当前位置:首页 >> 数学 >>

平行与垂直教学研究二


“平行与垂直”教学研究
( 第二讲 ) 王尚志:首都师范大学 教授 张思明:北京大学附属中学 特级教师 王君:唐山一中 特级教师 李大永:首都师范大学附属中学 中学高级

张思明: 各位老师大家好, 欢迎各位老师继续参加高中数学模块教学的远程培训, 上一节课我们以垂直和平行的几个课例入手讨论了如何把握平行、 垂直的判定和 性质定理, 这一节课我们将就

这个话题继续展开讨论,首先请允许我介绍到场的 几位嘉宾。 最右边这位是首都师范大学博士生导师——王尚志教授,挨着王老师 坐的是河北省唐山一中的特级教师——王君老师, 我身边这位是首都师范大学附 属中学——李大永老师,欢迎三位老师参加我们的讨论。 在上节课我们提到的课例中已经谈到了这个问题, 那么我们为什么很关注判定和 性质这个定理的教学,还是先请王老师把这个事情再说一下。 王尚志: 上一节课我们谈到了这个问题:在线面的位置关系中和面面的位置关系 中,有两种基本的位置关系:垂直和平行,围绕着垂直和平行展开的有两个基本 的定理,一种叫性质定理,一种叫判定定理,或者换句话说,一种是必要条件, 一种是充分条件。 在我们制定标准的时候,感觉到:在证明充分条件或者判定定理时,用综合几何 的办法证明这些结果有一定的难度,指的是对所有的学生,在性质定理的证明上 还比较容易掌握。 因此标准有这样的要求:对判定定理不要求一定要用综合几何 的办法去处理它, 而把这部分证明放在空间向量与立体几何的内容里去处理,而 对性质定理还要求用综合几何的办法去证明, 这种要求上的差异应该引起老师的 重视。 上一节课用一些课例展示了这些方面的思考,这一节课我们继续思考这个 问题。 张思明:王老师把这个分析说的很清楚,下面我们是想这样做,首先要走出去采 访一下试验区老师对这个问题的一些认识, 我们特别请到了苏州五中的特级教师 也是副校长罗强老师和苏州中学的刘华老师参与我们的讨论, 我们先看他们在苏 州的讨论现场拍的片段。 (插入视频)

好, 看过了罗强老师和刘华老师的讨论,我们还要采访一位专家——首都师范大 学的张饴慈教授,他经常深入各个试验区去观察,去听老师们的课,有一次他遇 到了跟我们同样的情景, 一个老师也在讲这个课,在这个过程中发生了一段有趣 的故事,我们听听张老师给我们描述的这个场景。 好,我们看过了前面的素材,在场的两位老师一定有自己的想法,那么怎么把握 好垂直和平行的判定和性质, 怎么样培养学生的空间想象能力,我也想听听两位 老师的意见。 王君:立体几何的总体知识结构过去我用五个数字来概括,就是一、二、三、四、 五;一就是指一个长方体,二就是两条主线——平行和垂直两条主线。三就是指 三个角,四指的是四个距离,五指的是五对定理,其中有四对是判定定理和性质 定理,还有三垂线定理和其逆定理。在新课程标准中,三垂线定理和其逆定理不 作要求,而四对定理中只对性质定理提出证明,判定定理不再要求证明,而是放 在空间向量的后半部分处理, 因为到那证明就变的很容易和方便。在必修部分主 要的内容就是一和二, 即一个长方体和两条主线。这两条主线既是前面整个知识 的主要内容,而且两条主线也体现了立体几何的逻辑结构。比如:垂直这一条主 线,既有分析法的思路又有综合法的层次; 而且他的思想方法是立体几何最终 转化成平面几何, 所以我在过去和现在这块的教学当中都体现了分析和综合双方 面的思路。 在具体操作过程当中, 按照新课程的精神, 我觉得应充分突出长方体, 在学生生活实际当中把我们总结的知识经验和学生说出,在长方体中确认以后, 然后思辨论证。 把其中正确的让学生通过长方体体现出来,如果是错误的就通过 长方体举一反例。 李大永:课标中对这一块也强调操作,在活动当中思辨,然后在理论层面达到理 解。对于这块的内容,在以前的教学当中,如果学生空间想象力比较差的时候, 老师一般也都是建议学生动手,善于用自己手头的笔、尺子、桌面、书、包括教 室等等,把线面、面面之间的位置关系通过实物让自己建立认识。过去判定定理 的证明特别是线面垂直的证明得讲满满一堂课, 因为从启发到建立辅助线是非常 困难的, 实质上学生上完课以后还是没有搞懂这个定理的证明,他的重心一下子 迁移到证明到底是怎么回事,而忽视了核心,所以现在在必修里,因为面对的是 所有学生,课标里把这一部分证明放在向量里去解决,第一、将来用那个工具学 生会容易理解,第二、可以让更多学生避免一开始被挡在门外,不敢往下学的情 况。另外在具体教学当中,确实现在在课堂上应该大量的安排一些活动,因为空 间想象力的建立, 第一个层面就是他先看到一个实物,脑子里面才会呈现一个东 西,我没有看到过苹果,你再怎么描述我也不知道长什么样?首先,他要看到一 些实物, 所以教学中实物模型还是要大量使用,而不仅仅是电脑上一种直观图的 体现;再一个就是学生动手,让学生动手制作模型,在制作模型过程中,他本身 对这个体当中的线、面位置关系会有一个反映,如做直棱柱和斜棱柱时,把侧面 展开,那么棱跟底下的一些关系就会有一些认识。又如:线面、面面垂直的判定 定理,怎么叫一个面和这个面垂直了,拿什么条件来保证这一条,其实可以让学 生动手, 拿一张纸, 你怎么保证它是垂直的, 让学生讲理由, 可以上讲台去演示, 学生可能有各种各样的说法, 最后你或者下面学生会逼着让他说出怎么样才能保 证?比如说, 再给他一个直角板,我的直角板怎么用?如果一开始学生会觉得我 拿一张纸对着折,我说这个是直角就可以,那老师可以让他这样折,这个时候二

面角的平面角也体现出来了, 这时又怎么保证,就是非要让他说出里面一条线垂 直。 王尚志: 实际上是体现了平面法向量的思想,他一定得有一个法向量是在另外一 个平面上, 才能带着那个平面跟这个平面垂直,但是没有必要一下子严格说这个 事, 但是不意味着不通过实物, 不通过这些具体的东西把数学的本质讲给学生听, 我觉得这时刚才大永讲的操作的一个核心,用学生能懂的,又能看得见摸得着的 东西,符合学生认知规律的讲给他听。 李大永:因为这种活动的操作包括他看到的,自己动手其实就形成一种体验,这 种体验将会带动他在复杂背景图形下有一个思维判断, 这个思维判断在他的脑子 里面会呈现一个图形, 然后我把线条动起来去考虑这个问题,我们学生容易犯错 的是:第一把平面几何的定理和结论,不加思考地迁移过来,再加上迁移过来的 时候, 他脑子里面呈现的图式是一些特定的图式,如两个平面同时垂直第三个平 面, 那么那两个平面平行。 其实学生为什么判定错误呢?老师总觉得一动起来就 行,但是学生没有动,因为学生一开始想的时候就把两个平面想成这个图式,最 容易犯错的我觉得是他的迁移再加上一个错误图式,就产生错误了。如果我们平 常大量使用动起来,换方位,多角度,那这时候他脑子里面呈现的是满足以后我 动一动,会怎么样?这就形成这样一个认识。 王尚志:我觉得刚才王君老师说的一长方体,最后不能太复杂了,都往长方体上 靠,看垂直于底面的平面有哪些?四个。最后在动的结果上静下来,那么他就能 够真正掌握垂直的一些基本关系, 所以我想所有这些都需要我们老师在教学实践 中不断创造出一些好的操作的载体,好的图形、好的模型,怎么又归结为同一个 模型,这样的一系列过程,我相信老师一旦放开了会有很多的创造。 王君: 大体上学生的认识过程有这么几个直观, 一个是生活直观, 就像他拿着笔, 笔当线,书当面,笔笔画画,他可以拿着笔去笔划,什么时候它是和面垂直的? 这是属于生活直观,包括刚才李老师说的折纸,折成二面角垂直,这都属于生活 直观。 第二个要上升到模型直观, 可以说我们这些东西,因为学生在数学上接触更多的 就是长方体,要突出长方体的作用,要折长方体,要做长方体骨架模型,里面用 皮筋填上对角线,甚至填上对角面去观察,这是属于模型直观。 第三个就要提升到几何直观,如该画直观图一定要画出直观图,不然的话,他停 留在模型直观上也不行, 这一块是一个飞跃。怎么样从生活直观到模型直观再到 几何直观,这是一个学生认识发展的过程。 王尚志: 我觉得刚才王老师说了一个非常重要的层次,那么从语言上来说是另外 一个层次,先能用生活中的语言去描写在生活中的问题,它都是具体的说,这个 墙面和那个墙面怎么着?这些学生我想都能够表达出来, 甚至所有的学生都能够 清楚的表达出来, 然后再上升到模型,我要用一些模型中的特殊的东西作为我语 言的载体来说,最后上升到抽象的语言、符号的语言,一个是模型的层次,一个 是语言的层次,这样就帮助学生把立体几何在一个扎实的基础上掌握的比较好。

张思明: 我也觉得刚才王君老师提到的思维和表述是有层次的,我们在前面的判 定和性质定理的探究过程中, 其实是给学生积累这些层次的经验,王君老师特别 提出要有一些素材,要有些基本的想法,如为什么长方体这个素材重要,我后来 也发觉学生到很多后面的那些问题, 如我们原来做立体几何教学的时候常常想不 清楚,如两条异面直线、公垂线,特别是面对角线,不相交的面对角线,他就能 找到一些很具体的思考方式, 当时提出来一个难的思考题就是四个面都是直角三 角形的三棱锥存在不存在?当时一个高考题问的就是这个, 还问出了最多到几个 直角三角形?学生对这个问题当时是手笔划乱,拿了三根东西在上面架,可是他 要有长方体,那对角线一切就能找到。 可是, 我们老师在教学过程中如果关注长方体的模型,他应该有意识把学生常见 的问题, 就像王君老师做的, 尽量把那个东西还原出来, 给了学生思考的着陆点, 我觉得这个还是很重要的, 但是老师有的时候觉得麻烦或者是说自己没有意识到 这个作用。 最后告诉学生做的时候有两种观察角度,在长方体内部去观察,在长方体外部观 察,把常用的线面关系,或者是那些基本体在长方体找到对应的东西,如最基本 的四面体、三棱锥都要在长方体里找到,这样将来算体积,过去是切割、隔补等 都有一些抛锚点,我觉得这也是基础教学应该注意的东西。 王尚志:另外,还有一个建议我们老师应该关注。因为点线面的位置关系是我们 立体几何初步中的一个重要的内容,他是支撑培养学生空间想象力的一个载体, 我们还希望把他和在立体几何初步学习的其他的内容有机结合起来, 形成一个支 撑学生建立空间想象力的一个整体,那么这样我们的教学就会有更大的效率,我 觉得这是一个建议。 第二个建议, 刚才王老师和李老师都谈到了,我们在义务教育课程标准修改中提 出了四基:基础知识,基本技能,基本活动经验和基本数学思想,我觉得这四基 在我们立体几何初步教学中也能够完整体现出来。 如刚才王老师说有一些是我们 日常生活中的经验,有一些是我们几何学习中的经验,包括我们对图形的把握, 这些经验和我们的基础知识离不开,和我们的基本的技能离不开,也和我们数学 的基本思想离不开。如数型结合的思想,总得有载体,你得靠你的经验支撑这些 载体, 所以我觉得这些思考都对我们上好立体几何初步课,或者提高我们的教学 效率有很多的帮助。 李大永: 在这当中一方面要强调学生空间的想象力,其实在学生当中容易产生的 一个问题要注意,特别是空间想象力比较好的孩子,他在论证的表达上不严谨, 他能判定一个结果, 但是他不能论述一个结果,这个里面就是三种语言的最后一 关, 没有把思维过程用一个严格的语言表达出来,这一点还是要加强这个方面的 训练。 如学生在学习了判定和性质以后,后面一些简单的问题上可以不要设置太 多的转化,但是要把它说清楚,要把这个定理的使用条件逐一列全,这其实也培 养他考虑问题的一种严谨性,避免那种有时候缺失条件造成判断的失误。 张思明:我觉得原来有一种比较好的推理形式,就是对于每一个定理、条件、结 论让学生数清楚,如线面垂直,要有几个。其实老师们积累的这方面的经验其实

是可以发扬的, 还有一些我觉得立体几何的内容要和整个高中数学有用的地方结 合,如量词,刚才我看熊老师的课例,就是专门说线不垂直面,怎么说明这件事 情,这时学生会找反例,这个老师就非常注意,像这样一些培养逻辑语言,甚至 为将来逻辑用语做铺垫的地方, 他肯定用了一些,老师很注意这样一些数学价值 的应用, 我觉得这也是在培养学生用好数学语言,图形语言做好转化很好的实践 点。 李大永:因为几何是以形来作为一个依据,一个思考点,每一个定理有一个基本 图式,在前面第一段内容学了很多几何题,过去把几何体放在后面,老师往往把 前面线面垂直位置关系融入到体里面,有一个二次回味的提升。现在把他提到前 面以后,有另外一种处理,因为对体已经有了初步的直观的认识,有了线面的定 理以后,应该多用一下前面的体,放在体的背景下去识别这种基本的图式,在使 用上会有一个快速的识辨能力, 如果辨别出来缺失条件才能够补全,这样就构成 了定理的基本条件,也就是说我们常说的最难加辅助线的问题。 在这个当中我想长方体肯定是学生最熟悉的背景,但是教学当中也会有这个问 题,在长方体下想得清楚,拿出来就想不清楚,所以教学上老师还需要特意设置 一类问题, 如没有长方体, 让学生在遇到困难时有意识拿一个最熟悉的模型去想, 如两条直线射影形状的问题, 其实在长方体放在面里面都有,这样学生认为这个 模型很好用,首先让他感觉到这个很好用,然后他才有用的意识,一旦遇到困难 的时候,他会想这个模型,这个模型的价值就会体现出来。一开始引入的时候, 可以借助长方体,因为他熟悉,这样就容易发现里面相关的结论,首先老师要善 于使用这个模型,学生遇到难点才会去想它。 王尚志:上一节课王君老师曾经给大家提供了一个纬度,就是考试的纬度。这件 事我和其他老师做过多次的讨论, 讨论在我们高考里所出现的立体几何题目是不 是长方体都能够发挥它的的作用,有这么一个讨论,开始阶段我们梳理了一下, 大部分的题目认为可以嵌入到长方体里面处理,还有一些偶尔的题目不能,最后 我们又认真讨论这些题目, 感觉只是我们没往这上面想,都愿意按照习惯的思维 想,我记得薛老师给我找了几个题目,最后讨论的结果是几乎大部分题目,长方 体都能够提供思维上的支持, 问题是你要想选择谁作为长方体,跟我们选择谁作 为直角坐标系有点像,实际上一旦有这个意识,很多题目会变得非常简洁,我印 象很深,有几个得分率在 0.1,甚至是不到 0.1 的题目里,一旦你有长方体的意 识, 很多题目会变得比较简洁, 我们在另外一个关于高考的讨论中会专题讨论这 件事情。 王君:是这样的,比如今年宁夏的选择题,画出长方体马上就解决了。 张思明: 老师要有引导的意识, 和学生一起培养起主动建构和寻找长方体的意识。 王尚志:我想刚才大家都提到了一个是模型,一个是语言。模型我觉得从切入来 说, 我们应该充分尊重学生的习惯和他的经验,应该在开始讲课的时候充分的利 用学生经验中的模型, 来帮助他们认识某些问题,我觉得这是很重要的一个切入 点。

那么,在这个基础上,按照王君老师的话,要上升到一个比较抽象的模型就是长 方体。在这个基础上,还要让他有一个所谓的抽象的思维,用抽象的几何来描述 这样一些关系,我觉得这样的过程是教学中要注意的事情,另外是一个语言,我 们通常所说的三种语言,一个是自然语言,第二个是图形语言,第三个是符号语 言,我觉得在我们立体几何的教学中,根据我跟老师的交流,我感觉首先学生要 学会用自然语言, 生活语言去描述抽象的问题。在这个基础上我们能用图形语言 非常清晰地表达出来, 又能用符号语言比较自如去叙述这些东西,这样逐渐形成 抽象思维的能力, 所以我觉得刚才王老师给我们这样两个分析,对我们掌握图形 位置关系的结论是非常重要的。
张思明: 王老师对我们这个讨论做了一个小结, 我想每一位老师在自己的教学中都会有自己 的经验、体会和问题,我们希望有机会在后面的学习中来分享大家的经验,来讨论大家尚未 解决的问题,我们课程团队也给大家留了一些思考题,这在后面的 PPT 大家也会看到,希 望老师在课下结合这些问题进行讨论,我们这节课就上到这里,感谢大家的参与,再见。


相关文章:
平行与垂直教学研究二
平行与垂直教学研究 ( 第二讲 ) 王尚志:首都师范大学 教授 张思明:北京大学附属中学 特级教师 王君:唐山一中 特级教师 李大永:首都师范大学附属中学 中学高级...
课后作业(高中数学必修2“平行与垂直”教学研究)
课后作业(高中数学必修2“平行与垂直教学研究)_数学_高中教育_教育专区。我讲...在本节课的设计中,我引入了生活中的场景,如教室的门与地面、立在桌上 的...
教学设计:平行与垂直(第2课时)
教学设计:平行与垂直(第2课时)_其它课程_小学教育_教育专区。平行与垂直教学...小组内研究交流:这几条线段在长度上有什么特点? 小结: 从直线外一点到这条...
《平行与垂直》教学设计
(二)过程与方法 在观察、操作、比较、概括中,经历探究平行线和垂线 《平行与垂直教学设计一、教学目标 (一)知识与技能 理解平行与垂直是同一平面内两条直线的...
《平行与垂直》教学案例
3.情感、态度与价值观 培养学生的动手实践能力和小组合作探究意识,激发学生学习数学的兴趣。 【教学重难点】 1.重点:正确理解同一平面,相交,平行,垂直等概念。 2...
《平行与垂直》具体内容及教学建议
平行与垂直》具体内容及教学建议_其它课程_小学教育_教育专区。平行与垂直 ...教学第(2)个问题,可以设计小组探究活动,给出一组平行线,先让学生猜想这 组...
平行与垂直的教学实践活动
小结:刚才我们一起研究了:在同一平面内,两条直线会出现相交和不 相交两种情况...暂无评价 2页 ¥2.00 《平行与垂直教学设计 6页 5下载券 《平行与垂直...
《平行与垂直》教学实录及点评
垂直与平行是两条直线的位置关系,是纯数学的内容;二是四年级学生 的抽象思维...这样的教学让孩子们充分地经历了操作和探究的过程,孩子们在充分经历 中逐步抽象...
平行与垂直说课与反思
三、目标定位:教学目标由以下 2 点: 1、 通过自主探究活动,理解平行与垂直这两种特殊的直线间位置 关系,初步认识平行线和垂线。 2、 通过观察、操作、讨论、...
平行与垂直教学设计
1、练习:分辨是否互相平行或互相垂直,并说出理由。 2、教学用书第 65 页做一...学生用小棒摆完后,教师再用课件演示并总结,但不深入研究。 3、折纸:使折痕...
更多相关标签:
平行与垂直教学设计 | 平行与垂直教学反思 | 平行与垂直教学视频 | 平行与垂直教学实录 | 平行与垂直的教学设计 | 平行与垂直的教学实录 | 平行与垂直教学课件 | 平行与垂直教学案例 |