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1.4(上课用)


1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词

景东一中侯灿

下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)间有什么关系? (1) x ? 3; (2) 2 x ? 1 是整数; (3)对所有的 x ? R, x ? 3; (4)对任意一个 x ? Z , 2 x ? 1是整数.

短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称 量词. 用符号“ . 含有全称量词的命题,叫全称命题 . ? ”表示

例如: 1 )对任意n ? Z , 2n ? 1是奇数。 2)所有的正方形都是矩形。
常见的全称量词还有: “一切” “每一个” “任给”“所有的” 等.

通常,将含有变量x的语句用p(x)、q(x)表示, 变量x的取值范围用M表示。 全称命题:对M中任意一个x,有p(x)成立. 简记为:?x ? M,p(x)

读作“任意x属于M,有P(x)成立”。
例1 下列是全称命题吗? 判断真假; 1)所有的素数都是奇数;
2

2)?x ? R, x ? 1 ? 1; 3)对每一个无理数x,x2也是无理数.
4)所有的正方形都是矩形.

? 要判断一个全称命题为真,必须对在给定集 合的每一个元素x,使命题p(x)为真; ? 要判断一个全称命题为假,只要在给定的集 合中找到一个元素x,使命题p(x)为假。

练习:判断下列命题的真假: (1) ?? R, x 2 ? 2 ? 0; (2)

?x ? N , x ? 1;
4

1.4.2 存 在 量 词

下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)间有什么关系? (1) 2 x ? 1 ? 3; (3)存在一个 x0 ? R, 使2 x0 ? 1 ? 3; (2) x 能被2和3整除; (4)至少有一个x0 ? Z , x0能被2和3整除.
“存在一个”“至少有一个” 在逻辑中通常叫做存在量 词. 用符号“? ”表示 . 含有存在量词的命题,叫特称命题 .

例如: 1 )有一个素数不是奇数。 2)有的平行四边形是菱形。

常见的存在量词还有: “有些”“有一个”“对某个”“有的”等.

通常,将含有变量x的语句用p(x)、q(x)表示 变量x的取值范围用M表示。
简记为:?x ? M,p(x)

特称命题:“存在M中的一个x,使p(x)成立”

读作“存在一个x属于M,使P(x)成立”。

例2 下列命题是特称命题吗?判断真假; (1)有的平行四边形是菱形; 真 (2)有一个实数x0,使 x0 2 ? 2 x0 ? 3 ? 0 ; 假 (3)有一个素数不是奇数; 真

假 (4)存在两个相交平面垂直于同一条直线; 真 (5)有些整数只有两个正因数;

要判断一个特称命题为真,只要在给定的集 合中找到一个元素x,使命题p(x)为真; ? 要判断一个特称命题为假,必须对在给定集 合的每一个元素x,使命题p(x)为假。
?

练习:判断下列命题的真假:
(1) (2)

?x0 ? Z , x ? 1; ?x0 ? Q, x ? 3.
2 0 2 0

例 下列是全称命题还是特称命题?并判断真假.
(1)任意实数的平方都是正数; 全称命题(假)

(2)0乘以任何数都等于0; 全称命题(真)
(3)有的老师既能教数学,也能教物理; 特称命题(真) (4)某些三角形的三内角都小于特称命题(假) 60°;

(5)任何一个实数都有相反数. 全称命题(真)

1.4.3 含有一个量词的

命题的否定

写出下列命题的否定;
?x ? M,p(x) 1)所有的矩形都是平行四边形; ?x ? M,p(x) 2)每一个素数都是奇数; 2 ?x ? M,p(x) 3)?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0

否定: 1)存在一个矩形不是平行四边形;?x ? M,?p(x)
2)存在一个素数不是奇数;

3)?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从形式看,全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论

?x ? M,p(x) 它的否定 ?p : ?x ? M,?p(x)
全称命题 p :

例1写出下列全称命题的否定: 1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; 2)p:每一个四边形的四个顶点公圆; 2 3)p:对任意x ? Z,x 的个位数字不等于3。

写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数;?x ? M,p(x)

2)某些平行四边形是菱形; 3)?x ? R, x ? 1 ? 0
2

?x ? M,p(x)
?x ? M,p(x)

否定:
1)所有实数的绝对值都不是正数;

?x ? M,?p(x)

2)每一个平行四边形都不是菱形;
3)

?x ? R, x ? 1 ? 0
2

?x ? M,?p(x) ?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

从形式看,特称命题的否定变成全称命题. 含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论
特称命题
它的否定

p : ?x ? M,p(x) ?p : ?x ? M,?p(x)
2

例1 写 出下列特 称命题 的否定: 1)p:?x ? R,x +2x+3 ? 0;

2)p:有的三角形是等边三角形;
3)p:有一个素数含有三个正因子。

含有一个量词的命题的否定
1 全称命题p: x∈M,p(x) 它的否定 p : x∈M, p(x) 2 特称命题p: x∈M,p(x) 它的否定 p : x∈M, p(x)

全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称命题.

例2写出下列命题的否定,并判断真假: 1)p:任意两个等边三角形都是相似的;

2)p:?x ? R,x +2x+2=0;
2

课外练习:已知命题 p:? a,b,c ? (0,+∞) ,三个数 1 1 1 a ? , b ? , c ? 中至少有一个不小于 2 .试写出 b c a ? p,并证明它们的真假.
1 1 1 解 :? p:? a,b,c?(0,+∞ ),三个数 a? , b? , c? 全小于 2 . b c a 1 1 1 假设 ? p 是真命题 ,则 ? a,b,c?(0,+∞ ), a? + b? + c? <6 b c a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a? ?2 b? 2 c? ?6 ∵ a? + b? + c? = a? ?b? ?c? ≥ a b c a b c b c a ∴推出矛盾 ,由此可知 ? p 是假命题 ,∴ p 是真命题


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