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1.3.1二项式定理


§1.3.1 二项式定理

枣庄八中
主讲:褚衍誉

§1.3.1 二项式定理

问 题

引 入

今天星期五,50天后 是星期几? 星期六 周末了!

8

100

天后呢?

§1

.3.1 二项式定理

问 题

引 入

2 2 (a ? b)2 ? a ? 2ab ? b

? (a ? b)(a ? b) 1 2 2 0 2 ? C2a ?C2 ab? C2b 2 3 3 0 3 1 2 2 3 (a ? b) ? C3a ?C3a b?C3ab ? C3b

4 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 (a ? b)4 ? C4 ? C a ?C4a b ?C4 a b ?C4 ab 4b

n * (a ? b) ( n ? N ) 的展开式吗? 思考:能猜想出

§1.3.1 二项式定理

二 项 式 定理

0 n 1 n ?1 2 n?2 2 (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ?
k n?k k ?Cn a b ?
n

n n ? Cn b (n ? N * )

证明:由于(a ? b) 是n个 (a ? b) 相乘,每个 (a ? b) 在相乘时有 两种选择,选a或b,而且每个 (a ? b)中的a或b都选定后, 才能得到展开式的一项,因此,由分步乘法计数原理可知 (a ? b)n 的展开式共有 2n 项,其中每 ,在合并同类项之前, n-k k a b (k ? 0,1, , n) 的形式。 一项都是 对于某个k (k ?{0,1, 2, , n}) ,对应的项 a b 是由n-k (a ? b) 中选a,k个 (a ? b) 选b得到的。由于b选定后,a的 个 a n-kbk出现的次数相当于从n个 (a ? b) 选法也随之确定,因此, n-k k n k (a ? b) a 中取k个b的组合数 Cn ,这样, 的展开式中, b 共 k 有 Cn 个,将它们合并同类项,就可以得到了二项展开式
n-k k

§1.3.1 二项式定理

二 项 式 定理

0 n 1 n ?1 2 n?2 2 (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ?
k n?k k ?Cn a b ? n n ? Cn b (n ? N * )

该公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项
式叫做 (a ? b)n 的展开式,共有n+1项,其中的系数 Cnk ? k ? 0,1,2, , n? 叫做二项式系数.式中的 Cnk an?k bk 叫 做二项展开式的通项,用Tk ?1 表示,即通项为展开式的 第k ? 1 项:

注意: 在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得公式:
1 2 2 0 (1 ? x) ? Cn ?Cn x ?Cn x ?
n

Tk ?1 ? C a
k n

n?k

b

k

k k ? Cn x ?

n n ? Cn x

§1.3.1 二项式定理

例 题 讲 解

例1. 展开下列各式
(1) 1 4 (1 ? ) x
1 4 ) ? x

(2)

解: (1)(1 ?

C

4 6 4 1 ? 1? ? 2 ? 3 ? 4 x x x x 1 6 2x ?1 6 1 (2) (2 x ? ) ?( ) ? 3 (2 x ? 1)6 x x x 1 1 3 5 6 ? 3 [(2 x)6 ? C6 (2 x)5 ? C62 (2 x) 4 ? C6 (2 x)3 ? C64 (2 x) 2 ? C6 (2 x) ? C6 ] x 1 ? 3 (64 x 6 ? 6 ? 32 x 5 ? 15 ?16 x 4 ? 20 ? 8 x 3 ? 15 ? 4 x 2 ? 6 ? 2 x ? 1) x 60 12 1 ? 64 x 3 ? 192 x 2 ? 240 x ? 160 ? ? 2 ? 3 x x x

0 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 ? C ( ) ? C ( ) ? C ( ) ? C 4 4 4 4( ) 4 x x x x

1 6 (2 x ? ) x

§1.3.1 二项式定理

例 题 讲 解

例2. (1) 求 (1 ? 2 x) 7的展开式的第4项的系数; 1 9 3 ( x ? ) (2) 求 的展开式中 x 的系数. x
解: (1) 展开式的第4项是:
3

? C 7 ?1 ?(2 x) ? C 7 ? 23 ? x 3 ? 35 ? 8 x3 ? 280 x3 T3?1
4

3

3

所以展开式第4项的系数是280. (2) 展开式的通项是:
k Tk ?1 ? C9 x9? k (?

1 k k ) ? ( ?1) k C9 x9?2 k x

根据题意,得 9-2k=3, 3 所以k=3, 因此, x 3 的系数是 (?1)3 C9 ? ?84.

§1.3.1 二项式定理

课 堂 练 习

10 ( x ? 1) 1. 的展开式的第6项的系数是 (D) 6 5 6 5 A. C10 B. ?C10 C. C10 D. ?C10

a 6 ) 的展开式中,第五项是……( D ) 2. ( 2 ? a x 2 20 15 6 x A. ? B. ? 3 C. D. 15 x x a x 1 8 3 3. ( a ? a ) 的展开式中,不含a的项是第( A )

x

A.3 项

B.4 项

C.5 项

D.2项

§1.3.1 二项式定理

课 堂 小 结

(a ? b)n 的展开式 0 n 1 n ?1 2 n?2 2 (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ?
k n?k k ?Cn a b ? n n ? Cn b (n ? N * )

(1 ? x) 的展开式
n

(1 ? x) ? C ? C x ? C x ?
n 0 n 1 n 2 2 n

?C x ?
k n k

?C x

n n n

(a ? b)n 的通项

Tk ?1 ? C a
k n

n?k

b (k ? 0,1, 2,
k

, n)

§1.3.1 二项式定理

课 堂 作 业

习题1.3

2(2),4(2) 做在作业本上

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2006年3月17日
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