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2011届高三文科数学试卷(集合与函数)


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2011 届高三文科数学试卷(集合与函数) 届高三文科数学试卷(集合与函数)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 选择题( 1、函数 f ( x) = x + 2 ,则 f ( 2) = [ A. 2 2、下列关系式正确的是[ 下列关系式正确的是[ A. 2 ∈ Q B. 4 ] ] C. 0 D. 2

B. {2} = x x 2 = 2 x

{

}
]

C. {a, b} = {b, a}

{2006} D. Φ ∈

等于[ 3、已知 g ( x + 2) = 2 x + 3 ,则 g (x ) 等于[

A. 2 x + 1 B. 2 x 1 C. 2 x 3 D. 2 x + 7 由下列命题构成的“ 形式的复合命题均为真命题的是[ 4、由下列命题构成的“p 或 q”“p 且 q”形式的复合命题均为真命题的是[ , A. p: a ∈ { a , b , c } , q: { a } { a , b , c } C.p:4+4=9,q:7>4 4+4=9, 5、设 f ( x ) = 3 + 9, 则 f
x 1

]

是质数, B.p:15 是质数,q:8 是 12 的约数 是偶数, D.p:2 是偶数,q:2 不是质数

(x ) 的定义域是[ 的定义域是[

] D. (∞,+∞) ] D. x < 3 ] D. [0,2]

A. (0,+∞)

B. (9,+∞ )

C. (10,+∞)

的一个必要不充分条件是[ 6、设 x ∈ R ,则 x > 2 的一个必要不充分条件是[ A. x > 1 B. x < 1 C. x > 3
2 的值域是[ 7、函数 y = x 4 x + 3, x ∈ [0,3]的值域是[

A. [0,3]

B. [ 1,0]

C. [ 1,3]

8、已知函数 f ( x) = A. 2



x 3, x ≥ 10
B. 4
n

f [ f ( x + 5)], x < 10

,其中 x ∈ N ,则 f (8) = [ C.6 D. 7

]

9、若 x ∈ R , n ∈ N * , 定 义 E x = x ( x + 1)( x + 2 ) ( x + n 1) , 例如: 例如: E4 = ( 4) ( 3) ( 2) ( 1) = 24 则
4

5 f ( x ) = x E x 2 的奇偶性为[ 的奇偶性为[

] D.非奇非偶函数

A.偶函数不是奇函数

B.奇函数不是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

10、 上的增函数, ,B 是其图象上的两点, 10、已知函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,-2) B(3,2)是其图象上的两点,那么 , |f(x+1) 的解集是[ |f(x+1)|<2 的解集是[ ] (1 (((A. 1, 4) ( B. -1,2) ( C. -∞,1)∪[4,+∞) ( D. -∞,-1)∪[2,+∞) ( 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 填空题(
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11、 的取值范围是____ 11、设方程 x mx + 1 = 0 的两根为 α , β ,且 0 < α < 1 , 1 < β < 2 ,则实数 m 的取值范围是____
2

12、 12、设集合 M = ( ∞, m ] , P = { x | x ≥ 1, x ∈ R} ,若 M ∩ P = ,则实数 m 的取值范围是 13、 的定义域为______ 13、已知函数 f ( x) 的定义域为 [0,2] ,则 f ( x 1) 的定义域为______
2



___。 ___。

14、若 y = f (x) 与 y = f 和f
1

1

( x) 是定义在区间 (0,+∞) 上的一对互为反函数,且 f (x) 在 (0,+∞) 上单调递增,则 f 上的一对互为反函数, 上单调递增,
_。

1

(1)

(3) 的大小关系是 __________

密文(加密) ,接收方由密文 明文(解密) ,已知加密规 15、为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 → 密文(加密) 接收方由密文 → 明文(解密) 已知加密规 为确保信息安全,信息需加密传输, , , 例如, 则为: 则为:明文 a, b, c, d 对应密文 a + 2b, 2b + c, 2c + 3d , 4d . 例如, 明文 1, 2,3, 4 对应密文 5, 7,18,16. 当接收方收到密文

14,9, 23, 28 时,则解密得到的明文为
三 解答题(共 76 分) 解答题(



16、 ( 3|< 16、 12 分)已知 U=R,A={ x || x -3|<2 } , B={ x | (A∪ 求 A∩B, C U (A∪B) 。

x2 0}, >0}, x4

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17、 12 分)已知函数 f ( x) = 17、 (

x2 ,x∈R。 1+ x2
1 1 1 。 + ++ f (2) f (3) f (2006)

的值; (1)求 f ( x ) + f ( ) 的值; (2)计算 f (1) + f ( 2) + f (3) + f ( 2006) +

1 x

18、 12分 利用单调函数的定义证明: ( 18、 12分)利用单调函数的定义证明:函数 f ( x ) = x +

3 是减函数。 在区间 (0, 3 ) 上是减函数。 x

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上的偶函数, 19、 ( 19、 12 分)已知 y = f (x ) 是定义在 ( ∞,+∞ ) 上的偶函数,当 x ≥ 0 时, f ( x) = x 2 2 x 3 。 的解析式; (1)用分段函数形式写出 y = f (x ) 的解析式; 的单调区间; (3)写出 y = f (x ) 的单调区间; (2)用对称性画出函数的图象; 用对称性画出函数的图象; (4)求出函数的最值。 求出函数的最值。

20、 ( 张家界市城区有甲 乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同. 市城区有甲, 20、 13 分)张家界市城区有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲家每张球台每 小时5 乙家按月计费, 小时以内( 小时) 小时5元;乙家按月计费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超过 30 小时的部分每张球台每小时 小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动, 小时, 小时。 2 元。小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超过 40 小时。 (1)设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f (x) 元 (15 ≤ x ≤ 40) ,在乙家租一张球台开展活动 x 小时的收费 为 g (x ) 元 (15 ≤ x ≤ 40) .试求 f (x ) 和 g (x ) ; (2)问:小张选择哪家比较合算?为什么? 小张选择哪家比较合算?为什么?

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21、 ( 21、 14 分)设函数 f ( x) = x 2 4 x 5 , 上画出函数 的图像; (1)在区间 [ 2, 6 ] 上画出函数 f (x) 的图像; (2)设集合 A = { x f ( x) ≥ 5 },

B = ( ∞, 2 ] ∪ [ 0, 4 ] ∪ [ 6, + ∞ ) . 试判断集合 A 和 B 之间的关系; 之间的关系;

求证: 图像的上方。 (3)当 k > 2 时,求证:在区间 [ 1, 5 ] 上, y = kx + 3k 的图像位于函数 f (x) 图像的上方。

数学试卷答案 选择题( 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)
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1—10 ACBAB; ACDAB. 填空题( 二、填空题(每题 4 分,共 24 分) 11. 11. ( 2, ) .. 14. 14. f
1

5 2

12. 12. ( ∞,1) .
1

13. 13. [ 3 ,1] ∪ [1, 3 ] .

(1) < f

(3) .

15. 15.4,6,1,7.

16. 16.解: A = {x || x 3 |< 2} = {x |1 < x < 5}

…….. …….. 3 分 7分

B = {x |

x2 > 0} = {x | ( x 2)( x 4) > 0} = {x | x < 2 或 x >4} …… x4

A ∩ B = {x |1 < x < 2 或 4 < x < 5} ….. 10 分
C U (A ∪ B) = Φ
……….. ……….. 13 分

17. 解:(1)原式 = 1; .....6 分( 2)原式 =

1 4011 + 2005 1 = ........13 分。 2 2

证明:设0 < x1 < x 2 < 3 ,.......2分则f ( x1 ) f ( x 2 ) = ( x1 x 2 ) + (
18. 18. = ( x1 x 2 ) +

3 3 ) x1 x 2

x 2 x1 ( x1 x 2 )( x1 x 2 3) = .........7分 ∵ 0 < x1 < x 2 < 3 x1 x 2 x1 x 2

∴ x1 x 2 < 0,0 < x1 x 2 < 3( x1 x 2 3 < 0)........10分 ∴ f ( x1 ) f ( x 2 ) > 0,.........12分 ∴ ................13分.

x 2 2 x 3( x ≥ 0) 19.解 ( (1 ……4 (2)图略……..7 图略…… 19.解: 1) f ( x ) = 2 ……4 分(2)图略……..7 分 x + 2 x 3( x < 0)
(3)减区间是 ( ∞,1],[0,1] ……..10 增区间是 [ 1,0],[1,+∞ ) ……..10 分

(4)最大值是-4,没有最大值。………13 分 最大值是没有最大值。………13 20. (1 …….2 20.解: 1) f ( x ) = 5 x, (15 ≤ x ≤ 40) …….2 分 g ( x ) = (



90, (15 ≤ x ≤ 30)

2 x + 30, (30 < x ≤ 40)

………….4 ………….4 分

( 2) 由 f ( x ) = g ( x ) 得

15 ≤ x ≤ 30 30 < x ≤ 40 或 即 x = 18 或 x = 10 (舍)……..6 分 ……..6 5 x = 90 5 x = 2 x + 30

即选甲家… 当 15 ≤ x < 18 时, f ( x ) g ( x) = 5 x 90 < 0 ,∴ f ( x) < g ( x ) 即选甲家…..8 分 当 x = 18 时,

f ( x) = g ( x) 即选甲家也可以选乙家。…..9 分 即选甲家也可以选乙家。

即选乙家. 当 18 < x ≤ 30 时, f ( x ) g ( x ) = 5 x 90 > 0 ,∴ f ( x ) > g ( x ) 即选乙家. 当 30 < x ≤ 40 时, f ( x ) g ( x ) = 5 x ( 2 x + 30) = 3 x 30 > 0 , 即选乙家. 综上所述: 选甲家; 选甲家也可以选乙家; ∴ f ( x ) > g ( x ) 即选乙家. …..11 分,综上所述:当 15 ≤ x < 18 时,选甲家;当 x = 18 时,选甲家也可以选乙家;当

18 < x ≤ 40 时,选乙家……12 分 选乙家…… ……12
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21 . [ 解 ]

( 1)

……3 分 ……3 (2)方程 f ( x) = 5 的解分别是 2 14 , 0,

4 和 2 + 14 ,由于 f ( x) 在 ( ∞, 1 ] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减,在 [ 1, 2 ] 和 上单调递减,

[ 5, + ∞ ) 上单调递增,因此 上单调递增,

A = ∞, 2 14 ∪ [ 0, 4 ] ∪ 2 + 14 , + ∞ 。
由于 2 + 14 < 6,

(

]

[

)

……5 ……5 分 ……6 ……6 分

2 14 > 2, ∴ B A 。

(3)[解法一] 当 x ∈ [ 1, 5 ] 时, f ( x) = x 2 + 4 x + 5 . g ( x) = k ( x + 3) ( x 2 + 4 x + 5) 解法一]

= x + (k 4) x + (3k 5)
2

4k k 2 20k + 36 =x , ∵ k > 2, ∴ 2 4

2

4k < 1 . 又 1 ≤ x ≤ 5 , ……8 分 ……8 2



当 1≤

4k 4k < 1 ,即 2 < k ≤ 6 时,取 x = , 2 2

g ( x) min =

k 2 20k + 36 1 2 = (k 10) 64 。 4 4
……10 ……10 分

[

]

∵ 16 ≤ (k 10) 2 < 64, ∴ (k 10) 2 64 < 0 , 则 g ( x) min > 0 .
② 当

4k < 1 ,即 k > 6 时,取 x = 1 , g (x) min = 2k > 0 . 2 可知, 由 ①、②可知,当 k > 2 时, g ( x) > 0 , x ∈ [ 1, 5 ] 。 因此, 图像的上方。 ……12 因此,在区间 [ 1, 5 ] 上, y = k ( x + 3) 的图像位于函数 f (x) 图像的上方。 ……12 分

[解法二] 当 x ∈ [ 1, 5 ] 时, f ( x) = x 2 + 4 x + 5 . 解法二]

y = k ( x + 3), 由 得 x 2 + (k 4) x + (3k 5) = 0 , y = x 2 + 4 x + 5,
……8 令 = (k 4) 2 4(3k 5) = 0 ,解得 k = 2 或 k = 18 , ……8 分 在区间 [ 1, 5 ] 上,当 k = 2 时, y = 2( x + 3) 的图像与函数 f (x) 的图像只交于一点 ( 1, 8 ) ; 当 k = 18 时, y = 18( x + 3) 的图像没有交点。 ……10 的图像与函数 f (x) 的图像没有交点。 ……10 分 如图可知, 如图可知,由于直线 y = k ( x + 3) 过点 ( 3, 0 ) ,当 k > 2 时,直线 y = k ( x + 3) 是由直线 y = 2( x + 3) 绕点 ( 3, 0 ) 逆时 针方向旋转得到. 因此, 图像的上方。 ……12 ……12 分 针方向旋转得到. 因此,在区间 [ 1, 5 ] 上, y = k ( x + 3) 的图像位于函数 f (x) 图像的上方。

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