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湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 §1.3算法案例(秦九韶算法)教案 新人教A版必修3




案例 2

秦九韶算法

(一)导入新课 思路 1(情境导入) 大家都喜欢吃苹果吧, 我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃, 而虫子却是先钻到苹果 里面从里到外一口一口的吃,由此看来处理同一个问题的方法多种多样 . 怎样求多项式 5 4 3 2 f(x)=x +x +x +x +x +1 当 x=5 时的值呢?方法也是多种多样的,今天我们开始学习秦九韶算 法. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了辗转相除法与更相减损术, 今天我们开始学习秦九韶算法. (二)推进新课、新知探究、提出问题 5 4 3 2 (1)求多项式 f(x)=x +x +x +x +x+1 当 x=5 时的值有哪些方法?比较它 们的特点. (2)什么是秦九韶算法? (3)怎样评价一个算法的好坏? 讨论结果: 5 4 3 2 (1)怎样求多项式 f(x)=x +x +x +x +x+1 当 x=5 时的值呢? 一个自然的做法就是把 5 代入多项式 f(x),计算各项的值,然后把 它们加起来,这时, 我们一共做了 1+2+3+4=10 次乘法运算,5 次加法运算. 2 2 2 2 另一种做法是先计算 x 的值,然后依次计算 x ·x, (x ·x)·x, ( (x ·x)·x)·x 的值,这样每次都可以利用上一次计算的结果,这时,我们一共做了 4 次乘法运算,5 次加 法运算. 第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能够提高运算效率,对于 计算机来说, 做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多, 所以采用第二种做法, 计算机能更快地得到结果. (2)上面问题有没有更有效的算法呢?我国南宋时期的数学家秦九韶(约 1202~1261)在 他的著作《数书九章》中提出了下面的算法: n n-1 把一个 n 次多项式 f(x)=anx +an-1x +?+a1x+a0 改写成如下形式: n n-1 f(x)=anx +an-1x +?+a1x+a0 n-1 n-2 =(anx +an-1x +?+a1)x+ a0 n-2 n-3 =( (anx +an-1x +?+a2)x+a1)x+a0 =? =(?( (anx+an-1)x+an-2)x+?+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 v1=anx+an-1, 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ? vn=vn-1x+a0, 这样,求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次多项式的值. 上述方法称为秦九韶算法.直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. (3)计算机的一 个很重要的特点就是运算速度快,但即便如此,算法好坏的一个重要标志 仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数,那么这

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样的算法就只能是一个理论的算法. (三)应用示例 5 4 3 2 例 1 已知一个 5 次多项式为 f(x)=5x +2x +3.5x -2.6x +1.7x-0.8, 用秦九韶算法求这个多项式当 x=5 时的值. 解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7) x-0.8, 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 x=5 时的值: v0=5; v1=5×5+2=27; v2=27×5+3.5=138.5; v3=138.5×5-2.6=689.9; v4=689.9×5+1.7=3 451.2; v5=3 415.2×5-0.8=17 255.2; 所以,当 x=5 时,多项式的值等于 17 255.2. 算法分析:观察上述秦九韶算法中的 n 个一次式,可见 vk 的计算要用到 vk -1 的值,若令 v0=an,我们可以得到下面的公式:

?v0 ? an , ? ?vk ? vk ?1 x ? an?k (k ? 1,2,?, n).
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现. 算法步骤如下: 第一步,输入多项式次数 n、最高次的系数 an 和 x 的值. 第二步,将 v 的值初始化为 an,将 i 的值初始化为 n-1. 第三步,输入 i 次项的系数 ai. 第四步,v=vx+ai,i=i-1. 第五步,判断 i 是否大于或等于 0.若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值 v. 程序框图如下图:

程序: INPUT “n=”;n INPUT “an=”;a

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INPUT “x =”;x v= a i=n-1 WHILE i>=0 PRINT “i=” ;i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END 点评: 本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合, 详尽介绍了思想方法、 算法步骤、 程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例. 变式训练 请以 5 次多项式函数为例说明秦九韶算法,并画出程序框图. 5 4 3 2 解:设 f(x)=a5x +a4x +a3x +a2x +a1x+a0 首先,让我们以 5 次多项式一步步地进行改写: 4 3 2 f(x)=(a5x +a4x +a3x +a2x+a1)x+a0 3 2 =( (a5x +a4x + a3x+a2)x+a1)x+a0 2 =( ( (a5x +a4x+ a3)x+a2)x+a1)x+a0 =( ( ( (a5x+a4)x+ a3)x+a2)x+a1)x+a0. 上面的分层计算,只用了小括号,计算时,首先计算最内层的括号,然后由里向外逐层计算, 直到最外层的括号,然后加上常数项即可. 程序框图如下图:

k 例 2 已知 n 次多项式 Pn(x)=a0x +a1x +?+an-1x+an,如果在一种算法中,计算 x0 (k=2,3,
n n-1

4,?,n)的值需要 k-1 次乘法,计算 P3(x0)的值共需要 9 次运算(6 次乘法,3 次加法) , 那么计算 P10(x0) 的值共需要 __________ 次运算 . 下面给出一种减少运算次数的算法: P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1(k=0,1,2,?,n-1) .利用该算法,计算 P3(x0)的值共需 要 6 次运算,计算 P10(x0)的值共需要___________次运算. 答案:65 20 n n-1 点评:秦九韶算法适用一般的多项式 f(x)=anx +an-1x +?+a1x+a0 的求值问题.直接法乘 法运算的次数最多可到达

( n ? 1) n ,加法最多 n 次.秦九韶算法通过转化把乘法运算 的次数 2

减少到最多 n 次,加法最多 n 次.

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例 3 已知多项式函数 f(x)=2x -5x -4x +3x -6x+7,求当 x=5 时的函数的值. 5 4 3 2 解析:把多项式变形为:f(x)=2x -5x -4x +3x -6x+7 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7. 计算的过程可以列表表示为:

5

4

3

2

最后的系数 2 677 即为所求的值. 算法过程: v0=2; v1=2×5-5=5; v2=5×5-4=21; v3=21×5+3=108; v4=108×5-6=534; v5=534×5+7=2 677. 点评:如果多项式函数中有缺项的话,要以系数为 0 的项补齐后再计算. (四)知能训练 5 4 3 2 当 x=2 时,用秦九韶算法求多项式 f(x)=3x +8x -3x +5x +12x-6 的值. 解法一:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6. 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 x=2 时的值. v0=3; v1=v0×2+8=3×2+8=14; v2=v1×2-3=14×2-3=25; v3=v2×2+5=25×2+5=55; v4=v3×2+12=55×2+12=122; v5=v4×2-6=122×2-6=238. ∴当 x=2 时,多项式的值为 238. 解法二:f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6, 则 f(2)=((((3×2+8)×2-3)×2+5)×2+12)×2-6=238. (五)拓展提升 7 6 5 4 3 2 用秦九韶算法求多项式 f (x)=7x +6x +5x +4x +3x +2x +x 当 x=3 时的值. 解:f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x v0=7; v1=7×3+6=27; v2=27×3+5=86; v3=86×3+4=262; v4=262×3+3=789; v5=789×3+2=2 369; v6=2 369×3+1=7 108;

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v7=7 108×3+0=21 324. ∴f(3)=21 324. (六)课堂小结 1.秦九韶算法的方法和步骤. 2.秦九韶算法的计算机程序框图. (七)作业 3 2 已知函数 f(x)=x -2x -5x+8,求 f(9)的值. 3 2 2 解:f(x)=x -2x -5x+8=(x -2x-5)x+8=((x-2)x-5)x+8 ∴f(9)=((9-2)×9-5)×9+8=530.

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