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四川省成都市实验外国语学校2015届高三下学期2月月考数学试题


成都实验外国语学校 2012 级 2 月月考 数 学 试 题(理、文)
满分 150 分。考试时间 120 分钟。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1.复数

i ? i ?1 1 i A. ? 2 2

B.

1 i ? 2 2

C. ?
<

br />1 i ? 2 2

D. ?

1 i ? 2 2

(文) 已知正项等比数列 {an } 中, a1a5 ? 2, 则a3 = A. 2 B.2 C.4 D. 2 2

2.已知 a ? (1, 2), b ? ( x,1) ,若 a与a ? b 共线,则实数 x= A. ?

?

?

? ? ?

1 2
2

B.

1 2

C.1

D.2

3.设随机变量 ? ~ N A.

, P?? ? 2? ? p, 则 P?0 ? ? ? 1?的值为 ??, ? ?,且 P?? ? 1? ? 1 2
B. 1 ? p C. 1 ? 2 p D.

1 p 2

1 ?p 2

(文) 函数 f ?x ? ? x 2 ? 4 x ? 1在定义域 A 上的值域为 ?? 3,1? ,则区间 A 不可能为 A. ?0,4? B. ?2,4? C. ?1,4? D. ?? 3,1?

4.把函数 y ? cos x ? 3 sin x 的图象向左平移 m(m ? 0) 个单位长度后,所得到的图象关 于 y 轴对称,则 m 的最小值是

A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

5 .将直线 x ? y ? 1 ? 0 绕点( 1 , 0 )沿逆时针方向旋转 15 ? 得到直线 l ,则直线 l 与圆

( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 的位置关系是
A.相交 6.已知 x ? 0, y ? 0, 且 B.相切 C.相离 D.相交或相切

x y 2 3 ? ? 1 ,则 ? 的最小值为 2 3 x y
B.2 C.4 D.

A.1

25 6

7.函数 y ? 2

|lg o2 x|

? | x ?1| 的图象大致是

8.数列 {an } 定义如下: a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 2an?1 ? an ? 2(n ? N * ) ,则 a 11 = A.91 B.110
2

C.111

D.133

9.已知 x, y ? R ,则 ( x ? y ) ? ( x ?

1 ? 1) 2 的最小值为 y
C.

A.

1 4

B.

1 2

2 2

D. 2 2 ?

1 2

?x ? 1 ? 10.已知 P?x, y ?的坐标满足: ? y ? 2 ,那么 x 2 ? y 2 的取值范围是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A. ?1,4? B. ?1,5? C ? , 4? . 5

?4 ? ? ?

D. ? ,5? 5

?4 ? ? ?

11. 设 f ?x ?, g ?x ? 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

f ??x?g ?x? ? f ?x?g ??x? ? 0 ,且 g ?3? ? 0 ,则不等式 f ?x?g ?x? ? 0 的解集为 A.?? 3,0? ? ?3,???
12 已 知

B.?? 3,0? ? ?0,3?

C.?? ?,?3? ? ?3,???

D?? ?,?3? ? ?0,3?

f(x)=bx+1, 为 关 于 x 的 一 次 函 数 , b 不 等 0 且 不 等 于 1 的 常 数 , 若

?1, n ? 0 设 an ? g ?n? ? g ?n ? 1?, n ? N ? ,则数列 ?an ? 为 g ?n ? ? ? ? f ?g ?n ? 1??, n ? 1
A.等差数列 B等 比 数 列 C.递 增 数 列 D递 减 数 列

二、 填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分。把答案填写在答题卡相应位置上。 13. a ? b ? 0 的一个充分不必要条件是 。

14.已知 tan ? ? 2, 则tan(

?
4

+? ) =



15.如题 15 图所示,过抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦 点 F 作直线交 C 于 A、B 两点,过 A、B 分别向 C 的 准线 l 作垂线,垂足为 A ', B ' ,已知 四边形 AA ' B ' F与BB ' A ' F 的面积分别为 15 和 7,则 ?A ' B ' F 的面积为 。

16. 有限集合 P 中元素的个数记作 card( P) . 已知 card(M ) ? 10 , A ? M , B ? M ,

A? B ? ?, a r d( ) A 2? ,card( B) ? 3 .若集合 X 满足 A ? X ? M , 且c 则集合 X 的
个数是_____;若集合 Y 满足 Y ? M ,且 A ? Y , B ? Y ,则集合 Y 的个数是_____. (用数字作答) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x , x ? [ , π ] . (Ⅰ)求方程 f ( x ) =0 的根; (Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值. 18.(本小题满分 12 分) 盒中装有 7 个零件,其中 2 个是使用过的,另外 5 个未经使用. (Ⅰ) 从盒中每次随机抽取 1 个零件, 每次观察后都将零件放回盒中, 求 3 次抽取中恰有1 次 抽到使用过的零件的概率; (Ⅱ) (理)从盒中随机抽取 2 个零件, 使用后 放回盒中, 记此时盒中使用过的零件个数为 X , ... 求 X 的分布列和数学期望. (Ⅱ) (文)从盒中随机抽取 2 个零件,使用后 放回盒中,求此时盒中使用过的零件个数为 ... 3 或 4 概率。 19. (本小题满分 12 分)

π 2

D 是 BC 的 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC ? 2 AA 1 , ?ABC ? 90 ,
中点. (Ⅰ)求证: A 1B ∥平面 ADC1 ; (Ⅱ)求二面角 C1 ? AD ? C 的余弦值; (Ⅲ) 试问线段 A1B1 上是否存在点 E , 使 AE 与 DC1 成 60
?

?

角?若存在,确定 E 点位置,若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 12 分) 如题 21 图,已知离心率为

x2 y 2 3 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 M(2,1) ,O 为 a b 2

坐标原点,平行于 OM 的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 A、B。 (1)求椭圆 C 的方程。 (2)证明:直线 MA、MB 与 x 轴围成一个等腰三角形。

21.(理)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

1 2 ax ? ln(1 ? x) ,其中 a ? R . 2

(Ⅰ)若 x ? 2 是 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 0 ,求 a 的取值范围. (文) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? b ? a (其中 a, b 为常数且 a ? 0, a ? 1 ) 的反函数的图象经过点 A (4,
x

1)和 B(16,3) 。 (1)求 a,b 的值; (2) 若不等式 ( )

1 a

2x

? b1? x ? | m ? 1|? 0 在 x ? ? ??,1? 上恒成立, 求实数 m 的取值范围。

22. (本小题满分 14 分) 已知正项数列 {an } 满足: an ?1 ?

1 1 (an ? )(n ? N * ). 2 an

(1)求 a1 的范围,使得 an?1 ? an 恒成立; (2)若 a1 ?

3 1 * ,证明 an ? 1 ? n ?1 (n ? N , n ? 2); 2 2
3 a a a a ,证明: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ? 2 ? 1. 2 a2 a3 a4 an?1

(3) (理)若 a1 ?

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1~5 ABDCB 6~12 CDCBD DB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填写在答题卡相应位置上。 13. a ? b ? 1 14. ? 3 15.6 16.256, 672 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 解法一: (Ⅰ)解:令 f ( x) ? 0 ,得 sin x ? ( 3 sin x ? cos x) ? 0 , 所以 sin x ? 0 ,或 tan x ? ?

3 . 3

由 sin x ? 0 , x ? [ , π ] ,得 x ? π ; 由 tan x ? ?

π 2

π 5π 3 , x ? [ , π ] ,得 x ? . 6 2 3

??????6 分

综上,函数 f ( x) 的零点为 (Ⅱ)解: f ( x) ?

5π 或π. 6

3 1 π 3 . ( 1 ? cos2x ) ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 2 3 2
π 2 π 5π ?[ , ]. 3 3 3

因为 x ? [ , π ] ,所以 2 x ? 当 2x ? 当 2x ?

π 2

π 2π π ? ,即 x ? 时, f ( x) 的最大值为 3 ; 2 3 3
π 3π 11π 3 ? ,即 x ? 时, f ( x) 的最小值为 ?1 ? . 3 2 12 2
??????12 分

解法二: (Ⅰ)解: f ( x) ?

3 1 π 3 ( 1 ? cos2x ) ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? . 2 2 3 2 π 3 3 . 2
??????4 分

令 f ( x) ? 0 ,得 sin(2 x ? ) ? ? 因为 x ? [ , π ] ,所以 2 x ?

π 2

π 2 π 5π ?[ , ] . 3 3 3

所以,当 2 x ? 即 x?

π 4π π 5π ? ,或 2 x ? ? 时, f ( x) ? 0 . 3 3 3 3

5π 或 x ? π 时, f ( x) ? 0 . 6 5π 综上,函数 f ( x) 的零点为 或π. 6
分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知, 当 2x ? 当 2x ?

??????10

π 2π π ? ,即 x ? 时, f ( x) 的最大值为 3 ; 2 3 3
π 3π 11π 3 ? ,即 x ? 时, f ( x) 的最小值为 ?1 ? . 3 2 12 2
??????12 分

18. 16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:记“从盒中随机抽取 1 个零件,抽到的是使用过的零件”为事件 A , 则 P ( A) ?

2 . 7
1

所以 3 次抽取中恰有 1 次抽到使用过的零件的概率 P ? C3 ( )( ) ?
2

2 5 7 7

150 . ??6 分 343

(Ⅱ) (理)解:随机变量 X 的所有取值为 2,3, 4 .

P( X ? 2 ? )

C2 1 2 ? ; 2 C7 2 1

P( X ? 3) ?

1 C1 10 5 C2 ? ; 2 C7 21

2 C5 10 P( X ? 4) ? 2 ? . C7 21

??????8 分

所以,随机变量 X 的分布列为:

3 2 4 1 10 10 P 21 21 21 1 10 10 24 EX ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 21 21 21 7
X

答:略 ??????12 分

(Ⅱ) (文)? P( X ? 3) ?

1 2 C1 C5 10 10 5 C2 ; ? P ( X ? 4) ? ? . 2 2 C7 21 C7 21

? P? X ? 3或X ? 4 ? ?

10 10 20 ? ? 21 21 21

答:略 ????12 分

19. .(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连结 AC 1 ,交 AC1 于点 O ,连结 OD . 由 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱, 得 四边形 ACC1 A 1 的中点. 1 为矩形, O 为 AC 又 D 为 BC 中点,所以 OD 为 △A1BC 中位线, 所以 A 1B ∥ OD , 因为 OD ? 平面 ADC1 , A1B ? 平面 ADC1 , 所以 A 1B ∥平面 ADC1 . ??????4 分
?

(Ⅱ)解:由 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,且 ?ABC ? 90 ,故 BA, BC, BB1 两两垂直. 如图建立空间直角坐标系 B ? xyz . 设 BA ? 2 ,则 B(0,0,0),C(2,0,0), A(0,2,0),C1 (2,0,1), D(1,0,0) . 所以 AD ? (1, ?2,0) , AC1 ? (2, ?2,1)

????

???? ?

???? ? ?n ? AD ? 0, 设平面 ADC1 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? ? ? ?n ? AC1 ? 0.
所以 ?

? x ? 2 y ? 0, 取 y ? 1 ,得 n ? (2,1,?2) . ?2 x ? 2 y ? z ? 0.

易知平面 ADC 的法向量为 v ? (0, 0,1) . 由二面角 C1 ? AD ? C 是锐角,得 cos? n, v ? ? 所以二面角 C1 ? AD ? C 的余弦值为 (Ⅲ)解:假设存在满足条件的点 E . 因为 E 在线段 A1 B1 上, A1 (0,2,1) , B1 (0,0,1) ,故可设 E (0, ? ,1) ,其中 0 ? ? ? 2 . 所以 AE ? (0, ? ? 2,1) , DC1 ? (1,0,1) .

| n?v | 2 ? . n v 3

??????8 分

2 . 3

??? ?

???? ?

??? ? ???? ? AE ? DC 1 ? 1 ? . 因为 AE 与 DC1 成 60 角,所以 ??? ? ???? ? 2 AE DC1



1 (? ? 2) ? 1 ? 2
2

?

1 ,解得 ? ? 1 ,舍去 ? ? 3 . 2
?

所以当点 E 为线段 A1 B1 中点时, AE 与 DC1 成 60 角. 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为:

??????12 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

?c 3 2 ? , a ? b2 ? c2 2 ? ? ?a ?a ? 8 2 由题意得: ? ?? 2 ? ? 4 ? 1 ?1 ?b ? 2 2 2 ? b ?a
x2 y2 ? ? 1 .……???5 分 ∴ 椭圆方程为 8 2
( Ⅱ ) 由 直 线 l // OM , 可 设 l : y ?

1 x?m 2

将式子代入椭圆 C 得:

x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0
设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4 … 设直线 MA 、 MB 的斜率分别为 k 1 、 k 2 ,则 k1 ?

y1 ? 1 x1 ? 2

k2 ?

y2 ? 1 ……???8 分 x2 ? 2

1 1 x1 ? m ? 1 x2 ? m ? 1 2 2 k ? k ? ? 下面只需证明: k1 ? k 2 ? 0 ,事实上, 1 2 x1 ? 2 x2 ? 2

? 1 ? m(

x1 ? x2 ? 4 1 1 ? ) ? 1? m ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
2

1? m ?

? 2m ? 4 ?0 2m ? 4 ? 2(?2m) ? 4

故直线 MA 、 MB 与 x 轴围成一个等腰三角形.……???12 分 21.(理) (本小题满分 12 分)

x(1 ? a ? ax) , x ? (?1, ??) . x ?1 1 依题意,令 f ?(2) ? 0 ,解得 a ? . 3 1 经检验, a ? 时,符合题意. 3 x (Ⅱ)解:① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? . x ?1
(Ⅰ)解: f ?( x) ? 故 f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) ;单调减区间是 (?1,0) . ② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 ,或 x2 ? 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 与 f ?( x ) 的情况如下:

??????4 分

1 ?1 . a
x2
0

x
f ?( x)

(?1, x1 )
?


x1
0

( x1 , x2 )

( x2 , ? ?)

?


?


f ( x)

f ( x1 )

f ( x2 )

1 1 ? 1) ;单调减区间是 (?1,0) 和 ( ? 1, ?? ) . a a 当 a ? 1 时, f ( x) 的单调减区间是 (?1,??) .
所以, f ( x ) 的单调增区间是 (0, 当 a ? 1 时, ?1 ? x2 ? 0 , f ( x ) 与 f ?( x ) 的情况如下:

x
f ?( x)

(?1, x2 )
?


x2
0

( x2 , x1 )

x1
0

( x1 , ? ?)

?


?


f ( x)

f ( x2 )

f ( x1 )

所以, f ( x ) 的单调增区间是 (

1 1 ? 1, 0) ;单调减区间是 (?1, ? 1) 和 (0, ??) . a a

③ 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间是 (0, ??) ;单调减区间是 (?1,0) . 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 的增区间是 (0, ??) ,减区间是 (?1,0) ; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 的增区间是 (0,

1 1 ? 1) ,减区间是 (?1,0) 和 ( ? 1, ?? ) ; a a

当 a ? 1 时, f ( x) 的减区间是 (?1,??) ; 当 a ? 1 时, f ( x ) 的增区间是 (

1 1 ? 1, 0) ;减区间是 (?1, ? 1) 和 (0, ??) . a a
??????10 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,由 f (0) ? 0 ,知不合题意.

当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (0, ??) 的最大值是 f ( ? 1) , 由 f ( ? 1) ? f (0) ? 0 ,知不合题意. 当 a ? 1 时, f ( x) 在 (0, ??) 单调递减, 可得 f ( x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 f (0) ? 0 ,符合题意. 所以, f ( x) 在 [0, ? ? ) 上的最大值是 0 时,a 的取值范围是 [1, ??) . ????12 分 21.(文) 解: (Ⅰ)? f ?1 ( x) 图象经过点 A(4,1), B(16,3) ,

1 a

1 a

? f ( x) 图象经过点 A(1, 4), B(3,16), …

?ab ? 4 ?? 3 ? a ? b ? 2,? f ( x) ? 2x?1; ……???6 分 ?ba ? 16
(Ⅱ)不等式 ( )

1 a

2x

? b1? x ? | m ? 1|≥ 0 在 x ? (??,1] 时恒成立,

? 不等式 ( ) 2 x ? 21? x ≥| m ? 1| 在 x ? (??,1] 时恒成立,
1 [( ) 2 x ? 21? x ]min ≥| m ? 1| 恒成立,……???8 分 2 1 x 1 2 设 t = ( ) , g (t ) = t + 2t ,? x ≤ 1,? t ≥ , ……???10 分 2 2 1 5 5 1 9 ? g (t ) min ? g ( ) ? ,?| m ? 1|≤ ? ? ≤ m ≤ , 2 4 4 4 4 1 9 ? 实数 m 的取值范围是 [ ? , ]. ……???12 分 4 4
22. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由 an ?1 ?

1 2

1 1 1 1 1 (an ? ) ,得 an?1 ? an ? ( ? an ) 由 an?1 ? an ,即 ? an ? 0 2 an 2 an an

所以 an ? 1或 an ? ?1(舍) 所以 a1 ? 1 时, an?1 ? an ……(理)???4 分 (Ⅱ)证:若 a1 ? , (文)………..6 分

3 13 1 1 ? 1? 3 ,得 1 ? a2 ? 现假设 ak ? 1 ? k ?1 ( k ? N * , k ? 2 ) 2 12 2 2 1 1 构造函数 f ( x) ? ( x ? ) ,易知 f ( x) 在 (1, ??) 上单调增 2 x

所以 ak ?1 ? f (ak ) ? f (1 ? 即 ak ?1 ? 1 ?

1 1 1 2k 1 ) ? ? ? ? 1 ? k ?2 k ?1 k ?2 k ?1 2 2 2 2 ?1 2

1 2
k ?2

由以上归纳可知 an ? 1 ? (Ⅲ)由 an ?1 ?

1 (n ? N * , n ≥ 2) ……(理)???5 分, (文)….8 分 n ?1 2

2 1 1 1 1 1 1 (an ? ) 得 an?1 ? 1 ? (an 2 ? 2 ? 2 ) ? (an ? ) 2 2 an 4 an 4 an

所以 an ? an ?1 ? an ?1 ? 1
2

?

an ?1 ? an ?1

an ?12 ? 1 1 ? 1? …… an ?1 an ?12

构造函数 g ( x) ? 1 ?

1 (, 1 ? ?) 上单调递增 , g ( x) 在 x2

an 1 1 2 ? 2n ? 2 ? 1 2 1 ? ?1 ? 1 ? 2 ? 1 ? ? n?2 2 ? n?2 ? n 1 an?1 an?1 (1 ? n?2 )2 (2 ? 1) 2 ? 1 2 2
a a a1 a a3 2 a a ? ? ? ? ? n ? n=( ? ? 1 ? 1 ? ? ) ? n ( ? a2 a a 3 an? 4 a a1 an? 2
2





1
3

)

(
1

1 1 1 1 ? ? 2 ? 3 ??? n 2 2 2 2
(理)……….5 分

?

1 1 [1 ? ( ) n ] 2 2 ? 1 1? 1? 2

1 2 1 2

? 2 ?1


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