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对一道竞赛题及其解法的商榷


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数学教学研究

第33卷第6期2014年6月

对一道竞赛题及其解法的商榷
邹生书
(湖北省阳新县高级中学435200)

题目

如图1,在梯形

咒z一7,ly=0,

ABCD中,B,D关于对角
线AC对称的点分别是 B7,D,,A,C关于对角线 BD对称的点分别是A7, C,,证明:四边形A787C7D7 是梯形. 这是2013年5月,江苏举行的全国高中 数学联赛江苏赛区初赛测试卷(高二学生参 加)的第12题,本题涉及轴对称和梯形两个 数学概念,本题看似简单,动起手来却并不容
图1

设点A关于直线BD的对称点A 7(p,q),则

易,文[13指出东台市约2500人参赛,阅卷后
经统计发现:(1)约60%的考生试卷空白; (2)约35%的考生运用综合法,但完全正确 的人数只有27人,约占总数的1%,(3)约 5%的考生运用解析法,但无一人正确! I对文[1]解法的商榷

解得夕=笫州=等口, 即A7\(万’712再--n2口,孺2mn口). c7\mmz。_+n行z-6'羔6).
同理 从而

j寿一詈’ 卜字一m?--!-=0,

耐 Ii优一m2.q-n云口’一矿一磊嚼口J’

,a

m‘一矿



2mn



文E1]作者选择了解析法并给出了解答,
解法如下: 解 以对角线交点

嬲=~mm。+--竹rl-6_z
c,

m,舞6+竹),

所以刀矿一一导酽矿.

0为坐标原点,对角线 AC所在直线为X轴建 立直角坐标系如图2所 示.令A(口,0),C(b,0) (显然口≠b,否则ABCD 为平行四边形),B(m,竹),则D(km,kn),B7 (m。一以),D7(km,一kn).所以
图2

所以商∥哥寸且l布I≠I可矿l,故
四边形A7B 7C7D 7是梯形. 上述整个解答过程看似无懈可击,事实 上不少细节经不起推敲,商榷如下: 1)解答开始“令A(a,0),C(b,O)(显然a ≠6,否则ABCD为平行四边形)”,括号里边 的口≠b应改为a≠一6. 2)证明中“B(m,竹),则D(km,kn)”因果 关系不清,愚的来历不明意义不清.建议改 为:设B(m,行),因为0,B,D 3点共线,所以

魂=(m一6,扎),万方一(足m一口,kn),

由商∥劢,得
(惫m一口)n一惫n(m一6),

存在实数愚使得茄=忌葩=忌(m,,:),所以
D(km.kn).

所以忌=r11..易得直线BD方程为

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3)。易得直线BD方程为:以z—my一0” 过于简略,直线BD的方程到底是怎么得到 的呢?如果是由点斜式得到的那就会有问 题.因为0,B,D 3点共线,所以直线BD的 斜率就是直线0B的斜率,由两点坐标的斜

线时才能得出A’D’∥B7C7.

由此可见,解答数学问题要做到步步为
营、环环相扣、层层递进,逻辑推理严密无懈 可击。这并不是一件容易做到的事情,这需要 训练有素长期历炼,要有很好的数学素养. 2对参考答案的商榷 参考答案给出的几何证法及评分细则如
下:

率公式得直线OB的斜率为兰,所以直线BD
ll'I.

的方程为,一兰z即,lz—my=0.由于点B
可能在y轴上,所以点B的横坐标可以为 零,所以上述解答不严谨.当然也可用分类讨 论使解法完整,当m≠0,由上述解法得直线 BD的方程为?I.TC—my一0;当m=0时,点B 在Y轴上,直线BD就是Y轴方程为X=0,

证明如图3,B,D 关于对角线AC对称的 点分别是B 7,D7,则BD 与B’D 7交于BD和AC 的交点0.(5分)

仍然可以用方程以z—my----0来表示,但这样

由对称得BB7∥

得到的直线BD的方程船--my=O并不“易
得”,笔者建议用共线向量来处理.

DD,,所以器=器.

图3

4)“设点A关于直线BD的对称点

A,C关于对角线BD对称的点分别是



7(p,口),则.{p一口.


f—L一一翌,


A,,c,,同理得器一乐.(10(if)
因为梯形中BCffAD,贝¨器=篑=

”这里两


I行?盟92一m?导=o.


个等式是怎么得来的?应该有必要的说明才

慧≠1,所以g一乐≠1'(15分)
所以B7C7∥A7D 7,且B’C7≠A7D’,所以
四边形A7B’C7D7是梯形. 参考答案和评分细则估计是由命题人提 供的,给出的证明看是图文并茂简单简洁,实 则过分粗略缺乏定量分析存在很大漏洞,参 考答案过分依赖图形直观,默认A7 C7与 B’D’相交于点D,忽视定量分析,遗漏了A’, B’,c,,D’4点共线这一情形. 3对竞赛矗的研究 下面是笔者以研究的心态和追求完美的 思想指导下,用解析法和综合法对A7B 7C’D 究,与读者交流. 3.I用解析法探究 设对角线AC,BD相交于点0,以AC 所在直线作为z轴,以0为坐标原点建立直


好.其中等式“_L=一=m”,如果是由直线

“ 玎

AA7与直线BD垂直其斜率互为负倒效得来

的,也会存在问题.因为当直线BD就是Y轴
时其斜率不存在,这里笔者建议用向量的数

量积来处理垂直问题较好,解法如下:

茄,所以砑?蕊----0,而砑一(p--口,q),
砷=(小,恕),所以有re(p--a)+nq=O.

直线从’与直线BD垂直,则瓦矿上

5)Eql最后“所以耐=一睾F寸。所
c,

以A7D 7∥B7C7且IA7D l≠I B7C7 I,故四边



形A,B 7C7D7是梯形”.存在知识性问题,由

何时能构成梯形何时共线进行深入细致的研

耐=一晏可才可以推出柑∥宫’矿。但推


不出A’D’∥B7c 7,因为向量平行与直线平行
是有区别的,只有当4点A7,B7,C7,D7不共

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数学教学研究

第33卷第6期2014年6月

角坐标系如图2.设点C的坐标为(口,o),设 点B的坐标为(6,c),则口>0,c>0.设OA= hOC,因为AD∥BC,所以OD=,:IOB,又因为 ABCD为梯形,所以h>O且.:I≠1,所以

由石才=一A石矿,石矿一一A 0--#'知0,
A7,c,3点共线,0,B7,D7 3点共线.若4点 A7,B7,C’,D7共线,则当0,B’,C7 3点共线,

蔬=一A葡=--h(n,o)=(--h口,o), 茄一一.:I商一--/l(b,f)=(一A,一.:Ic),
所以点A的坐标为(--ha,o),点D的坐标为
(--hb,--hc).

即商∥剪,所以有
2ab2z

瓣十—矿矿一¨
ac(b2一f2、一n

注意到ac>O,化简得

易求得点B,D关于对角线AC即z轴 的对称点分别为B 7(6,一c),D7(一.:16,hc). 设点C(a,o)关于对角线BD的对称点 为C’(z。,Y。),则线段Cc,的中点P的坐标

C2:3bz,c一士届. (i)当c=届时,由c#O得b#O,所以
÷=厢,由此知直线BD的斜率为万,所以直


线BD的倾斜角为60。,即么BOC=60。.又因

为(堑产,警).设M(z,y)是直线BD上任
意一点,则确∥苟,所以CXiby=0,此即
为直线BD的方程,因为点P在此直线上, 所以有

为当c=廊时,石旁一(6,一届),直线087的
斜率为一石,所以直线OB7的倾斜角为120。,
从而么B’OC=60。,故4点A7,B7,∥,D,所在 直线就是么AoB的平分线所在的直线.

c.下Xo-十-a—b?尝一o,
即“o一‰+ac---O.
(1)

(¨)当c一一届时,由c≠o得6≠o,所
以÷=一万,由此知直线BD的斜率为一万,


因为前上蕊,所以前?苟一o.
又砣=(口一勘,--3'0),萄=(6,c),所以
6(口一zo)--cyo=0, 且p 6.zo+cyo一口6—0. (2)

所以直线BD的倾斜角为120。,即么BOC=

120。.又因为当c一一痂时,面矿=(6,届),
直线OB7的斜率为石,所以直线OB7的倾斜
角为60。,从而么B 70D一60。,故4点A7,B7, c,,D’所在直线就是么AOB的平分线所在的 直线.

联立(1)(2)并注意到c>O解得

X021盯’Y02瓣,
口(62一c2)
2abc

所以c,(警≯’622a+c2bc
同理可得A’(一
--ha即可)

又当c=一再6时,西矿=(6,厢6),剪

I,.


A口(62一c2) 62+c2

一丽J。
2habc、

=(一丢口,一譬n).由c>O得b<O,所以瓦矿
厶 厶

与孬矿同向,于是当6一一百1口即口一--2b时,


(实际上只需将点C’的坐标中的a换成

商=醒,点B7与c7重合,从而点A7与D
以OB-=/b+(一√!弘)2—2
还是等腰梯形. 3.2用综合法探究 设对角线AC,BD相交于点0.




综上可得

也重合.此时,点B的坐标为(b,一√36),所
I一口=OC,则

商一商=--h(留一菌), 即丽,=一A矿矿,
也就是

石霄=一.:I石矿,石矿=一A石矿,

有OA=OD,于是有AC—BD,故此时梯形

万矽=.:IF才.
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数学教学研究
O,A7,C7

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(i)当么BOC=90。时,容易证明四边形
A7B 7C 7D是梯形且与梯形ABCD全等.

3点共线,点A’在么BOC的内部且

么A 70B—LAOB一乱如图7,因为B,D关 于对角线AC对称的点分别是B 7,D7,容易 证明0,B7,D7 3点共线,点D7在么BOC的 内部且么D7 OB一180。一2口.由此知,当 LA'OB一/D7 OB时,口一60。,么BOC一 120。,直线A7C 7与直线B
7D 7为同一条直线,

(ii)当么BOC为锐角时,设/BOC=口. 如图4,因为A,C关于对角线BD对称的点 分别是A 7,C7,容易证明0,A 7,C7 3点共线, 点A7在么COD的内部且么A 70D=良如图 5,因为B,D关于对角线AC对称的点分别 是B 7,D7,容易证明o,B 7,D7 3点共线,点 B’在么COD的内部且么B 70D=180。一口.由 此知,当且仅当么A 70D一么B 70D即口=60。 时,直线A7C 7与直线B 7D 7为同一条直线,即 4点A 7,B7,C7,D7共线且所在直线为LAOB 的平分线所在直线,如图8所示.当口≠60。 时,A7C 7与B 7D 7相交于点0,且OA 7一OA,
OC7=0C,0B’一OB,0D’=OD,所以

即4点A7,B7,C7,D7共线且所在直线为 么BOC的平分线所在直线,如图9所示.特 别地,在么BOC=120。时,若梯形为等腰梯 形,则OA=OD,从而OA 7=0D 7,又点A 7和一
D 7都在么BOC的内部且0,A7,D7共线,所以

点A’和D 7重合,同理可证点B7和C 7重合,如 图10所示.当口≠60。时,同(jj)可证四边形
A7B 7C 7D

7是梯形.

…‘ 筹:筹,黑:照,又因为AD,//BC,所 0B”、…7
0C


0C’0B



一I'.00cA

0BOD≠1,所以石OA丁'一石O矿D'≠1,所以

呸::

A7D 7//S7c

7,舍髟一黔≠1,所以A7D
7是梯形.

7≠

毯唪磁
图8 图9 图10

B7C7,故四边形A 7B 7C7D

综上所述,我们有如下结论:

在梯形ABCD中,AD//BC,B,D关于

瘳~
图4

对角线AC对称的点分别是B 7,D7,A,C关
于对角线BD对称的点分别是A 7,C7. 1)当对角线所成的角不为60。肘4点
A D

A7,B7,C7,D7构成A 7D 7∥B7C7的梯形; 2)当么BOC=60。时,4点A 7,B 7,C7,D7 在么AOB的平分线所在的直线上; 3)当LBOC一120。时,4点A7,B7,∥,D7 在么BOC的平分线所在的直线上,若梯形为 等腰梯形,则点A7和D7重合,点B7和∥重合. 4对命题的商榷

图5

,弘



丛 塑
,,,,7/
图6







鉴于上述研究所得结论,笔者对这道竞 赛题的命题提出如下两点建议: ①在题设条件不变的情况下,将证明部 分改为“证明4点A7,B7,C7,D7共线或构成 梯形”,但这样题目难度显然比原来预想的难

图7

(m)当么BOC为钝角时,么AoB为锐 角,设么AOB一口.如图6,因为A,C关于对 角线BD对称的点分别是A 7,C7,容易证明

万方数据

度要大得多,可把题目位置后移; ②证明部分不变,将题设部分增加条件 “且A 7,B
7,C7,D7

对题目深信不疑.智者千虑必有一失,愚者千 虑必有一得,竞赛题、高考题,甚至包括课本 的例题习题,出错题有之,解错题也是时有发 生.笔者认为学习者在看书学习解题时应该 抱着研究的心态理性地去思考问题,敢于依 据客观事实提出和坚持自己的见解,努力提 高创新能力,不迷信书本、不迷信权威,敢于 质疑,勇于探索,追求真理,发现别人未发现 的东西,逐步养成求真务实、坚持真理的科学 精神.
参考文献

4点不共线”,这样既保持

了原题的预想难度和位置,又有一种言虽尽 而意未了的感觉令人回昧无穷,给解题者留 下了继续研究的欲望和空间,同时也彰显命 题人对该问题的研究全面深人,如此这般命 题就显得深入浅出淡定和从容. 从这道竞赛题和参考答案及本题在整个 试卷中的位置来看,笔者斗胆认为命题人认 为这个问题结论单一相对比较简单,而对于 我们得出的结论2)和结论3)命题人是始料 未及的.另一方面,大部分解题者认为题目是 命题专家精心设计的应该不会有问题,从而

[-1-]崔志荣,薛宗华.落实解析几何教学的四个环 [J].数学通讯(下半月),2013,(10).
(收稿日期:2013—12.12)

数学教学研究
(月刊,公开发行,1982年创刊)

2014年6月

第33卷第6期(总第262期)

167—1-0452
万方数据


J脚I|JS|IS增JjNl《1|J64蝤7ljl坦-世0』4I佩5J2僵>千u号:—ISSN

定价:勰


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