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2015-2016学年高中数学 1.1.3正弦定理、余弦定理的综合应用双基限时练 新人教A版必修5


【名师一号】 (学习方略)2015-2016 学年高中数学 1.1.3 正弦 定理、余弦定理的综合应用双基限时练 新人教 A 版必修 5
1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a +c -b = 3ac,则角 B 的值 为( A. C. ) π 6 π 5π ,或 6 6 B. D. π 3 π 2π ,或 3 3
2 2 2

/>
解析 由余弦定理,得 cosB= 答案 A

a2+c2-b2 3ac 3 π = = ,又 0< B<π ,∴B= . 2ac 2ac 2 6

2.在△ABC 中,AB= 3,A=45° ,C=75°,则 BC=( A.3- 3 C.2 B. 2 D.3+ 3 3×

)

BC AB ABsinA 解析 由正弦定理,知 = ,∴BC= = =3- 3. sinA sinC sinC 6+ 2 4
答案 A 3.在△ABC 中,已知 a=5 2,c=10,A=30°,则 B 等于( A.105° C.15° B.60° D.105°,或 15° )

2 2

1 10× 2 a c csinA 2 解析 先用正弦定理求角 C,由 = ,得 sinC= = = . sinA sinC a 2 5 2 又 c>a,∴C=45°,或 135°,故 B=105°,或 15°. 答案 D 4.已知三角形的三边之比为 a:b:c=2:3:4,则此三角形的形状为( A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.等腰直角三角形 )

解析 设三边长为 2a,3a,4a(a>0),它们所对的三角形内角依次为 A,B,C. ?2a? +?3a? -?4a? 1 则 cosC= =- <0, 2×2a×3a 4 ∴C 为钝角.故该三角形为钝角三角形. 答案 B
1
2 2 2

5.在△ABC 中,下列关系中一定成立的是( A.a>bsinA C.a<bsinA 解析 在△A BC 中,由正弦定理,知

) B.a=bsinA D.a≥bsinA

bsinA a= ,∵0<sinB≤1,∴a≥bsinA. sinB
答案 D 6.△ABC 中,已知 2A=B+C,且 a =bc,则△ABC 的形状是( A.两直角边不等的直角三角形 B.顶角不等于 90°,或 60° 的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析 解法 1: 由 2A=B+C,知 A=60°. 又 cosA=
2 2 2 2 b2+c2-a2 1 b +c -bc ,∴ = 2bc 2 2bc 2 2

)

∴b +c -2bc=0.即(b-c) =0,∴b=c. 故△ABC 为等边 三角形. 解法 2:验证四个选项知 C 成立. 答案 C 7.在△ABC 中,AC= 3,A=45°,C=75°,则 BC 的长为____________. 解析 由 A+B+C=180°,求得 B=60°.



BC AC ACsinA = ? BC= = sinA sinB sinB

3× 3 2

2 2

= 2.

答案

2

8.△ABC 中,已知 a= 2,c=3,B=45°,则 b=________. 解析 由余弦定理,得 b =a +c -2ac cosB=2+9-2× 2×3× 答案 5
2 2 2

2 =5,∴b= 5. 2

1 9.在△ABC 中,a=2 3,cosC= ,S△ABC=4 3,则 b=________. 3 1 2 2 1 解析 ∵cosC= ,∴sinC= .又 S△ABC= absinC, 3 3 2 1 2 2 ∴4 3= ×2 3×b× ,∴b=3 2. 2 3
2

答案 3 2 10.在△ABC 中,a+b=10,而 cosC 是方程 2x -3x-2=0 的一个根,求△ABC 周长的 最小值. 解 1 2 2 解方程 2x -3x-2=0,得 x1=- ,x2=2,而 cosC 为方程 2x -3x-2=0 的一个 2
2

1 2 2 2 2 2 2 2 2 根,∴cosC=- .由余弦定理 c =a +b -2abcosC,得 c =a +b +ab.∴c =(a+b) -ab 2 =100-ab=100-a(10-a)=a -10a+100=(a-5) +75≥75, ∴当 a=b=5 时, cmin=5 3. 从而三角形周长的最小值为 10+5 3. 11.在△ABC 中,如果 lga-lgc=lgsinB=-lg 2,且 B 为锐角,试判断此三角形的 形状. 解 ∵lgsinB=-lg 2, ∴sinB= 2 .又∵B 为锐角, ∴B=45°.∵lga-lgc=-lg 2, 2
2 2

∴ =

a c

2 . 2

sinA 2 由正弦定理,得 = . sinC 2 即 2sin(135°-C)= 2sinC. ∴2(sin135°cosC-cos135°sinC)= 2sinC. ∴cosC=0, ∴C=90°,∴A=B=4 5°. ∴△ABC 是等腰直角三角形. 12.a,b,c 分别是△ABC 中角 A,B,C 的对边,且(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC 18 2 -sinA)= sinBsinC,边 b 和 c 是关于 x 的方程 x -9x+25cosA=0 的两根(b>c). 5 (1)求角 A 的正弦值; (2)求边 a,b,c; (3)判断△ABC 的形状. 解 18 (1)∵(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)= sinBsinC, 5

18 由正弦定理,得(b+c+a)(b+c-a)= bc, 5 8 2 2 2 整理,得 b +c -a = bc. 5

b2+c2-a2 4 3 由余弦定理,得 cosA= = ,∴sinA= . 2bc 5 5
(2)由(1)知方程 x -9x+25cosA=0 可化为 x -9x+ 20=0,
3
2 2

解之得 x=5 或 x=4,∵b>c,∴b=5,c=4. 由余弦定理 a =b +c -2bccosA,∴a=3. (3)∵a +c =b ,∴△ABC 为直角三角形.
2 2 2 2 2 2

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