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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-1)课时作业 2.4.2.2抛物线方程及性质的应用]


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课时提升作业(十九)
抛物线方程及性质的应用

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014·安阳高二检测)过点(-1,0)且与抛物线 y2=x 有且仅

有一个公共点的直 线有( A.1 条 ) B.2 条 C.3 条 D.4 条

【解析】选 C.点(-1,0)在抛物线 y2=x 的外部,故过(-1,0)且与其有且仅有一个 公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为 x 轴. 【举一反三】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与 y2=x 只有一个公共点 的直线有( A.1 条 ) B.2 条 C.3 条 D.4 条

【解析】 选 B.因为点(1,1)在抛物线 y2=x 上,所以作与 y2=x 只有一个公共点的直 线有两条,其中一条为切线,一条为平行于 x 轴的直线. 2.(2014·桂林高二检测)设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为抛物线上不同的 三点,点 F 是△ABC 的重心,O 为坐标原点,△OFA,△OFB,△OFC 的面积分别为 S1,S2,S3,则 A.9 + + =( ) C.3 D.2

B.6

【解析】选 C.A,B,C 在抛物线上, 所以设 A 所以 y1+y2+y3=0, 所以 所以 + + + + =12, = 〓1〓( + + )=3. ,B ,C =1, ,抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),

3.(2014· 莆田高二检测)若抛物线 y2=x 上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+b 对称,且 y1y2=-1,则实数 b 的值为( A.-3 B.3 C.2 ) D.-2

【解析】选 D.因为 A,B 关于直线 y=x+b 对称,故 kAB=-1, 设 AB 的方程为 y=-x+t,与 y2=x 联立, 消去 x 得 y2+y-t=0, 所以 y1+y2=-1,y1·y2=-t=-1, 所以 t=1,得 x1+x2=3. 由 AB 的中点在直线 y=x+b 上, 所以 = +b,

即- = +b,得 b=-2. 4.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为( A.y=x-1 或 y=-x+1 B.y= C.y= D.y= (x-1)或 y=(x-1)或 y=(x-1)或 y=(x-1) (x-1) (x-1) )

【解析】选 C.由题意,可设|BF|=x,则|AF|=3x,设直线 l 与抛物线的准线相交于 点 M,则由抛物线的定义可知: 60°或 120°,即直线 l 的斜率为〒 = ,所以|MB|=2x,所以直线 l 的倾斜角为 ,故选 C.

【一题多解】选 C. 抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 (1,0), 准线方程为 x=-1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 因 为 |AF|=3|BF|, 所 以 x1+1=3(x2+1), 所 以 x1=3x2+2. 因 为 |y1|=3|y2|,x1=9x2,所以 x1=3,x2= ,当 x1=3 时, 若 y1=2 y1=-2 ,则 A(3,2 ,则 A(3,-2 ),B ),B =12,所以此时 y1=〒 ,直线方程为 y= ,直线方程为 y==〒2 ,

,此时 kAB= ,此时 kAB=-

(x-1).若 (x-1).

5.已知抛物线 y2=2px(p>0),过焦点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若 线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 )

【解析】选 B.设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则线段 AB 的中点为 所以 =2, ,

因为 A,B 在抛物线 y2=2px 上, 所以 ①-②得 所以 kAB= =2p(x1-x2), = = ,

因为 kAB=1,所以 p=2, 所以抛物线方程为 y2=4x, 所以准线的方程为 x=-1.

【拓展延伸】 “中点弦”处理方法 当涉及弦中点的坐标、弦所在直线斜率之间的关系时 ,可以“设而不求”,采用 平方差法. (1)代端点.把弦的两端点坐标(x1,y1),(x2,y2)代入圆锥曲线方程. (2)“平方差”.将两方程作差,利用平方差公式. (3)得斜率.把 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0(中点坐标(x0,y0))代入可得 率. (4)求结论.由点斜式求直线方程或代入转化求其他. 6.(2014· 成都高二检测)已知抛物线 C 的方程为 x2= y,过点 A(0,-1)和点 B(t,3) 的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是( A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B. C.(-∞,-2 D.(-∞,∪ )∪(2 )∪( ,+∞) ,+∞) ) ,即直线的斜

【解析】选 D.据已知可得直线 AB 的方程为 y= x-1, 联立直线与抛物线方程,得

消元整理,得 2x2- x+1=0, 由于直线与抛物线无公共点, 即方程 2x2- x+1=0 无解, 故有Δ= -8<0,解得 t> 或 t<.

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014·北京高二检测)已知直线 l:y=kx+1 与抛物线 C:y2=x,则“k≠0”是“直 线 l 与抛物线 C 有两个不同交点”的 【解析】直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点, 即方程组 有两组不同的实数解, 条件.

等价于方程 k2x2+(2k-1)x+1=0 有两个不同的实根, 由 得 k< 且 k≠0,故是必要而不充分条件. 答案:必要而不充分 8.(2014·广州高二检测)设 A,B 是抛物线 y=- x2 上的两个动点,且|AB|=6,则 AB 的中点 M 到 x 轴的距离的最小值为 .

【解析】当线段 AB 过抛物线的焦点时,AB 的中点 M 到 x 轴的距离最小. 因为|AB|=6,结合抛物线的定义知,A,B 两点到准线的距离之和为 6, 所以中点 M 到准线的距离为 3, 另抛物线 y=- x2 化为 x2=-4y, 其准线为 y=1, 则 AB 的中点 M 到 x 轴的距离为 2. 答案:2 【变式训练】(2014·吉林高二检测)设 AB 为抛物线 y2=x 上的动弦,且|AB|=2, 则弦 AB 的中点 M 到 y 轴的最小距离为( A.2 B. C.1 ) D.

【解析】选 B.设弦的端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 的中点 M 到 y 轴的距离最 短,则弦 AB 过焦点,所以 x1+ +x2+ =2,所以弦 AB 的中点 M 到 y 轴的最小距离为 - = . 9.(2014·长春高二检测)抛物线焦点在 y 轴上,截得直线 y= x+1 的弦长为 5,则 抛物线的标准方程为 【解析】设抛物线方程为 x2=my, 联立抛物线方程与直线 y= x+1 方程并消元,得: 2x2-mx-2m=0, 所以 x1+x2= ,x1x2=-m, 所以 5= , .

把 x1+x2= ,x1x2=-m 代入解得 m=4 或-20, 所以抛物线的标准方程为 x2=4y 或 x2=-20y. 答案:x2=4y 或 x2=-20y 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.(2014·长沙高二检测)已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物 线过点 M(4,-4), (1)求抛物线的方程. (2)过抛物线焦点 F 的直线 l 与抛物线交于不同的两点 A,B,若|AB|=8,求直线 l 的方程. 【解析】(1)由已知可设所求抛物线的方程为 y2=2px(p>0),而点 M(4,-4)在抛物 线上,

则(-4)2=8p,所以 p=2, 故所求抛物线方程为 y2=4x. (2)由(1)知 F(1,0), 若直线 l 垂直于 x 轴, 则 A(1,2),B(1,-2), 此时|AB|=4,与题设不符; 若直线 l 与 x 轴不垂直, 可设直线 l 的方程为 y=k(x-1), 再设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 于是 则|AB|= = 令 = =8,解得 k=〒1, , ? k2x2-2(k2+2)x+k2=0,

从而,所求直线 l 的方程为 y=〒(x-1). 11.(2013·福建高考)如图,抛物线 E:y2=4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A.点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心, 作圆,设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M,N. (1)若点 C 的纵坐标为 2,求 (2)若 = · . 为半径

,求圆 C 的半径.

【解题指南】(1)利用垂径定理求圆的弦长 MN.

(2)先设 C 的坐标,写出圆方程,联立方程,然后结合已知条件列式求解. 【解析】(1)抛物线 y2=4x 的准线 l 的方程为 x=-1, 由点 C 的纵坐标为 2,得点 C 的坐标为(1,2), 所以点 C 到准线 l 的距离 d=2,又|CO|= 所以|MN|=2 (2) 设 C x2- x+y2-2y0y=0. 由 x=-1,得 y2-2y0y+1+ =0, 设 M(-1,y1),N(-1,y2),则: =2 =2. +(y-y0)2= + ,即 .

,则圆 C 的方程为

由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4, 所以 +1=4, 解得 y0=〒 ,此时Δ>0, 或 ,即圆 C 的半径为 , .

所以圆心 C 的坐标为 从而|CO|2= ,|CO|=

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 F 的直线 l 与该抛物线交于 A,B 两点,直线 l 与该抛物线的准线交于点 C,且点 F 为 AC 的中点,则|AB|等于( )

A.

B.

C.4

D.2

【解析】 选 B.如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为 F(1,0)为 AC 的中点,所以有 2=x1-1 得 x1=3,则直线 l 的方程可写为 y= ? 3x2-10x+3=0. 由根与系数的关系得, |AB|=x1+x2+p= +2= . 2.过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A,B 两点,它们的横坐标之 和等于 5,则这样的直线( A.有且仅有一条 C.有无穷多条 ) B.有且仅有两条 D.不存在 x,联立

【解析】选 B.设过焦点的直线为 y=k(x-1)[因焦点坐标为(1,0),故 k 不存在 时,A,B 横坐标均为 1,和为 2,不合题意],设 A(x1,y1),B(x2,y2), ? k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 其中 k≠0,否则只有一个交点,x1+x2= 即 2+ =5,解得 k=〒 , =5,

故这样的直线有且仅有两条. 3.(2013· 大纲版全国卷)已知抛物线 C:y2=8x 与点 M 为 k 的直线与 C 交于 A,B 两点,若 A. B. C. · =0,则 k=( D.2 ,过 C 的焦点,且斜率 )

【解题指南】先求出抛物线的焦点,列出过焦点的直线方程,与抛物线联立,化简 成关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系代入求解.

【 解 析 】 选 D. 由 题 意 知 , 直 线 AB 的 方 程 为 y=k(x-2), 将 其 代 入 到 y2=8x 得,k2x2-4(k2+2)x+4k2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= ,x1x2=4.①

又 y1+y2=k(x1+x2)-4k,② y1y2=k2[x1x2-2(x1+x2)+4].③ 因为 · =0,

所以(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=0, 即 x1x2+2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0.④ 由①②③④得,k=2. 4.(2014·杭州高二检测)如图,已知抛物线的方程为 x2=2py(p>0),过点 A(0,-1) 作直线 l 与抛物线相交于 P,Q 两点,点 B 的坐标为(0,1),连接 BP,BQ,设 QB,BP 与 x 轴分别相交于 M,N 两点.如果 QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为-3,则∠MBN 的大 小等于( )

A.

B.

C. ,Q 点坐标为

D. ,

【解析】选 D.设 P 点坐标为 因为 A,P,Q 三点共线,所以 kPA=kQA,



=

,

所以 = =

-

=

-

=0,

因为 xP≠xQ,所以 xPxQ-2p=0.

又 kPB+kQB= = =

+

=0, ,kBQ=,

又 kBP·kBQ=-3,得 kBP= 所以∠BNM=∠BMN= , 故∠MBN= .

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2013· 浙江高考)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物 线 C 于 A,B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点,若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于 .

【解题指南】由抛物线方程可知 F 的坐标,再利用待定系数法表示 A,B 两点的坐 标,根据|FQ|=2 求解.

【解析】设直线 l:y=k(x+1),由 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=则 x0=,y0=k(x0+1)= ,

消去 y 得,k2x2+(2k2-4)x+k2=0, ,x1·x2=1,设 AB 的中点 Q(x0,y0),

因为|FQ|=2,F(1,0), 所以 所以 k2=1,k=〒1. 答案:〒1 6.(2014· 北京高二检测)过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直 线与抛物线分别交于 A,B 两点(点 A 在 x 轴上方),则 【解析】记|AF|=a,|BF|=b,准线为 l, 分别过 A,B 作 AA1⊥l,BB1⊥l, 则|AA1|=|AF|=a,|BB1|=|BF|=b, 再过 B 作 BM⊥AA1 于 M. 在 Rt△BMA 中,∠ABM=30°,AM=a-b,AB=a+b, 于是 a+b=2(a-b),a=3b, 故所求为 3. 答案:3 【一题多解】 ? = . + =4,

A

,B

,F

.

|AF|=2p,|BF|= ,故所求为 3. 答案:3 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.(2014·重庆高二检测)在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点,圆 Q 过 O 点与 F 点,且圆心 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 . (1)求抛物线 C 的方程. (2)过 F 作倾斜角为 60°的直线 l,交曲线 C 于 A,B 两点,求△OAB 的面积. 【解析】(1)由 F ,

所以圆心 Q 在线段 OF 的垂直平分线 x= 上, 又因为准线方程为 x=- , 所以 = ,得 p=2,

所以抛物线 C:y2=4x. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 所以 y1+y2= 得 y2,y1y2=-4, = · = . y-4=0.

所以 S△OAB= 〓|OF|〓|y2-y1|= 〓1〓

【变式训练】(2014·大同高二检测)已知抛物线 C:y2=2px,点 P(-1,0)是其准线 与 x 轴的交点,过 P 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点. (1)当线段 AB 的中点在直线 x=7 上时,求直线 l 的方程. (2)设 F 为抛物线 C 的焦点,当 A 为线段 PB 中点时,求△FAB 的面积.

【解析】(1)因为抛物线的准线为 x=-1,所以 p=2, 抛物线方程为 y2=4x, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 y=k(x+1), (依题意 k 存在,且 k≠0)与抛物线方程联立, 消去 y 得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0(*) x1+x2= ,x1x2=1.

所以 AB 中点的横坐标为 即

,

=7,所以 k2= (此时(*)式判别式大于零),所以直线 l 的方程为

y=〒 (x+1). (2)因为 A 为线段 PB 中点, 所以 =x1, =y1,

由 A,B 为抛物线上的点, 得 =4〓 , , ; , . =4x2,

解得 x2=2,y2=〒2 当 y2=2 当 y2=-2 时,y1= 时,y1=-

所以△FAB 的面积 S△FAB=S△PFB-S△PFA= |PF|·|y2-y1|=

8.(2014· 天水高二检测)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线与

抛物线交于 A,B 两点. (1)若 p=2,求线段 AF 中点 M 的轨迹方程. (2)若直线 AB 的方向向量为 n=(1,2),当焦点为 F 时,求△OAB 的面积.

(3)若 M 是抛物线 C 准线上的点,求证:直线 MA,MF,MB 的斜率成等差数列. 【解析】(1)设 A(x0,y0),M(x,y),焦点 F(1,0), 则由题意 即

所求的轨迹方程为 4y2=4(2x-1), 即 y2=2x-1. (2)y2=2x,F 直线 y=2 由 得 y2-y-1=0, |AB|= S△OAB= d|AB|= |y1-y2|= ,d= . , , =2x-1,

(3)显然直线 MA,MB,MF 的斜率都存在,分别设为 k1,k2,k3, 点 A,B,M 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),M 设直线 AB:x=my+ , 代入抛物线得 y2-2mpy-p2=0, 所以 y1y2=-p2, 又 =2px1, =2px2, ,

因而 x1+ = + = ( x2+ = + = + =

+p2), ( +p2),

因而 k1+k2= 而 k3=

+ =- ,

=

+

=-

,

故 k1+k2=2k3.

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