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放缩法技巧全总结(非常精辟,是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华!!)


例析放缩法在数列不等式中的应用
孙卫
(安徽省芜湖市第一中学 241000)

数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现,在高考试题中占有重要地位,在近几 年的高考试题中,多个省份都有所考查,甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法,笔者在 教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时,普遍感到困难,找不到解题思路。现就放缩法在数列不 等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。

1. 直接放缩,消项求解
例 1(2008 辽宁 21)在数列 ?an ? ,?bn ? 中, a1 ? 2, b1 ? 4 ,且 an , bn , an?1 成等差数列, bn , an?1 , bn?1 成等比数 列. n ? N * , (Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 及 b2 , b3 , b4 ,由此猜测 ?an ? ,?bn ? 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:

1 1 ? ? a1 ? b1 a2 ? b2

?

1 5 ? . an ? bn 12

分析: (Ⅰ)数学归纳法。 (Ⅱ)本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积,可将其放缩为等差型两项之 积,通过裂项求和。 (Ⅰ)略解 an ? n(n ? 1),bn ? (n ? 1)2 . (Ⅱ)

1 1 5 ? ? .n≥2 时,由(Ⅰ)知 an ? bn ? (n ? 1)(2n ? 1) ? 2(n ? 1)n . a1 ? b1 6 12



1 1 1 1 1? 1 1 1 ? ? ? …? ? ? ? ? ? …? ? a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 6 2 ? 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) ?
1 1?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?…? ? ? 6 2?2 3 3 4 n n ?1 ? 1 1?1 1 ? 1 1 5 ? ? ? ? ? ? ? ,综上,原不等式成立. 6 2 ? 2 n ? 1 ? 6 4 12

?

?

点评: 数列和式不等式中,若数列的通项为分式型,可考虑对其分母进行放缩,构造等差型因式之积。 再用裂项的方法求解。 另外,熟悉一些常用的放缩方法, 如:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? (k ? 1,2, ?, n) , ? ? ? 2 ? ? ? 2n n ? k n ? 1 n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n
3

例 2(2008 安徽 21.节选)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? can ? 1 ? c, c ? N * 其中 c 为实数 (Ⅰ)证明: an ?[0,1] 对任意 n ? N 成立的充分必要条件是 c ? [0,1] ;
*

1

(Ⅱ)设 0 ? c ?

1 ,证明: an ? 1 ? (3c)n?1, n ? N * ; 3

分析: (Ⅰ)数学归纳法证明(Ⅱ)结论可变形为 1 ? an ? (3c) n?1 ,即不等式右边为一等比数列通项形式, 化归思路为对 1 ? a n 用放缩法构造等比型递推数列, 即 1 ? an ? c(1 ? an?1 )(1 ? an?1 ? an?1 ) ? 3c(1 ? an?1 ) 解: (Ⅰ)解略。 (Ⅱ)设 0 ? c ?
2

1 ,当 n ? 1 时, a1 ? 0 ,结论成立,当 n ? 2 时, 3

3 2 ∵an ? can ?1 ? 1 ? c,∴1 ? an ? c(1 ? an?1 )(1 ? an?1 ? an?1 )

?0 ? c ?

1 2 ,由(1)知 an?1 ?[0,1] ,所以 1 ? an?1 ? an ?1 ? 3 且 1 ? an ?1 ? 0 3

∴1 ? an ? 3c(1 ? an?1 )

∴1 ? an ? 3c(1 ? an?1 ) ? (3c)2 (1 ? an?2 ) ? ∴an ? 1 ? (3c)n?1 (n ? N * )

? (3c)n?1 (1 ? a1 ) ? (3c)n?1

点评:直接对多项式放大后,得到的是等比型递推数列,再逐项递推得到结论。通过放缩得到等比型递推 数列是求解数列不等式的另一个重要的类型。

2. 利用基本不等式放缩
例 3 ( 2008 浙 江 22 ) 已 知 数 列 ?an ? , an ? 0 , a1 ? 0 , an?1 ? an?1 ? 1 ? an (n ? N ? ) , 记
2 2

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , Tn ?
?

1 1 1 . ? ??? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ?(1 ? a n )

求证:当 n ? N 时, (Ⅰ) an ? an ?1 ; (Ⅱ) S n ? n ? 2 ; (Ⅲ) Tn ? 3 。 分析: ( Ⅰ ) 在 an ? 0 的 条 件 下 , an ? an ?1 的 等 价 形 式 为 an ? an?1 , 要 证 an ? an?1 , 只 需 证
2 2 2 2

an?1 ? an ? 1 ? an?1 ? 0, 即证 an ? 1 ,可用数学归纳法证明
(Ⅱ)由 an?1 ? an ? 1 ? an?1 累加及 an ? 1 可得 ( Ⅲ ) 和 式 通 项 的 分 母 由 1 ? a n 累 乘 得 到 的 , 条 件 中 可 有 ak ?1 (1 ? ak ?1 ) ? 1 ? ak 得 到 , 但
2 2 2

2

2

(1 ? ak ?1 ) ?
(Ⅰ)解略。 (Ⅱ)解略。

1 ? ak ak ?1

2

的分子分母次数不同,可用基本不等式将其化为等比型递推数列

2

(Ⅲ)证明:由 ak ?12 ? ak ?1 ? 1 ? ak 2 ≥ 2ak ,得

a 1 ≤ k ?1 (k ? 2, 3, , n ? 1 ,n ≥ 3) 1 ? ak ?1 2ak
所以

1 (1 ? a3 )(1 ? a4 ) 1 (1 ? a2 )(1 ? a3 )

(1 ? an )



2

n n?2

a

a2

(a ≥ 3) ,

于是

(1 ? an )



2

n?2

an a 1 ? nn ? n?2 (n ≥ 3) , 2 ?2 (a2 ? a2 ) 2 2
? 3 ,又因为 T1 ? T2 ? T3 ,所以 Tn ? 3 .

故当 n ≥ 3 时, Tn ? 1 ? 1 ?

1 ? 2

?

1 2
n?2

点评: 本题第三问, 基本不等式的应用使构造等比型递推数列成为可能, 在公比 q ? 1 时, 等比数列的前 n 项和趋向于定值,即前 n 项和有界,这为数列和式范围的证明提供了思路。

3. 利用数列的单调性放缩
例 4 数列 {an } 为非负实数列,且满足: ak ? 2ak ?1 ? ak ?2 ? 0 , 求证: 0 ? a k ? a k ?1 ?

?a
i ?1

k

i

? 1,k ? 1,2,?

2 (k ? 1,2,?). k2

分析:有时数列不等式的证明可以在数列单调性的前提下进行放缩。 证明:若有某个 a k ? a k ?1 ,则 ak ?1 ? ak ? ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?2 ,从而从 ak 起,数列 {an } 单调递增,和

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an 会随 n 的增大而趋向于无穷,与 ? ai ? 1,k ? 1,2,? 矛盾,所以 {an } 是单调递减
i ?1

k

的数列,即 ak ? ak ?1 ? 0 ,令 bn ? ak ? ak ?1 , k ? 1,2,? 由 ak ? 2ak ?1 ? ak ?2 ? 0 得 ak ? ak ?1 ? ak ?1 ? ak ?2 ,即 bk ? bk ?1 , k ? 1,2,? 由于 1 ? a1 ? a2 ? ? ? ak

? b1 ? 2a 2 ? a3 ? ? ? a k ? b1 ? 2b2 ? 3a3 ? ? ? a k ? b1 ? 2a 2 ? 3b3 ? ? ? a k ?? ? b1 ? 2b2 ? 3b3 ? ? ? kbk ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? k )bk ? k (k ? 1) bk 2

3

故 bk ?

2 2 ? 2 。 k (k ? 1) k

点评:本题考虑了数列 {an } , {bn } 的单调性,然后利用放缩法进行证明。 又如,例 3 的第三问也可用单调性证明:

? an ? an?1 , 及 a n ? 0, ?

1 1 ? , (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ?(1 ? an ) (1 ? a2 ) n?1
1 n 1? ( ) 1 ? a2 1 ? ? ,要证 Tn ? 3 , 1 1 1? 1? 1 ? a2 1 ? a2

? Tn ?

1 1 1 1 ? ? ??? 2 1 ? a1 1 ? a 2 (1 ? a 2 ) (1 ? a n ) n ?1

只要证

1 1? 1 1 ? a2

? 3 ,即 a 2 ?

1 5 ?1 1 , 而 a2 ? ? , 所以问题得证 2 2 2

4. 放缩法在数学归纳法的应用
数列不等式是与自然数有关的命题,数学归纳法是证明与自然数有关的命题的重要方法。应用数学归 纳法证明时,通常要利用放缩法对条件进行适当的转化,才能实现由 n ? k 时成立到 n ? k ? 1 时也成立的 过渡。 举例略。 综合以上分析,我们发现,在数列不等式的求解过程中,通过放缩法的应用,主要使数列不等式转化 为以下两种类型: (1)可直接裂项的形式,再求和证明求解。 (等差型) (2)等比型递推数列, q ? 1 时,数列前 n 项和有界。 (等比型) 数列不等式是一类综合性较强的问题,我们可以利用上述思路对数列不等式进行分析、求解。在解题 过程中要充分挖掘题设条件信息,把条件合理的转化、加强、放缩,同时结合问题的结构、形式等特征, 使条件与结论建立联系,从而使解题思路通畅。其中合理、适当的放缩是能否顺利解题的关键。
参考文献: 1 2 何清泉. 数列不等式证明的几种策略,数学通报, 2007,11 王树国. 师大附中专题 (数列、极限、数学归纳法) ,长沙,湖南师大出版社 2004 第二版

作者简介:孙卫,1979,汉,安徽芜湖市第一中学,职称:中教二级 电话:13966034390,邮码:241000 电子信箱: hwjdp@163.com.

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