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集合及集合间的关系


集合及集合间的关系
一般地,把研究对象统称为元素(element), 一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集.

集合元素的三个特征: 确定性可判断某些对象同集合的关系; 互异性可用于简化集合的表示; 无序性可用于判断集合的关系。

集合的表示方法: 1、列举法: 把集合的元素一一列举出来,并用花括号,及, “{ }”括起来

表示集合的方法. 注意: 1、元素间要用逗号隔开; 2、放在大括号内,不管次序。 思考:book 中的字母的集合能否表示为:{b,o ,o,k}(X) 2、描述法: 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。 具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一 条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 {元素的一般符号及取值范围|元素所具有的共同特征} 变式 1 : “由大于 3 的整数组成的集合” 如何表示.X 属于 Z 可省略,用省略号形式 变式 2:“由大于 3 小于 10 的实数组成的集合”又如何表示. X 属于 Z 可省略,用省略号形式

说明: (1)如果从上下文的关系来看,x ∈R,x∈Z 是明确的,那么 x ∈R,x∈Z 可以省略, 只写其元素 x

(2)注意集合元素的一般符号如{(x,y)|y=x2+3x+2} 与{y|y=x2+3x+2}不同 (3){ }已含有“所有”的意思 如{全体整数},{实数集},{R} X

3、图示法:(Venn 图) 我们常常画一条封闭的曲线,用它的内部表示一个集合。

1,2,3 ,5, 4.

1: a 与{ a }的含义是否相同? 2:集合{1,2}与集合{(1,2)}相同吗?

2 x y ? x2 , x ? R 3:集合 { y | y ? x , x ? R} 与集合
2

?

?

相同吗?

4:

集合 {( x, y) | y ? x , x ? R} 的几何意义如何?

集合相等的考查 练习题: 若 x∈{1,3,x3},则有( ) A.x=0 或 x=-1 B.x=-1 或 x=3 C.x=0 或 x=-1 或 x=3 D.x=0 或 x=3 设集合 A={x,y},B={0,x2},若集合 A、B 相等,求实数 x、y 的值. 规律总结:由集合相等求参数,应从集合相等的概念入手,寻找元素之间的关系,若集合中 的未知元素不止一个, 需进行分类讨论. 注意利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取 舍. 变式: b 若将上式中的集合 A 改为{a,a,1},B 改为{a2,a+b,0},其他条件不改变,怎样求 a2 012 +b2 012 的值.

分类讨论的思想

[例 3] 已知集合 A 是由方程 ax2+2x+1=0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合. (1)1 是 A 中的一个元素,求集合 A 中的其他元素; (2)若 A 中有且仅有一个元素,求 a 的值组成的集合 B;a=0 及 a=/0; (3)若 A 中至多有一个元素,试求 a 的取值范围.

[解析] (1)∵1 是 A 的元素∴1 是方程 ax2+2x+1=0 的一个根,∴a×12+2×1+1=0,即 a =-3, ∴方程即为-3x2+2x+1=0, 1 1 ∴x1=1,x2=-3,∴集合 A 中的其他元素为-3. 1 (2)若 a=0,方程化为 2x+1=0,此时有且仅有一个根 x=-2; 若 a≠0,则当且仅当方程的判别式 Δ=4-4a=0,即 a=1 时,方程有两个相等的实根 x1= x2=-1,此时集合 A 中有且仅有一个元素, ∴所求集合 B={0,1}; (3)集合 A 中至多有一个元素包括两种情况: ①A 中有且只有一个元素,由(2)知此时 a=0 或 a=1; ②A 中一个元素也没有,即 A=?,此时 a≠0,且 Δ=4-4a<0,∴a>1; 综合①、②知所求 a 的取值范围是{a|a≥1 或 a=0}.

集合间的关系:
1.子 集 一般地,对于两个集合,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的元素,称集合 A 是集合 B 的子集,记作 A ? B. 读作“A 包 含于 B”或“B 包含 A”. ①区分∈; ②也可用 ? ?

若x ? A则x ? C ? A ? C .
2.集合相等 A={ x|x 是两边相等的三角形}, B={ x|x 是等腰三角形}, 有 A ? B,B ? A,则 A=B.

B

A

3.真子集

如果A ? B, 但存在元素 x ? B且x ? A, 则称A是B的真子集
示例 4:考察下列集合,并指出集合中的 元素是什么? A={(x, y)| x+y=2}; B={x| x2+1=0,x∈R}. 4.空集 不含任何元素的集合为空集,记作 规定:空集是任何集合的子集,空集 是任何非空集合的真子集.

子集的传递性

若A ? B, B ? C, 则A ____C. ?.

例:记得空集 ⑴写出集合{a,b}的所有子集; ⑵写出所有{a,b,c}的所有子集; ⑶写出所有{a,b,c,d}的所有子集.

1.子集:A ? B ? x ? A, ? x ? B 2.真子集:A ? B ? x ? A ? x ? B
?

但存在x0 ? B且x0 ? A 3.集合相等:A ? B ? A ? B且B ? A 4.空集:不含任何元素的 集合,记作 φ 5.性质:⑴ φ ? A,若A非空则 φ ? A
?

⑵A ? A ⑶A ? B且B ? C ? A ? C

课后练习
1、下列各组对象中不能形成集合的是( A.正三角形的全体; B.大于 2 的所有整数; C.所有的无理数; D.高一数学书中的所有难题. )

2、用适当的方法表示下列集合 (1)方程 x2-x+1=0 的实数解组成的集合; (2)方程 2x+3y=13 与 3x-2y=0 的公共解组成的集合; (3)2 与 3 的正公倍数组成的集合; 3、设 y=x2+ax+b,A={x|y=x}={a},M={(a,b)},求 M


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