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新高一暑假数学衔接课程


二次函数的最值问题 1.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的最值. 二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况(当 a ? 0 时, 函数在 x ? ?

b 处取得最小值 2a

b 4ac ? b 2 4ac ? b 2 ,无最大值;当 a ? 0 时,函数在 x ? ? 处取得最大值 ,无最小值. 2a 4a 4a
2.二次函数最大值或最小值的求法. 第一步确定 a 的符号,a>0 有最小值,a<0 有最大值; 第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值. 3.求二次函数在某一范围内的最值. 例 1、求下列函数的最大值或最小值. (1) y ? 2x 2 ? 3x ? 5 ; (2) y ? ? x 2 ? 3x ? 4 .

例 2、当 1 ? x ? 2 时,求函数 y ? ? x 2 ? x ? 1的最大值和最小值.

例 3、当 x ? 0 时,求函数 y ? ? x(2 ? x) 的取值范围.

例 4、求函数 y= x 4-3 x 2+2 的最小值.

1

例 5、当 t ? x ? t ? 1 时,求函数 y ?

1 2 5 x ? x ? 的最小值(其中 t 为常数). 2 2

例 6、 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品, 试销中发现这种商品每天的销售量 m (件)与每 件的销售价 x (元)满足一次函数 m ? 162 ? 3x,30 ? x ? 54 . (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函数关系式; (2) 若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多 少?

2

【课后作业】 1.抛物线 y ? x2 ? (m ? 4) x ? 2m ? 3 ,当 m = _____ 时,图象的顶点在 y 轴上;当 m = _____ 时,图象的顶点在 x 轴上;当 m = _____ 时,图象过原点. 2.用一长度为 l 米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为________. 3.设 a ? 0 ,当 ?1 ? x ? 1 时,函数 y ? ? x2 ? ax ? b ? 1 的最小值是 ?4 ,最大值是 0,求 a , b 的 值.

4.已知函数 y =2 x +4 x -3,当 x ≤0 时,求 y 的取值范围.
2

5.已知函数 y ? x2 ? 2ax ? 1 在 ?1 ? x ? 2 上的最大值为 4,求 a 的值.

2 6.求关于 x 的二次函数 y ? x ? 2tx ? 1 在 ?1 ? x ? 1 上的最大值( t 为常数).

3


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