2

s’

s’=vs/v0

2.图线法:
例:子弹水平射入静止在光滑水平面上的木块,子 弹入射时速度为v0,射入木块s深后与木块共同以速度v 运动,设子弹与木块均做匀变速直线运动,则从子弹射 入木块至与木块相对静止的过程中木块滑行的距离为_ _____。

v v0 v
t

s=v0t/2 s’=vt/2 =vs/v0

t

2.图线法:
例: 一物体做匀加速直线运动,前一半位移平均速 度为3 m/s,后一半位移的平均速度为6 m/s,求经过中 间位置时的速度。

A 3m/s

B

6m/s
s a

C

s

a

解法一:

(vA+vB)/2=3 (vB+vC)/2=6 vB2-vA2=2as vC2-vB2=2as
A 3m/s
s a B

6m/s
s a

C

解法二:

a=(6-3)/(2.5t-t) =2/t vB=vt+at =3+2=5 m/s。
vA t 2t vt t vB v2.5t vC 0.5t 0.5t t

解法三:图线法
v (m/s)

6
vB

3

2t

t

t (s)

3.重要推论法:
例:一小球沿斜面滑下,依次经过A、B、C三点,已 知AB=6 m,BC=10 m,小球经过AB和BC所用时间均 为2 s,则小球在经过A、B、C三点时的速度分别为 (A)2 m/s,3 m/s,4 m/s, (B)2 m/s,4 m/s,6 m/s, (C)3 m/s,4 m/s,5 m/s, (D)3 m/s,5 m/s,7 m/s。

a=(s2-s1)/?t2 v=(s1+s2)/2?t

解法一: vB=(6+10)/2?2=4 m/s, a=(10-6)/22=1 m/s2。

于是vA=vB-a ?2=2 m/s。
vC=vB+a ?2=6 m/s。

A 6m B 10m C
2s 2s

解法二: vB=(6+10)/2?2=4 m/s, vA=(2+6)/2?2=2 m/s,

vC=(10+14)/2?2=6 m/s,

2m A 6m B 10m C 14m

2s

2s

2s

2s

4.比例法:
例:某质点由静止起沿一直线运动,先以加速度a1 匀加速运动然后再以大小为a2的加速度做匀减速运动到 停下,共经过s,则其运动的总时间为( )

(A) s (a1+a2)/a1a2, (B) 2s (a1+a2)/a1a2, (C) s/(a1+a2), (D) 2s/(a1+a2) 。

v0=0
s1

a1
t1

v s2

a2
t2

vt=0

解法一:常规方法

s1=a1t12/2, s2=a2t22/2, at1=a2t2, s1+s2=s, t1+t2=t,
v0=0 a1 v a2 vt=0

s1 t1

s2

t2

解法二:常规方法

s1=v2/2a1, s2=v2/2a2, s1+s2=s t1=v/a1,t2=v/a2,t1+t2=t
v0=0 a1 s1 t1 v s2

a2
t2

vt=0

解法三:比例法

v s1:s2=t1:t2=a2:a1, v sa2 a s1= a +a s1 1 2 t1= a +a 1 2
a1+a2

a’

s2
t2
2

ta2

t1

t

sa2



1

a1 a +a 1 2 2

ta2

解法四:特殊值法

取a2=

, s1=s t1=t
(A)

t= 2s/a1
s (a1+a2)/a1a2,

s (a1+a2)/a1a2

= sa2/a1a2 =
s/a1

(B)
(C) (D)

2s (a1+a2)/a1a2,
s/(a1+a2), 2s/(a1+a2) 。

三.自由落体运动:
1.条件:初速为零,只受重力, 2.规律: (1)h=gt2/2,

vt=gt,
vt2=2gh。 (2)初速为零,有比例关系。

例1:自由落体下落过程中先后经过A、B两点,相 隔0.2 s,已知AB相距1.2 m,求物体起落点离A的高度。

解法一:
1 gt 2 h2=vAt2+ 2 2 vA2=2gh1

O h1 vA A

1.2 m 0.2 s
B

例1:自由落体下落过程中先后经过A、B两点,相 隔0.2 s,已知AB相距1.2 m,求物体起落点离A的高度。

解法二: 1 gt 2 h1= 1 2

O

t1

h1

1 g(t +0.2)2 A h1+1.2 = 1 2 1.2 m 0.2 s
B

例1:自由落体下落过程中先后经过A、B两点,相 隔0.2 s,已知AB相距1.2 m,求物体起落点离A的高度。

解法三: 1.2 =6m/s, v= 0.2 v=gt t=0.6s
t1=0.5s 1 gt 2 h 1= 1 =1.25m 2 t1

O

h1 A

v 0.2 s 1.2 m B

例2:自由落体下落过程中先后经过A、B、C三点, 相隔时间相等,AB=23 m,BC=33 m,求起落点离A的 高度。

解法一:
1 gt2 23=vAt+ 2 1 23+33=2vAt+ 2 g(2t)2 vA2=2gh1

O h1 vA A 23 m t B 33 m t

C

例2:自由落体下落过程中先后经过A、B、C三点, 相隔时间相等,AB=23 m,BC=33 m,求起落点离A的 高度。

解法二: 33-23=gt2 t=1s, 23+13 vA= =18m/s, 2t

O 13 m h1 vA A 23 m t B 33 m t

C

四.竖直上抛运动: 1.条件:有向上的初速,只有重力作用, 2.规律:
(1)统一公式:h=v0t-gt2/2,

vt=v0-gt,
vt2-v02=-2gh,

(2)hm=v02/2 g, t上=v0/g,
(3)对称性。

例1:一气球用4 m/s的速度竖直上升,气球下悬挂一 重物,在上升到217 m高处时,悬绳断了,重物经多少 时间才能落回地面(空气阻力不计)。

解法一: t1=v0/g=0.4s, 4m/s

h1=v02/2g=0.8m,
t2= 2h = 435.6=6.6s, g g t=t1+t2=7s。 217m

例1:一气球用4 m/s的速度竖直上升,气球下悬挂一 重物,在上升到217 m高处时,悬绳断了,重物经多少 时间才能落回地面(空气阻力不计)。

解法二:

4m/s

-217=4t-5t2
t1=7s。

217m

t2=-6.2s (不合)。

练习1:一物体由塔顶竖直上抛,在它落 回过程中,经过塔顶下方h高处时速度恰 为经过塔顶上方h高处时速度的2倍,则它 能上升的最大高度为_______.

解法一: v12-v02=-2gh v22-v02=-2g(-h) 即4v12-v02=2gh 得:v02=10gh/3 H=v02/2g=5h/3

v0

h

h

解法二: 一般匀变速运动方法 v22-v12=4gh 即4v12-v12=4gh

v1 v1

h
v0 h v2

解法三:比例法

v1

1
v1 h

v2=2v1 H1=H2/3=2h/3
v0

3
h v2

练习2:一物体从地面起做竖直上抛 运动,通过楼上1.5 m的窗口的时间为 0.1 s,当物体经过最高点后下落时,从 窗口下沿落到地面的时间为0.2 s,求物 体能达到的最大高度。

1.45s

1.5s
1.5 m

0.1s

共1.75 s 15 m/s

0.2s

v0 17.5 m/s

例2:A、B两球同时竖直上抛,A上升的最大高度 比B上升的最大高度高35 m,返回地面比B迟2 s,求: (1)A、B的初速度,(2)A、B上升的最大高度。

vA02/2g-vB02/2g=35 解法一: 2vA0/g-2vB0/g=2

例2:A、B两球同时竖直上抛,A上升的最大高度 比B上升的最大高度高35 m,返回地面比B迟2 s,求: (1)A、B的初速度,(2)A、B上升的最大高度。

解法二: vA0=40m/s,

vB0=30m/s,
hA0=80m,

B

hB0=45m,

A

35 m 1s

练习1:一物体做竖直上抛运动,两次经过高为h处 的时间间隔为t,则其上升的最大高度为_________,抛 出时的初速度为v0=_________。

1g t H= h+ 2 2

2

t/2

v0= 2gH
g2t2 = 2gh+ 4
v0

h

练习2:竖直上抛的小球,在抛出后的t1 s末和t2 s末 两时刻的位移相同,则它上升的最大高度为____。

解法一:

1 gt 2 = v t - 1 gt 2 v0t1- 0 2 1 2 2 2 1 g(t +t ) v0= 1 2 2 v02 1 g(t +t )2 H= = 1 2 2g 8

练习2:竖直上抛的小球,在抛出后的t1 s末和t2 s末 两时刻的位移相同,则它上升的最大高度为____。

解法二:

1 gt2 h=v0t- 2 gt2-2v0t+2h=0 2v0 1 g(t +t ) t1+t2 = g v0= 1 2 2

练习3:以速率v0竖直上抛甲物体,经过 时间?t后从同一地点以同样初速率v0竖直上 抛乙物体,求两物体在空中经多久相遇?相 遇处离抛出点多高?

C
D B

解法一: 设乙抛出时间t相遇 v0(t+?t)-g (t+?t)2/2 = v0t-gt2/2

A

E

甲 乙

解法二:

C

tAC=v0/g, 所以t=v0/g-?t/2。 HAC=v02/2g, HBC=HCD=g?t2/8 则h=v02/2g-?t2/8。

?t/2
B

?t/2 D

A

E

五.追及问题:
例1:甲、乙两个物体在同一直线上的不同位置开始 运动,它们的位移和时间的关系分别为s甲=8+18t-t2和 s乙=16+3t2,则( ) (A)t=0.5 s时,甲追上乙, (B)t=4 s时,乙追上甲, (C)在5 s内,t=0 s时,甲、乙间距离最大, (D)在5 s内,t=2.25 s时,甲、乙间距离最大。

解法一: 8+18t-t2=16+3t2 ?s t1=0.5s t2=4s ?s=16+3t2-(8+18t-t2) 0.5 4 5 t =8-18t+4t2

s甲=8+18t-t2和s乙=16+3t2, 解法二: v0甲=18m/s a甲=-2m/s2 v0乙=0 a乙=6m/s2 v0甲=18m/s a甲=-8m/s2 t1=0.5s t2=4s 8=18t-4t2 sm=182/2?8=20.25m t1=18/8=2.25 s 参照系 s5=18?5-8?52/2 甲 乙 12.25m =-10m
10m

8m

练习1:甲、乙两车同向行驶,甲在前,乙以速度 v1匀速运动,甲以一较小的速度v2匀速运动,相距为d时 乙刹车,问刹车后乙运动的加速度大小应满足什么条件 两车才能不相碰?

解: t=v1/a v v1 v2 t1

s=v12/2a

v2t+d>s

1 2 解一: v2t+d=v1t- 2 at at2+2(v2-v1) t+2d=0
甲 乙 t 4(v2-v1)2-8ad<0

解二: 以甲为参照系 d> (v1-v2)2/2a 末速为零 v1-v2 乙 甲 v2 v1 a d

练习2:甲质点以初速v0,加速度a1做匀加速直线运 动,乙质点以大小也为v0方向与甲相反的初速、大小为a2 方向与甲相同的加速度从同地出发做直线运动,要求在 时间t内两质点能相遇,a2应满足什么条件?

以甲为参照系 a1 甲 v0 v0 乙 a2

乙 2v0

t≥4v0/(a2-a1) a2-a1

练习3:甲、乙两物体相距离s,同时同向运动,乙在 前面做初速为零、加速度为a1的匀加速直线运动,甲在 后面做初速为v0、加速度为a2的匀加速直线运动,则 (A)若a1=a2,只能相遇一次,
(B)若a1>a2,可能相遇两次, (C)若a1<a2,可能相遇两次, (D)若a1>a2,不可能相遇。

解法一: 1 2+s= v t+ 1 a t2 a1t 0 2 2 2 (a1-a2)t2-2v0t+2s=0 若a1=a2,只能相遇一次, 若a1>a2, 当4v02>8s(a1-a2)时t有两解 t1+t2>0 t1t2>0 可能相遇两次,
若a1<a2,t1+t2<0 t1t2<0 必相遇一次,

解法二:

v0
甲 a1

以乙为参照系

s a2



若a1=a2,只能相遇一次, 若a1>a2, 当v02>2s(a1-a2)时 相遇两次, 若a1<a2, 必相遇一次,

解法三:
当a1=a2时 能且只能相遇一次, 若a1<a2时 能且只能相遇一次,

v

甲a2
乙a1

v0

s
t

解法三: 当a1=a2时

v

乙a1 甲a2 t

能且只能相遇一次,
若a1<a2时 能且只能相遇一次, 当a1>a2时

v0

s较小时可相遇两次, s较大时可相遇一次, s更大时不能相遇。

例2:小球A自高H高处自由下落,同时 小球B自其正下方以初速v0竖直上抛,问:
(1)两球何时相遇?相遇时离地多高?

A

解法一: v0t-gt 2/2+gt 2/2=H 解得:t=H/v0,
h=H-gt 2/2

H

=H-gH2/2v02。

v0

B

解法二:
以A为参照系, B:初速为v0,向上, 加速度为零。 所以有: H=v0 t。可解得t=H/v0, v0

A

H

B

解法二:
(2)要在B上升的过程中相遇,v0应 满足什么条件?

A

只要: H/v0<v0 /g , 即

H

v0 >

gH
v0 B

练习1:从某一高度的同一点以大小均为v0的初速向 上、向下、向左和向右等各方向同时各抛出一物体,任 一时刻各物体在空中位置关系如何?

设另一物体同时从同一点自由下落, 取它为参照系, 各物体初速均为v0,加速度均为0,都 做匀速直线运动。

练习1:

v0

各物体位于一个球 面上,

v0

v0

v0

球半径为v0t,

球心下落距离 为gt2/2,

练习2:在某高处悬挂一根长为2 m的竖直杆,当杆 的上端突然脱落的同时,在杆的正下方有一小物体做竖 直上抛运动,经0.5 s小物体与杆的下端高度相同,再经 0.1 s小物体通过杆,试求小物体的初速度及杆的下端原 来离地高度。

方程法:

gt12/2+v0t1-gt12/2=H gt22/2+v0t2-gt22/2=H+2

H

变换参照系法: 以杆为参照系 0.1s
H

小物体初速为v0加速度为0

2=0.1v0
0.5s H=0.5v0 v0=20 m/s H=10 m

练习3:甲、乙两球从同一地点竖直向上抛出,甲 的初速度为2v0,乙的初速为v0,问乙迟多久抛出,两球 能在空中相遇?

解法一:

设乙迟?t抛出,经t相遇

1 2 =v t- 1 gt2 2v0(t+?t)- 2 g(t+?t) 0 2 g?t2-4v0?t 解得: t= 2(v0-g?t) v0 <?t< 4v0 再由 t>0解得: g g

2(v0-g?t) v0 <?t< 4v0 再由 t>0解得: g g 2v0 解得: ?t> 2v0 再由 t< g g 2v0<?t< 4v0 所以得: g g

练习3:甲、乙两球从同一地点竖直向上抛出,甲 的初速度为2 v0,乙的初速为v0,问乙迟多久抛出,两球 能在空中相遇? g?t2-4v0?t 解法一:

t=

练习3:甲、乙两球从同一地点竖直向上抛出,甲 的初速度为2 v0,乙的初速为v0,问乙迟多久抛出,两球 能在空中相遇?

解法二:

s


乙 2v0 g 4v0 g

2v0<?t< 4v0 g g

t

下次再见


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