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初等几何变换(一)


初等几何变换(一) 主讲:刘汉斌
基础知识:
平面几何证明题历来是各届数学竞赛的热点之一。1989 年中国数学会普委会明确规定:

初、高中数学竞赛第二试中各出三道题,其中应有一道平面几何综合证明题。几
何变换是几何内容的核心,大家都知道:作辅助线是初等几何证明的难点,很多情况下,辅 助线的作法恰恰是变换的结果。我们称集合 M 到自身的一一对应为一个变换。初等几 何中只讨论平面上的平移、对称、旋转、相似等几种变换。 一、 平移变换 1. 定义 设 PQ 是一条给定的有向线段,T 是平面上的一个变换,它把平面图形 F 上 任一点 X 变到 X', 使得 XX' = PQ , T 叫做沿有向线段 PQ 的平移变换。 则 记为 X ?T ( PQ ) ? X', ?? 图形 F ?T ( PQ ) ? F' 。 ?? 2.主要性质 在平移变换下,对应线段平行且相等,直线变为直线,三角形变为三角 形,圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行(共线)且相等。 二、 轴对称变换 1. 定义 设 l 是一条给定的直线,S 是平面上的一个变换,它把平面图形 F 上任一点 X 变到 X',使得 X 与 X'关于直线 l 对称,则 S 叫做以 l 为对称轴的轴对称变换。记为

? ? X ?S( l ) ? X',图形 F ?S( l ) ? F' 。
2. 主要性质 在轴对称变换下,对应线段相等,对应直线(段)或者平行,或者交于 对称轴,且这两条直线的夹角被对称轴平分。

例题:
【例1】 P 是平行四边形 ABCD 内一点,且∠PAB=∠PCB。 求证:∠PBA=∠PDA。

【例2】如图左:线段 AA′,BB′,CC′交于点 O,AA'=BB'=CC'=2 ,∠AOB'=∠ BOC'=60° 。 求证:S△AOB'+S△BOC'+S△COA'< 3
A C'

Q A C' R O B' P

B

O

B'

B

A' C

A' C

图2

【例3】 A 形。

在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中,试求周长最小的四边
A' A D O F E

D O

A'

A D O F E

B

C

B C'

C

B G C'

C

图3

【例4】 P 是⊙O 的弦 AB 的中点,过 P 点引⊙O 的两弦 CD、EF,连结 DE 交 AB 于 M,连结 CF 交 AB 于 N。求证:MP=NP。 (蝴蝶定理)
F
F H F'

D O A N C P E M B
A N C G P E O M

D

B

图4

【例 5】 ⊙O 是给定锐角∠ACB 内一个定圆, 试在⊙O 及射线 CA、 上各求一点 P、 CB Q、R,使得△PQR 的周长为最小

【例 6】△ABC 中,∠A≥90°,AD⊥BC 于 D,△PQR 是它的任一内接三角形。求证: PQ+QR+RP>2AD。 P'' P' A

R

R

A

Q B P D C B
图6

Q P D C


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