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线性规划所有类型总结(很全的)


线性规划,想说懂你很容易
线性规划是近两年高考的必考内容。学习简单线性规划的有关知识其最终 目的就是运用它们去解决在线性约束条件下目标函数的最值(最大值或最小值) 问题。而有关的题型种类较多,变化多样,应用线性规划的思想解题不能完全拘 泥于课本中的 z=ax+by 的形式, 下面就从规划思想出发探讨常见的简单线性规划 求最值问题。 1、目标函数形如 z=ax+by 型:

? y ≥ x, ? 例 1(2008.全国Ⅱ)设变量 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ≤ 2, ,则 ? x ≥ ?2. ?
z ? x ? 3 y 的最小值是(

) C. ?6 D. ?8

图1

A. ?2

B. ?4

z 1 z 解:画出可行域(如图 1) ,由 z ? x ? 3 y 可得 y ? x ? ,所以 ? 表示直线 3 3 3 1 z y ? x ? 的纵截距,由图可知当直线过点 A(-2,2)时,z 的最小值是-8,选 3 3 D. y ?b 2、目标函数形如 z ? 型: x?a

? x ? y ? 2 ≤ 0, ? 例 2(2007.辽宁)已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ≥ 1, ? x ? y ? 7 ≤ 0, ?



y 的取值范围是( x



9 [ ,6 ] A. 5

9? ? B. ? ??, ? 5? ?

? ?? ?6,

C. 3? ? ??,

? ?? ?6,

图2

[3, 6] D.

y 表示可行域内的点(x,y)与原点 x 9 5 9 连线的斜率,求得 A(1,6) ,C( , ), 且求得 KOA=6,KOC= , 2 2 5 9 y 所以 ? ? 6 ,选 A. 5 x 3、目标函数形如 z=abx+cy 型:

解:画出可行域(如图 2) ,

? x ? y ? 1≥ 0, ? 例 3.(2008.北京)若实数 x, y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 3x ? 2 y 的 ? x ≤ 0, ?
最小值是( )A.0 B.1 C. 3 D.9

图3

解:画出可行域(如图 3) ,令 u=x+2y,当 x=y=0 时 u 最小为 0,则
z ? 3x ? 2 y 的最小值是 1.故选 B.

4. 目标函数形如 z=

ax ? by ? c 型: dx ? e

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 例 4.已知 x、y 满足 ?4 x ? 3 y ? 12 ,则 的取值范围是( x ?1 ?y ? x ?


图4

A.[1,5]

C.[2,10] D.[3,11] x ? 2 y ? 3 x ? 1 ? 2( y ? 1) 2( y ? 1) y ?1 ? ?1? 解: 做出可行域 (如图 4) , 因为 , 其中 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 可视作可行域内的点与点 C(-1,-1)连线的斜率,且求得 KCA=5, y ?1 y ?1 ? 5 ,所以 3 ? ? 11 选 D. KCB=1,所以由图可知 1 ? x ?1 x ?1 5. 目标函数形如 z ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 型:

B.[2,6]

?x ? 2 y ? 2 ? 0 例 5.已知 x、y 满足 ? ,求 z ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 的最大 ? x ? 0, y ? 0

图5

值和最小值. 解:目标函数的几何意义是可行域的点(x,y)与点 C(1,1)的距离(如图 5) , 由图形易知点 C 与可行域内的点 O(0,0)和 A(2,0)的距离最大为 2 ,而 z 的最小值是点 C 到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的距离
5 5 ,所以 zmax = 2 , z min = 5 5

?x ? 2 y ? 7 ? 0 ? 变式 已知 x、y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 9 ? 0 ,求 z=x2+y2 的最大值和最小值, ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?

解:画出可行域(如图 6) ,z=x2+y2 表示可行域内的点与原点 O 距离的平方,由 图可知,|OA|最大, zmax =( 52 ? 62 )2=61,最小值为点 O 到直 线 x+2y-3=0 的距离的平方, z min =( 6. 目标函数形如 z=|ax+by+c|型:
?x ? y ? 2 ? 0 ? 例 6. 已知 x、y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,求 z=|x+2y-4|的最大值. ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
图6

|3| 2 9 )= . 5 1? 4

解:因为 z ?| x ? 2 y ? 4 |?

| x ? 2y ? 4 | ? 5 ,所以 z 可看作是可行域内任 5

意一点(x,y)到直线 x+2y-4=0 的距离的 5 倍.由图 7 知,点 C 到直

?x ? y ? 2 ? 0 线 x+2y-4=0 的距离最大,由 ? 可得 C (7, 9) 所以 zmax=|7+2 ?2 x ? y ? 5 ? 0
×9-4|=21. 7. 目标函数形如 z=ax2+by2 型: ?y ? x ?1 ? 例 7.已知变量 x、y 满足 ? y ? ? x ? 6 ,求 z=4x2+y2 的最值 ?y ? 2 ? 解:做出可行域,即以原点为中心的共离心率的椭圆系(如图 8) , 2 2 x y ? 1, 由 z=4x2+y2 得 ? 目标函数 z 的几何意义是椭圆长轴的平方, z z 4 当椭圆分别经过 C (4, 2) , B (1, 2, ) 时 z 取最大值和最小值, zmax =68,
2 2 z min =8.此题还可以进一步引申,求 z=4x -y 的最值。

图7

图8


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