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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版必修三【配套备课资源】3.1.1随机事件的概率 2


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3.1.1

3.1.1
【学习目标】

随机事件的概率

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1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念; 2.正确理解事件 A 出现的频率的意义,明确事件 A 发生的频率 fn(A)与事件 A 发生的概率 P(A)的区别与联系. 【学法指导】 通过在抛硬币、 抛骰子的试验中获取数据, 归纳总结试验结果, 发现规律,真正做到在探索中学习,在探索中提高,并且体会 数学知识与现实世界的联系.

填一填· 知识要点、记下疑难点

3.1.1

1.事件的概念及分类
? ?不可能事件:在条件S下, 一定不会发生 的事件, ? ? 叫做相对于条件S的不可能事件 ? ?确定事件?必然事件:在条件S下,一定会发生 的事件,叫做相 ? 事件? ? 对于条件S的必然事件 ? ?随机事件:在条件S下, 可能发生也可能不发生 的事件, ? ? 叫做相对于条件S的随机事件

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2.频数与频率 在相同的条件 S 下重复 n 次试验, 观察某一事件 A 是否出现, 称 n 次试验中 事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数, 称
nA 事件 A 出现的比例 fn(A)= n

为事件 A 出现的频率.

填一填· 知识要点、记下疑难点

3.1.1

3.概率 (1)含义:概率是度量随机事件发生的

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可能性大小

的量.

(2)与频率联系:对于给定的随机事件 A,事件 A 发生的 频率 fn(A) 随着试验次数的增加稳定于 概率 P(A) ,因此可以用 频率 fn(A) 来估计
概率 P(A)

.

研一研· 问题探究、课堂更高效

3.1.1

[问题情境] 日常生活中,有些问题是能够准确回答的.例如: 明天太阳一定从东方升起吗?木柴燃烧一定能产生热量 吗?这些事情的发生都是必然的.同时也有许多问题是很难 给予准确回答的.例如:明天中午 12:10 有多少人在学校 食堂用餐?一次射击能否击中目标?明年房价是否下降? 你购买的本期福利彩票是否能中奖?等等,这些问题的结果 都具有偶然性和不确定性.研究这些问题有利于我们做出某 些判断,防患于未然.

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探究点一 问题 1 必然事件、不可能事件和随机事件

3.1.1

考察下列事件:(1)导体通电时发热;(2)向上抛出的石

头会下落;(3)在标准大气压下水温升高到 100 ℃会沸腾.这 些事件就其发生与否有什么共同特点?

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问题 2

都是必然要发生的事件.
我们把上述事件叫做必然事件,你能说出必然事件的

一般含义吗? 答 在条件 S 下,一定会发生的事件,叫做相对于条件 S 的

必然事件.

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问题 3

3.1.1

考察下列事件:(1)在没有水分的真空中种子发芽;

(2) 在常温常压下钢铁融化; (3) 服用一种药物使人永远年 轻.这些事件就其发生与否有什么共同特点?

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问题 4

都是不可能发生的事件.
我们把上述事件叫做不可能事件,你能表达不可能事

件的一般含义吗?
答 在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件 S

的不可能事件.

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问题 5

3.1.1

考察下列事件:(1)某人射击一次命中目标;(2)山东地

区一年里 7 月 15 日这一天最热;(3)抛掷一个骰子出现的点 数为偶数.这些事件就其发生与否有什么共同特点?

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问题 6

都是可能发生也可能不发生的事件.
我们把上述事件叫做随机事件,你能指出随机事件的

一般含义吗? 答 在条件 S 下,可能发生也可能不发生的事件,叫做相对

于条件 S 的随机事件.

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3.1.1

小结

在条件 S 下,可能发生也可能不发生的事件,叫做相

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对于条件 S 的随机事件,简称随机事件;在条件 S 下,一定 会发生的事件,叫做相对于条件 S 的必然事件,简称必然事 件;在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件 S 的不可能事件,简称不可能事件,必然事件和不可能事件统 称为确定事件;确定事件和随机事件统称为事件,一般用大 写字母 A,B,C,?表示.

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问题 7

3.1.1

现在有 10 件相同的产品,其中 8 件是正品,2 件是次

品.我们要在其中任意抽出 3 件.那么,我们可能会抽到怎 样的样本?
答 有三种可能:A.3 件正品;B.2 件正品,1 件次品; C.1

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件正品,2 件次品.

问题 8

我们再仔细观察上题中抽到样本的可能情况,还能得

到一些什么结论?



结论 1:必然有 1 件正品;结论 2:不可能抽到 3 件次品.

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问题 9

3.1.1

在问题 7 抽到样本的几种情况中及问题 8 的结论中,

哪些是随机事件?哪些是必然事件?
答 抽到的样本情况:A.3 件正品;B.2 件正品,1 件次品;

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C.1 件正品,2 件次品,都是随机事件.

结论 1:必然有 1 件正品;
结论 2:不可能抽到 3 件次品都是必然事件.

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探究点二 导引 事件 A 发生的频率与概率

3.1.1

物体的大小常用质量、体积等来度量,学习水平的高低

常用考试分数来衡量.对于随机事件,它发生的可能性有多 大, 我们也希望用一个数量来反映, 最直接的方法就是试验, 下面我们进行抛掷一枚硬币的试验.

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问题 1

请班内四位同学依次、分别抛掷一枚硬币 20 次,其它

同学观看并且记录硬币正面朝上的次数,比较他们的结果一 致吗?为什么会出现这样的情况? 答 通过实际比较可知一致的可能性小,因为抛掷硬币是随 机事件,在每一次抛掷前不知道抛掷后会出现什么结果,因 此四位同学的结果一致的可能性比较小.

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问题 2

3.1.1

历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验,结果如

下表所示:
抛掷次数 2 048 4 040 12 000 24 000 正面向上的次数 1 061 2 048 6 019 12 012 正面向上的比例 0.518 1 0.506 9 0.501 6 0.500 5

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30 000
72 088

14 984
36 124

0.499 5
0.501 1

在上述抛掷硬币的试验中,你会发现怎样的规律?



当试验次数很多时,出现正面的比例在 0.5 附近摆动.

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问题 3

3.1.1

在抛掷硬币试验中,把正面向上的比例称作正面向上

的频率,你能给频率下个定义吗?



在相同的条件 S 下重复 n 次试验, 观察某一事件 A 是否

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出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的 nA 频数,称事件 A 出现的比例 fn(A)= n 为事件 A 出现的频率. 问题 4 频率的取值范围是什么?



[0,1].

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问题 5

3.1.1

抛掷硬币试验表明,正面朝上在每次试验中是否发生

是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增 加,正面朝上发生的频率呈现出一定的规律性,这个规律性 是如何体现出来的?

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答 事件 A 发生的频率较稳定,在某个常数附近摆动.
问题 6 我们把硬币正面朝上的频率所趋向的稳定值称做硬币

正面朝上的概率,你能给随机事件 A 发生的概率下个定义吗?



对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事

件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记做 P(A),称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率.

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问题 7

3.1.1

在实际问题中,随机事件 A 发生的概率往往是未知的

(如在一定条件下射击命中目标的概率),你如何得到事件 A 发生的概率?
答 通过大量重复试验得到事件 A 发生的频率的稳定值, 即

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概率.

问题 8

在相同条件下,事件 A 在先后两次试验中发生的频率

fn(A)是否一定相等?事件 A 在先后两次试验中发生的概率 P(A)是否一定相等? 答 频率具有随机性,做同样次数的重复试验,事件 A 发生

的频率可能不相同;概率是一个确定的数,是客观存在的, 与每次试验无关.

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问题 9

3.1.1

必然事件、不可能事件发生的概率分别为多少?概率

的取值范围是什么?
答 必然事件、不可能事件发生的概率分别为 1、0,概率的

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取值范围是[0,1].

问题 10

概率为 1 的事件是否一定发生?概率为 0 的事件是否

一定不发生? 为什么?
答 都不一定.因为概率是频率的稳定值,当频率的稳定值

接近 1 时,我们就说概率为 1,但也不能确定一定发生,只 是发生的可能性很大,同样的道理概率为 0 的事件也不是一 定不发生.

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3.1.1

李老师在某大学连续 3 年主讲经济学院的高等数学,下表
成绩 90分以上 80分~89分 70分~79分 60分~69分 50分~59分 50分以下 人数 43 182 260 90 62 8

是李老师这门课 3 年来的考试成绩分布:

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经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等 数学课, 用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到 小数点后三位). ①90 分以上;②60 分~69 分;③60 分以上.

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3.1.1

总人数为 43+182+260+90+62+8=645, 根据公式可

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计算出选修李老师的高等数学课的人的考试成绩在各个段 43 182 260 90 上的频率依次为: ≈0.067, ≈0.282, ≈0.403, 645 645 645 645 62 8 ≈0.140, ≈0.096, ≈0.012. 645 645
用已有的信息,可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等 数学课得分的概率如下:

①将“90 分以上”记为事件 A,则 P(A)≈0.067;
②将“60 分~69 分”记为事件 B,则 P(B)≈0.140;
③将“60 分以上”记为事件 C,则 P(C)=0.067+0.282+ 0.403+0.140=0.892.

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3.1.1

小结

随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定,

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但是在大量重复试验的情况下,它的发生呈现出一定的规律 性,可以用事件发生的频率去“测量”,因此可以通过计算 事件发生的频率去估算概率.

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3.1.1

跟踪训练 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次数n 10 20 50 100 200 500

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击中靶心次数m m 击中靶心的频率 n

8

19

44

92

178

455

(1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少?
解 (1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.

(2)由于频率稳定在常数 0.89 附近,所以这个射手射击一次, 击中靶心的概率约是 0.89.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

3.1.1

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1. 将一枚硬币向上抛掷 10 次, 其中正面向上恰有 5 次是 ( B ) A.必然事件 C.不可能事件
解析

B.随机事件 D.无法确定

正面向上恰有 5 次的事件可能发生,也可能不发生,

即该事件为随机事件.

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2.下列说法正确的是 A.任一事件的概率总在(0,1)内 B.不可能事件的概率不一定为 0 C.必然事件的概率一定为 1 D.以上均不对
解析

3.1.1

( C )

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任一事件的概率总在[0,1]内, 不可能事件的概率为 0,

必然事件的概率为 1.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表.
每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率 2 2 5 4 10 70 9 60 130 116 310 700 282 639 1 500 1 339 2 000 1 806

3.1.1

3 000 2 715

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(1)完成上面表格; (2)该油菜子发芽的概率约是多少?



(1)填入表中的数据依次为 1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,

0.913,0.893,0.903,0.905.

(2)该油菜子发芽的概率约为 0.897.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

3.1.1

随机事件 A 在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大 量重复试验后,随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率逐渐 稳定在区间[0,1]内的某个常数上(即事件 A 的概率),这个常数 越接近于 1,事件 A 发生的概率就越大,也就是事件 A 发生的 可能性就越大;反之,概率越接近于 0,事件 A 发生的可能性就 越小.因此,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量, 根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值.

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