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高三总复习第一章


高三总复习

人教B版 · 数学(文)

高三总复习

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第一节





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1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与

集合的“属于”关系.

(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不
同的具体问题.

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2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.

(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.
(3)能使用韦恩图表示集合间的关系.

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1.集合元素的三个特征:________、________、________. 2 . 元 素 与 集 合 的 关 系 是 ________ 或 ________ 关 系 , 用 符 号 ________或________表示. 3.集合的表示法:________、________、________、________. 4.常用数集:自然数集N;正整数集N*(或N +);整数集Z;有理 数集Q;实数集R.

5.集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为________、
________、________.

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6.子集、真子集及其性质 对任意的x∈A,都有x∈B,则A?B(或B?A).

若A?B,且在B中至少有一个元素x∈B,但x?A,则A?B(或B?
A). ??A;A?A;A?B,B?C?A?C.

若A含有n个元素,则A的子集个数为________个,A的非空子集个
数为________个,A的非空真子集为________个.

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7.集合相等 若A?B且B?A,则A=B.

8.集合的并、交、补运算
并集:A∪B=________; 交集:A∩B=________;

补集:?UA=________.
U为全集,?UA表示A相对全集U的补集.

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9.集合的运算性质 并集的运算性质:

A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;
A∪B=A?B?A. 交集的性质:

A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;
A∩B=A?A?B.

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补集的性质: A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;

?U(?UA)=A;
?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB); ?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).

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【答案】 2.属于

1.确定性 不属于 ∈

互异性 ?

无序性

3.列举法 描述法 Venn图法
5.有限集 无限集 6.2n 2n-1 2n-2 空集

区间法

8.{x|x∈A或x∈B}

{x|x∈A且x∈B}

{x|x∈U且x?A}

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题型一

元素与集合的关系

【例1】
a的值.

已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求实数

【思路探究】 方程确定a.

1∈A?a+2=1或(a+1)2 =1或a2 +3a+3=1,解

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【解析】

∵1∈A,∴a+2=1,或(a+1)2=1,

或a2+3a+3=1.

(1)若a+2=1,则a=-1,
当a=-1时,a+2=a2+3a+3=1, ∴a=-1不符合题意.

(2)若(a+1)2=1,则a=0,或a=-2.
当a=0时,a+2=2,(a+1)2=1,a2+3a+3=3,符合题意. 当a=-2时,(a+1)2=a2+3a+3=1, ∴a=-2不符合题意.

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(3)若a2+3a+3=1,则a=-1,或a=-2, 由(1)(2)可知,a=-1,a=-2都不符合题意.

综上可知,实数a的值为0.
【评析】 ①给条件m∈A,若集合A是用列举法表示的,则m应是

集合A中的一个元素,若集合A是用描述法表示的,则m应满足集合中的

特征性质;②解答过程体现了数学分类思想的灵活运用,分类应注意:
不重复、不遗漏、分类的标准一致.

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变式训练1

集合A={1,2,3,4},B?A,且1∈(A∩B),4?(A∩B), )

则满足上述条件的集合B的个数是(

A.1

B.2

C.4

D.8

【答案】 C 【解析】 ∵B?A,∴A∩B=B.

又1∈A∩B,4?A∩B,
∴集合B中必有元素1,没有元素4, ∴2,3中有1个,2个,0个在B中, ∴有4种情况,即集合B有4个.

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题型二 【例2】

集合与集合的关系 已知集合A={x|x2-3x-10≤0}.

(1)若B?A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数m的取值范围;
(2)若A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围; (3)若A?B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围.

【思路探究】

集合间的包含、相等关系,关键是搞清A、B两集

合谁是谁的子集,B?A说明B是A的子集,即集合B中元素都在集合A中, 注意B是?的情况.同样A?B,说明A是B的子集,此时注意B是不是?.A =B,说明两集合元素完全相同.

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【解析】 )( 由A={x|x2-3x-10≤0}, 1 得A={x|-2≤x≤5},∵B?A. ∴①若B=?,则m+1>2m-1, 即m<2, 时足 此满 B?A.

?m+1≤2m-1 ? ②若B≠?,则?m+1≥-2 ?2m-1≤5 ?
由①②得,m的 值 围 取范 是

,得 解

2≤m≤3.

(-∞,3].

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)( 若A=B, 必 2 则有 即存 不在

?m-6=-2 ? ? ?2m-1=5 ?

,得 解

m∈?.

m使 A=B. 得

)( 若A?B, 依 意有 3 则题应

?2m-1>m-6 ? ?m-6≤-2 ?2m-1≥5 ?



?m>-5 ? 解得?m≤4 , 3≤m≤4. 故 ?m≥3 ?
∴m的 值围 取范是 4[ ], 3 .

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【评析】

解决这类问题时要注意空集是一个特殊的集合,它是

任何集合的子集,解题时不要漏掉这一点,同时解决两个集合的关系时,

避免出错的一个有效手段是合理利用数轴帮助分析与求解,这也是数与
形的完美结合之所在.

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变式训练2

若集合P={x|x2 +x-6=0},S={x|ax+1=0},且

S?P,求a的取值组成的集合.
【解析】 P={x|x 2+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3,2}.

∴当a=0时,S=?满足S?P;
? 1? 当a≠0时,S=?x|x=- ?, a? ?

1 1 ∴- =-3或- =2, a a 1 1 ∴a= 或a=- . 3 2
? 1 1? ∴a的取值集合为?0, ,- ?. 3 2? ?

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题型三 【例3】

集合的运算 设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-

5)=0},若U=R,A∩(?UB)=A,求实数a的取值范围.
【思路探究】 对于含参数的集合的运算,首先解出不含参数的 集合,然后根据已知条件求参数.

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【析 解】 故合 集

由x2-3x+2=0得x=1或x=2, A={ } 2 , 1 .

∵A∩(?UB)=A,∴A??UB,∴A∩B=?. ①若B=?, Δ<0?a<-3适合; 则 ②若B≠?, a=-3时 B={ ,A∩B={ , 合 意 则 , } 2 } 2 不题 ; a>-3, 时 此需 1?B且2?B; a= 1或a=-3(舍 ); - 去 a2+2a-2=0?a=-1± 3;

将2代入B的 程 方得 将1代入B的 程 方得

∴a≠-1且a≠-3且a≠-1± 3. 综 , a的 值围 上 取范是 a<-3或-3<a<-1- 3 或-1- 3 <a<- 1或-1<a<-1+ 3或a>-1+ 3.

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【评析】

解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,

看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用以及

空集作为一个特殊集合与非空集间的关系,在解题中漏掉它极易导致错
解.

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变式训练3

若集合A={x|x2-2x-8<0},B={x|x-m<0}.

(1)若m=3,全集U=A∪B,试求A∩?UB;

(2)若A∩B=?,求实数m的取值范围;
(3)若A∩B=A,求实数m的取值范围.

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【解析】

(1)由x2-2x-8<0,得-2<x<4,

∴A={x|-2<x<4}. 当m=3时,由x-m<0,得x<3, ∴B={x|x<3},

∴U=A∪B={x|x<4},?UB={x|3≤x<4}.
∴A∩?UB={x|3≤x<4}. (2)∵A={x|-2<x<4},B={x|x<m}, 又A∩B=?,∴m≤-2. (3)∵A={x|-2<x<4},B={x|x<m}, 由A∩B=A,得A?B,∴m≥4.

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题型四 【例4】

新定义型问题 若集合A1,A2满足A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合A的 )

一种分拆,并规定:当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的 同一种分拆,则集合A={1,2,3}的不同分拆种数有( A.27种 C.9种 【思路探究】 B.26种 D.8种

在正确理解“分拆”定义的基础上,采用列举法,

注意分类.

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【解析】

①A1=?时,A2={1,2,3},只有一种分拆;

②A1是单元素集时(有3种可能),则A2必须至少包含除该元素之外

的两个元素,也可能包含3个元素,有两类情况(如A1={1}时,A2={2,3}
或A2={1,2,3}),这样A1是单元素集时的分拆有6种; ③A1是两个元素的集合时(有3种可能),则A2必须至少包括除这两

个元素之外的另一个元素,还可能包含A1中的1个或2个元素(如A1={1,2}
时,A2={3}或A2={1,3}或A2={2,3}或A2={1,2,3}),这样A1是两个元素 的集合时的分拆有12种;

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④A1是三个元素的集合时(只有1种),则A2可能包含0,1,2或3个元素 (如A1 ={1,2,3}时,A2 可以是集合{1,2,3}的任意一个子集),这样A1 =

{1,2,3}时的分拆有23=8种.
所以集合A={1,2,3}的不同分拆的种数有1+6+12+8=27种. 【答案】 A

【评析】

解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定义(或

新运算).思路是找到与此新知识有关的所学知识,帮助理解.同时, 找出新知识与所学相关知识的不同之处,通过对比加深对新知识的认 识.

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变式训练4

(2010·四川,16)设S为复数集C的非空子集.若对任

意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题:

①集合S={a+bi|(a,b为整数,i为虚数单位)}为封闭集;
②若S为封闭集,则一定有0∈S; ③封闭集一定是无限集;

④若S为封闭集,则满足S?T?C的任意集合T也是封闭集.
其中真命题是____________(写出所有真命题的序号) 【答案】 ①②

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【解析】

由题意,①S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位},S为

复数集,若x、y∈S,则x+y,x-y及xy仍为复数,故①正确.

②若S为封闭集,且存在元素x∈S,那么必有x-x=0∈S,即一定
有0∈S,故②正确. ③因为{0}是封闭集,且是有限集,故③错误.

④举特例,若S={0},T={0,i,-i},
显然,T中i·(-i)=1?T, ∴T不是封闭集,故④错误.

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1.从近两年课改区高考试题来看,主要以选择题的形式考查,分 值为5分,属容易题.

2.两集合的交、并、补运算及两集合的包含关系是高考的热点,
同时集合常与方程、不等式相结合,考查方程、不等式的解法. 3.从高考试题看,试题由考查单一知识点向两个知识点发展,预 测2012年高考仍将以集合的交、并、补集运算为主要考点发展,考查学 生对基本知识的掌握程度.

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1.解题时要特别关注集合中元素的三个特性,特别是互异性,要
进行解题后的检验.注意将数学语言与集合语言进行相互转化. 2.空集?在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何非

空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏掉.
3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是 集合与集合的包含关系. 4.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情 形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.

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5.两个集合的交、并、补运算分别与逻辑联结词且、或、非相对 应,但不能相混淆,如{x|x2 >4}不能化成{x|x<-2}或{x|x>2},x2 >4

也不能化成x<-2∪x>2.
6.若A、B是S的两个子集,则全集S最多被4个集合A∩B、A∩(?SB)、 B∩(?SA)、?S(A∪B)所划分,其中必有A∩B?A、B?A∪B?S.

7.韦恩图表示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用
方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心. 8.5个关系式A?B、A∩B=A、A∪B=B、(?UA)?(?UB)、A∩(?UB) =?是两两等价的.

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1.下列命题中,正确命题的个数为(

)

①?={0};②??{0};③M={(1,2)}与N={1,2}表示同一集合;④
若M={y|y=x2+1,x∈R},N={x|x=t2+1,t∈R},则M=N. A.1 C.3 【答案】 【解析】 B {0}表示含有一个元素0的集合,所以①不正确;M= B.2 D.4

{(1,2)}表示含有一个元素(1,2),N={1,2}表示含有两个元素1,2.所以③ 不正确;②和④正确.

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2.已知集合P={x|x2=1},Q={x|mx=1},若Q?P,则实数m的数 值为( )

A.1
C.1或-1 【答案】 D

B.-1
D.0,1或-1

【解析】

P={1,-1},∵Q?P,

∴m=0时,Q=??P,m=〒1时,Q?P.

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3.已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,那么 △ABC一定不是( )

A.锐角三角形
C.钝角三角形 【答案】 D

B.直角三角形
D.等腰三角形

【解析】

集合中元素互不相同.

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4.已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7},A ={2,4,5,7},B={3,4,5},则 (?UA)∪(?UB)等于( )

A.{1,6}
C.{2,3,4,5,7} 【答案】 D

B.{4,5}
D.{1,2,3,6,7}

【解析】

?UA={1,3,6},?UB={1,2,6,7},

∴(?UA)∪(?UB)={1,2,3,6,7}.

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5.(2010·重庆,12)设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2 +mx=0},若 ?UA={1,2},则实数m=________.

【答案】
【解析】

-3
∵?UA={1,2},∴A={0,3},∴0,3是方程x2+mx=0的

两根,∴m=-3.

6.(2010·江苏)设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B=
{3},则实数a的值为________. 【答案】 【解析】 1 因为A∩B={3},当a2+4=3时,a2=-1无意义.

当a+2=3,即a=1时,B={3,5},此时A∩B={3}.故a=1.

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