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《一元二次方程根的判别式》教学设计承德高新区上板城初中孙继广


《一元二次方程根的判别式》教学设计
承德高新区上板城初中 孙继广 一、教学内容分析 通过这一节的学习,培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的 能力,以及逻辑思维能力、推理论证能力,并向学生渗透分类的数学 思想,渗透数学的简洁美。 教学重点:根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 教学难点:根的判别式定理及逆定理的运用。 教学关键:对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻

理解。 二、教学目标 依据教学大纲和对教材的分析,以及结合学生已有的知识基础, 本节课的教学目标是: 知识和技能: 1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程; 2、 能运用根的判别式, 判别方程根的情况和进行有关的推理论证; 3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围; 过程和方法: 1、培养学生的探索、创新精神; 2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。 情感态度价值观: 1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美; 2、加深师生间的交流,增进师生的情感; 3、培养学生的协作精神。 四、教学策略: 本着“以学生发展为本”的教育理念, 同时也为了使学生都能积极 地参与到课堂教学中, 发挥学生的主观能动性, 本节课主要采用了引 导发现、讲练结合的教学方法,按照“实践——认识——实践”的认 知规律设计, 以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的 时间,从而有效地调动了学生学习数学的积极性。具体如下: 序号 1 教师 设置悬念 引发兴趣 学生 争先恐后,欲解疑团

1

2 3 4 5 6 7 8

设计练习,创设情境 启发引导,发现结论 引导学生,理论验证 揭示定理内涵 应用定理,解决问题 归纳小结 布置作业

动手解题,亲身感知 观察分析、得出结论 阅读理解,自学教材 加深认识理解 巩固应用,形成技能 整体把握 巩固提高

五、教学流程: <一>、设置悬念,引发兴趣: 【说明】 这样设计, 【教师】 :同学们,我们已经学会了怎么解一元二 能马上激发学生的 次方程, 对吗?那么, 现在章老师这儿还有一手绝活, 学 习 兴 趣 和 求 知 就是:我随便拿到一个一元二次方程的题目,我不用 欲,为后面发现结 具体地去解它,就能很快知道它的根的大致情况,不 论创造一个最佳的 信呀!同学们可以随便地出两个题考考我。 心理状态。 【学生】会争先恐后地编题考老师。 <二>设置练习,创设情境。 【教师】 你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧? 那么好,现在就请同学们用公式法解,以下三个一元 二次方程;你们会很快发现我的奥秘。 用公式法解一元二次方程(用投影仪打出) 2 2 2 【说明】 这样设计, 使学生亲身感知一 元二次方程根的情 况,培养了学生的 探索精神,变“老 师教” 为 “自己钻” , 从而发挥了学生的 主观能动性。

?1? x

? 3x ? 2 ? 0

? 2? 9 x

? 6x ? 1 ? 0

?3? x

? 2x ? 3 ? 0

(注:找三名学生板演,其余学生在位上做) 【学生】都在积极解答,寻找其中的奥秘。

<三>启发引导,发现结论: 【教师】请同学们观察这三个方程的解题过程,可以 : 这样设计 发现:在把系数代入求根公式之前,每题都是先确定 【说明】 2 是为了让学生 了 a、b、c 的值,然后求出它的值—— b ? 4ac ,为什 (1)
2

么要这样做呢? 【学生】会初步说出 b2 ? 4ac 的作用是:它能决定方 程是否可解。 【教师】 (1)由此可见:在解 一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0?时,代数式b2 ? 4ac 起 着 b2 ? 4ac 的值的符号来 重要的作用, 显然我们可以根据 2 判断 一元二次方程ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的根的情况,因 此,我们把 b2 ? 4ac 叫做一元二次方程的根的判别 式,通常用符号“△(读作 delta,它是希腊字母)” 来表示,即△= b2 ? 4ac 。我们说在今后的数学学习中 还会遇到: 用一个简单的符号来表示一个数学式子的 情况,同学们要逐渐适应这一点,它体现了数学的简 洁美。

明白: b2 ? 4ac 的值 的符号在解一元二 次方程中所起的重 要作用,从而很自 然地引出了根的判 别式概念。 ( 2)是 为了培养学生从具 体到抽象的观察、 分析与概括能力并 使学生从感性认识 上升到理性认识, 真正体验自己发现 结论的成功乐趣。

? 2?

注意:△ ? b 2 ? 4ac 而应为:△=b 2 ? 4ac

(3)通过解这三个方程,同学们可以发现一元二次 方程根的情 况有哪几种,谁能总结出来? 【学生】由于前面作了铺垫,所以学生很快可以答出 结论。 <四>引导学生,理论验证: 【教师】一元二次方程根的情况果真有三种 吗? 请同学们认真阅读课本 P39 的内容,书上从理 论方面给我们做了很好的解释。 【学生】带着老师提出的问题,会很认真地去 看书,寻找答案。

【说明】这样设计 是为了培养学生思 维的严谨性,养成 严格论证问题的习 惯以及自学能力的 培养。

3

<五>揭示定理: 【教师】 (1)由此我们就得出了关于

是为了培养学生学 若△>0 则方程有两个不相等的实数根 若△ =0 则方程有两个相等的实数根 会如何用数学语言 若△<0 则方程没有实数根 (2)我们说:这个定理的逆命题也成立,即有如下 来 阐 述 发 现 的 结 的逆定理: 在一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0?中,△=b2 ? 4ac 论,如何将感性认 若方程有两个不相等的实数根,则△>0 识上升到理性认 若方程有两个相等的实数根, 则△=0 若方程没有实数根, 则△<0 识,以及加深学生 (3)定理与逆定理的用途不同 定理的用途是:在不解方程的情况下,根据△ 对 两 个 定 理 的 认 值的符号,用定理来判断方程根的情况。 逆定理的用途是:在已知方程根的情况下,用逆 识,为定理及逆定 定理来确定△值的符号, 进而可求出系数中某些字母 理的正确运用做好 的取值范围。 (4)注意运用定理和逆定理时,必须把所给的方程 铺垫。 化成一般形式后方可使用。

一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0?的根的判别式定理: 在一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0?中,△=b2 ? 4ac

【说明】这样设计

重中之重

4

<六>应用定理,解决问题: 【教师】下面我们就来学习两个定理的应用。 例 1:不解方程判别下列方程根的情况(用投影 ?1? 2 x2 ? 3x ? 4 ? 0 ? 2 ?16 y 2 ? 9 ? 24 y 学以致 用 仪打出) 2 2 2

? 3? 5 ? x

? 1? ? 7 x ? 0

? 4? x

? 2 2k x ? k ? 0

分析;要判别方程根的情况,根据定理可知; 就是要确定△值的符号, (4)补充了一个含有字母系数的方程,补充此 题的目的是: 使学生进一步地掌握此类题中△值的符 【说明】以上例题 号的判断方法, 也为今后解综合性问 题打好基础。在练习中作了相应地补充。 的设计,主要是为 例2:求证关于x的方程 ? m2 ? 1? x 2 ? 2mx ? ? m 2 ? 4 ? ? 0
没有实数根

分析:我先提出两个问题: (1)是谁决定了方程有无实数根? 知识运用迁移及巩 (2)现在要证方程无实数根,只要证明什么就 行了? 固的机会,同时也 例 2 是补充的一个用定理证明的题目, 它含有 字母系数,它的证明实际与例 1 的第(4)的解法类 为了吸引和调动全 似,但学生易于出错,往往错用逆定理来证。 注意;例 1,例 2 之后我设计了一个小结: (1) 班同学参与到积极 关于运用根的判别式定理来判断: 含有字母系数的一 元二次方程根的情况的一般步骤以及关于△变形的 动脑,各抒己见的 一些经验,从而使学生真正搞清搞透。 小结(1)关于运用根的判别式定理来判断:含有字 活跃气氛中来,并 母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是: ①把方程化为一般形式,确定 a、b、c 的值,计算△; 培 养 学 生 分 析 问 ②用配方法等将△变形,使之符号明朗化后,判断△ 题,解决问题的能 的符号。 ③根据根的判别式定理,写出结论。 (2)注意关于△的变形;一般情况下,△由配方或 力。 因 式 2 分 2解 后 能 2 变 形 成 2 2 2 2 2
a ?a a ?2 ? ? a ? 2?

了给学生创造一个

?a

? 2?

? ? a ? 2?

等形式;那么△的符号就明朗了,即可判断其符号。 学生练习; 不解方程,判别下列方程根的情况 ?1?16 x 2 ? 8 x ? -3 ? 2? 9 x2 ? 6 x ?1 ? 0
2 3? 2 x ?0 4 x 2 ? 7 x ? 18 ? 0 2 9x ? 8 ?5 ? 1? x 2 ? 2mx ? 1 ??0 ? ? ? ? 2m?

5

注意: 做以上练习时, 学生板演, 其余学生在位上做; 板演后如果发现有错或有其他解法, 下面同学可主动 上去纠正或写出自己的不同解法,然后教师进行讲 评。从而调动学生的参与意识。
思考题:已知关于x的方程x 2 ? 2 ? a ? 1? x ? ? a 2 ? 4a ? 5 ? ? 0 当a取何正整数时,方程有实数根?

分析:要解决这个问题,应先假设方程有实根,然后 根据根的判别式的逆定理,得出△≥ 0 ,再由△≥0 解这个不等式,从而求出 a 的取值范围,进而得出 a 的正整数解。 注意:本思考题是我补充的一个用逆定理来解决的 问题,以巩固逆定理的运用方法,本题让学生自己分 析, 教师只帮助学生理清思路, 最后让学生自己完成。

6

<七>归纳小结 【教师】 (1)今天我们是在一元二次方程解法的基础 上,学习了根的判别式的应用,它在整个中学数学中 占有重要地位,是中考命题的重要知识点,所以必须 【说明】这样设计 牢固掌握好它。 (2)注意根的判别式定理与逆定理的使用区别:一 是为了使学生系统 般当已知△值的符号时,使用定理;当已知方程根的 地了解和掌握本节 情况时,使用逆定理。 2 2

?3? 一元二次方程ax

? bx ? c ? 0 ? a ? 0? ?△=b ? 4ac ?

课的内容,与前后 判 别 根 的 情 况 式 的 在教材中的地位, 情况 △ > 0 △ = x1、 2= 0 △ < 0
△<0 ? 方程没有实数根 b2 ? 4ac无意义、x1、x2不存在
x1、 2= ?b ? b 2 ? 4ac 2a

定 理 与 逆 定 理 知识的联系以及它

△>0 ? 方程有两个 不相等的实数根

能起到提纲挈领的 作用。

?b ? 0 ? b = 2a 2a

△=0 ? 方程有 两个相等的实数根

7

<八>布置作业: 【说明】这样设计 1、阅读课本 P39 的内容; 2、不解方程判定下列方程根的情况: 是为了使学生能及 时巩固本节课所学
3 ?0 4

?1? x 2 ? 10 x ? 26 ? 0 ? 5? x 2
- 3x ? 1 ?0 4

? 3? 3 x 2 ? 6 x ? 5 ? 0 ?6? 4 x2 ? 6 x 1 ?0 16

? 4 ? 4 x2 ? x ?

知识,培养学生自 觉学习的习惯,同 时对学有余力的学 生留出自由的发展 空间。

? 7 ? x( x ? 4) ? 5 ? 8 x

4、已知方程x 2 ? 2 x ? n ? 1 ? 0没有实数根 求证:x 2 ? bnx ? 1 ? 2n一定有两个不相等的实数根

注 (第 3、4 题供学有余力的学生做)

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