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1.3.1函数的单调性


必修一 1.3.1

函数的单调性

1. 创设直观情境
问题1 如图为某日24小时内的气温变化图.观察这 张气温变化图:

思考:这天该地气温是如何变化的?

问题2

观察函数f(x)=x2的图象,回答下面几个问题

(1)该函数的图象在哪个区

间上是

下降的,在哪个区间上是上升的?
(2)怎样用二次函数f(x)=x2图象中 的点的坐标变化情况来描述图象的升 降情况?

… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … x y=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …

2.构建概念
在区间D上,若随着自变量的增大函数值 也增大,则称函数在区间D上是增函数; 在区间D上,若随着自变量的增大函数值 减少,则称函数在区间D上是减函数.

问题2

观察函数f(x)=x2的图象,回答下面几个问题

(3)在区间(-2,+∞)上,令x1 =-1,x2=2, 比较f(x1)与f(x2)的大小.并判断在区间 (-2,+∞)上,f(x)是否随x的增大而增大. 若没有,举例说明.

问题2

观察函数f(x)=x2的图象,回答下面几个问题

(4)在函数f(x)=x2中,如何用不同点 的坐标来刻画“在区间[0,+∞)上, f(x)随x的增大而增大”这一特征?

对函数f(x)= x2,在区间[0,+∞)上,任取 x1 ,x2 ,当 x1<x2时,都有f(x1) <f(x2) ,这 时称函数f(x)=x2在区间[0,+∞)上是增函数.

问题2

观察函数f(x)=x2的图象,回答下面几个问题

(5)在函数f(x)=x2中,如何用不同点 的坐标来刻画“在区间(-∞,0]上, f(x)随x的增大而减小”这一特征?

同样地,在区间(-∞,0]上,任取x1 ,x2 , 当 x1<x2时,都有f(x1)> f(x2) ,这时称函数 f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数.

增函数 定 义

减函数

一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义 域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2

当x1<x2时,都有
定 义 f(x1)<f(x2) ,那 么就说函数f(x)在区

当x1<x2时,都有
,那 f(x1)>f(x2) 么就说函数f(x)在区

间D上是增函数

间D上是减函数

图 象 描 述

上 升
自左向右看图象是

下 降
自左向右看图象是





3.设置典例

巩固知识

例1 说出气温图中的单调区间,以及在每个单调区 间上,它是增函数还是减函数.

单调减区间: 单调区间: [0,4],[14,24] 减函数

单调区间: 单调增区间:

(4,14)

增函数

例2 我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大, 试用函数的单调性证明之.
证明:在区间(0,+∞)上任意取两个值 V1 , V2 且 V1 ? V2 , 则

k p ? 物理学中的玻意耳定理 V (k 为正常数)告诉

∵ V1 ? V2 ? 0 ∴ V2 ? V1 ? 0, VV 1 2 ?0 ∴ p(V1 ) ? p(V2 ) ? 0, 即 p(V1 ) ? p(V2 ).

V2 ? V1 k k p(V1 ) ? p(V2 ) ? ? ?k V1 V2 V1V2

取值 作差变形 定号



k p ? ( k ? 0) 在区间(0,-∞)上是减函数. V

判断

1 变式:(1)证明:函数 f(x)=x+x在(0,1)上是减函数. (2)证明:函数 f(x)=x3+x 在 R 上是增函数. 注:a3-b3=(a-b)· (a2+ab+b2) 【思路点拨】 证明的关键是作差变形,尽量变形成 几个最简单的因式的乘积的形式.

【证明】 (1)任取 0<x1<x2<1,则
? 1? ? 1? f(x1)-f(x2)=?x1+x ?-?x2+x ? ? ? 1? 2?

x2-x1 ?1 1? =(x1-x2)+?x -x ?=(x1-x2)+ x x ? 1 2? 1 2
? 1 ? ?x1-x2??x1x2-1? =(x1-x2)?1-x x ?= . x x ? ? 1 2 1 2

∵0<x1<x2<1,∴x1-x2<0,0<x1x2<1,∴x1x2-1<0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 1 ∴f(x)=x+x在(0,1)上是减函数.

(2)任取 x1<x2,则
3 3 3 f(x1)-f(x2)=(x3 1+x1)-(x2+x2)=(x1-x2)+(x1-x2) 2 =(x1-x2)(x2 1+x1x2+x2)+(x1-x2)

?? ? x2?2 3 2 2 2 =(x1-x2)(x1+x1x2+x2+1)=(x1-x2)??x1+ 2 ? + x2+1?. ?? ?

4

?

∵x1<x2, ∴x1-x2<0.



? x2?2 3 2 ?x1+ ? + x2+1>0, 2? 4 ?

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)=x3+x 在 R 上是增函数.

4.拓展提高

学以致用

1 思考:画出反比例函数 f ( x) ? 的图象. x
(1)该函数的定义域是什么? (2)它在定义域上的的单调性是怎样的?

(1)定义域为:x ? ? ??,0? ? ? 0, ??? (2)减区间为:x ? ? ??,0?, ?0, ???

5.回顾反思 深化认知
1、函数的单调性的定义. 2、判断、证明函数的单调性方法.

6.课堂小练
(1) 完成下表
y ? k x

函 数

y=kx+b (k ≠0)

y=ax2+bx+c (a≠0)

(k≠0)

k>0
图 象 单调区间 单调性

k<0

a>0

a<0

k>0

k<0

(2).设函数f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 在R上是严格单调减函数,则有( D ) 1 1 1 1 A.a ?    B a . ?     C.a>     D a< . 2 2 2 2

解析:直线y=kx+b在k<0时,单调递减.
∴2a-1<0,即a<
1 2

1,+∞) (3).函数 y ? 3x2 ? 6 x ? 1的单调增区间是( ___________.

(4) 函数y=x2+bx+c 在(-∞,1]上是减函数,求 字母b的取值范围.
b? ? y ? x ? bx ? c的单调递减区间为 x ? ? ??, ? ? 2? ? b? ? 则: ? ??,1? ? ? ??, ? ? 2? ? b 所以,1 ? ? 即b ? ?2 2
2

(5) 函数y=x2+bx+c 在[1,4]上是单调函数, 求字母b的取值范围. (1)若函数在区间?1, 4 ? 单调递减,则
b? ? y ? x 2 ? bx ? c的单调递减区间为 x ? ? ??, ? ? 2? ? b? b ? 则: 1, 4 ? ?? , ? 所以, 4 ? ? 即b ? ?8 ? ? ? ? 2? 2 ? (2)若函数在区间?1, 4 ? 单调递增,则 ? b ? y ? x 2 ? bx ? c的单调递增区间为 x ? ? - , ?? ? ? 2 ? b ? b ? 则: 1, 4 ? , ?? 所以, 1 ? ? 即b ? ?2 ? ? ? ? 2 ? 2 ?

所以,b ? ? ??, ?8? ? ??2, ???


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