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2015大连市高三联考数学(理)试题


2014—2015 学年度上学期期末考试高三年级 数学科(理科)参考答案 一.选择题 题号 答案 1 A 10 2 B 3 D 14. 4 C 5 D 6 C 15. 7 A 8 B 16. 9 10 A 35 C 11 A 12 B

二.填空题 13.

25 13

72 25

1

7、本小题满分 12 分 解(Ⅰ) f (x) ? 2cos
2

7? x? sin(2 x ? ) (1 ? cos2 ? ) x(sin2 ? cosx 6

7? cos2 ? sin x ) 6

7? 6

? 1+

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1+sin(2 x ? ) . 2 2 6

∴函数 f ( x) 的最大值为.

1, 即 2 x ? 当且仅当sin(2 x ? ) ? 6

?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) ,即 x ? k ? ?

?
6

,k ? Z 时取到。

所以函数最大值为 2 时的取值集合为 ? x x ? k? ?

? ?

?

? ,k ?Z? . 6 ?

??(6 分)

(Ⅱ)由题意, f ( A) ? sin(2 A ?

?
6

) ?1 ?

3 ? 1 ,化简得 sin(2 A ? ) ? . 2 6 2

? A ? ?0, ? ? ,? 2 A ?

?

? ? 13? ? 5? ?( , ) , ∴ 2A ? ? , ∴A ? . 3 6 6 6 6 6

2 2 2 在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos

?
3

? (b ? c) 2 ? 3bc .

由 b ? c ? 2 ,知bc ? (

b?c 2 ) ? 1 ,即 a 2 ? 1 .∴当 b ? c ? 1 时,取等号。 2

又由 b+c>a 得 a<2.所以 a 的取值范围是[1,2 ) 。??????(12 分) 18、本小题满分 12 分 解: (1)从茎叶图可以得到:甲班的平均分为 89 分;乙班平均分为 89 分。甲班的方差>乙班的方差 所以甲乙两班平均分相同,但是乙班比甲班成绩更集中更稳定。??(4 分) (本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分) (2)事件“从甲班 10 名学生和乙班 10 名学生中各抽取一人,已知有人及格”记 A; 事件“从甲班 10 名学生和乙班 10 名学生中各抽取一人,乙班同学不及格”记 B 则 P ? B / A? ?

P ? A? B? 2 ? P ? A? 7

????????(8 分)

(3)X 的取值为 0,1,2,3,

分布列为 X P 0 1 2 3

2 15 7 5

19 45
????????(12 分)

16 45

4 45

期望 E ? X ? ? 19、本小题满分 12 分

证明: (1)底面平行四边形 ABCD 中,连接 AC,BD,设 AC 又 DD1 平面 ABCD,所以 DD1AC,所以 AC 平面 BDD1, 点,

BD ?O 因为 AB=AD, ?BAD ? 60 ,所以 ACBD
又因为四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱 DD1 与 BB1 延长后交于一

所以 BB1 ? 平面 BDD1,所以 ACBB1。即 BB1AC 。????(4 分) (2)因为四边形 ABCD 为平行四边形, 所以OD ? BD . 由棱台定义及 AB=AD=2A1B1 知 D1B1//DO,且 D1B1=DO, 所以边四形 D1B1OD 为平行四边形, 所以 DD1//B1O 。因为 DD1 平面 ABCD,所以 B1O 平面 ABCD,即 B1OAO, B1OBO

1 2

由(1)知 ACBD 于点 O,即 AOBO, 以 DB,AC,OB1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系如图:则 A(0,- 3 ,0),B(1,0,0) ,D(-1,0,0),设 B1(0,0,h) ,则 D1(-1,0,h) ;设 A1(a,b,h) 则 DA =(1,- 3 ,0), D1 A1 =(a+1,b,0) , 因为 D1 A1 = (h>0)

1 DA , 2
D1 A1 z B1 D F A C1

所以 a=-

1 1 3 3 ,b= ? . 即 A1(- , ? ,h) 。 2 2 2 2

所以 AA1 ? (? ,

1 3 , h) , AB ? (1, 3,0) 2 2

设平面 A1AB 的一个法向量为 n ? (x, y, z) ,

O B x

Cy

? 1 3 ? y ? hz ? 0 ?? x ? ? AA1 ? n ? 0 则? ,即 ? 2 2 ? ?x ? 3y ? 0 ? AB ? n ? 0 ?
取 y= 3 ,则 x=-3,z= ?

3 3 ,即 n ? (?3, 3, ? ) ,又已知平面 ABC 的一个法向量 m ? (0,0,1) h h

由二面角 A1-AB-C 大小为 60,可得 cos ? n , m? ?

3 h 9?3? 9 h2

?

3 1 ,解得:h= 2 2

即棱台的高为

3 2

因为 B1OAO, B1OBO,AOBO 所以三棱锥 B1-ABO 外接球的直径就是以 OA,OB,OB1 为三条棱的长方体的体对角线,长为

? ?
3

2

5 ?3? ? 12 ? ? ? ? , 所以 2 ?2?

2

5 外接球半径 R= , 4

4 4 ? 5 ? 125 所以外接球体积为V ? ? R3 ? ? ? ? ? ? .???(12 分) 3 3 ?4? 48
x2 y 2 ? ?1 4 3
????????(2 分)

3

20、本小题满分 12 分,解: (1)椭圆方程

(2)当直线 L 与 x 轴垂直时,B1(1,

3 3 ),B2(1,- ),又 F1(-1,0), 2 2

此时 BF 1 1 ?B2F 1 ? 0 ,所以以 B1B2 为直径的圆不

经过 F1。 不满足条件。 当直线 L 不与 x 轴垂直时, 设 L: y=k(x-1)

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 即? 3 ? 4k 2 ? x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4
8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2

因为焦点在椭圆内部,所以恒有两个交点。

设 B1(x1,y1),B2(x2,y2),则 x1 ? x2 ?

因为以 B1B2 为直径的圆经过 F1,所以 B1F 1 ? B2 F 1 ? 0 ,又 F1(-1,0) x1x2+(1-k )(x1+x2)+1+k =0
2 2

所以(-1-x1)(-1-x2)+y1y2=0,即(1+k )
2 2 2 2

2 所以解得 k ?

9 7

由?

? y2 ? 4x ? y ? k ( x ? 1)

得 k x -(2k +4)x+k =0 A2(x4,y4) , ????(8 分) 则

因为直线 L 与抛物线有两个交点,所以 k ? 0

设 A1(x3,y3) ,

2k 2 ? 4 4 x3 ? x ? 4? 2 ? 2 , x x ? 1 2 k k
(3)存在定圆

所以 A1 A 3 ?x 4 ? 32 ? x 4 p ? 2?

4 64 ?2? 2 k 9

N ,使得 M 与 N 恒相切,其方程为:(x+1)2+y2=16,圆心是左焦点 F1.

由椭圆的定义可知: MF 1 ? MF 2 ? 2a ? 4,? MF 1 ? 4 ? MF 2 所以两圆相内切。 21、本小题满分 12 分 解: (1) f ?( x) ? 数,符合要求。 ????????(12 分)

1 1 ax 2 ? x ? 1 ? 2 ?a ? ,x [1,+) x x x2
2

显然 a0 时, f ?( x ) 0,函数 f(x)在[1,+)上是单调增函

当 a<0 时,令 g(x)=ax +x-1, 当 x ?+时 g(x) x ?-时, 所以函数 f(x)在[1,+)上只能是单调减函数。

? ?? ? 0 ? 1 所以 ? ? 1 ? 4a ? 0 或 ? g (1) ? 0 , 解得 a ? ? 4 ? 1 ?? ?1 ? 2a
综上:满足条件的 a 的取值范围是? ??, ? ? 4

? ?

1? ?

?0, ?? ? 。????(3 分)

(2)不存在满足条件的正实数 a。因为由 (1)知,a>0 时 f(x)在[1,+)上是单调增函数,所以 f(x)在[1,2]上是单调增函 数。所以对于任意 x1 ? ?1, 2? ,f(1) f(x1 ) f(2),即 f(x1)? ?1 ? a, ln 2 ?

? ?

1 ? ? 2a ? ; 2 ?

g ?( x) ?

2 ?1 ? x 2 ?

?1 ? x2 ?

2

,当 x ? 1 ,2 时, g ?( x) ? 0 ,所以 g(x)在[1,2]上是单调减函数。

? ?

所以当 x2 ??1 ,2 ? 时, g ( x2) ? ? ,2 ? ,若对于任意 x1 ? ?1, 2? ,总存在 x2 ??1 ,2 ? ,使得 f(x1)=g(x2)成立, 5 则 ?1 ? a, ln 2 ?

?9 ?

? ?

? ?

1 ? ?9 ? ? 2a ? ? ? , 2 ? ,此时 a 无解。????(7 分) 2 ? ?5 ?
2 xn ,所以 x1>0 时,0<xn+11,? n ? N ? ? 2 xn ? 1

(3)因为 xn ?1 ? g ( xn) ?1 ?

(当且仅当 xn=1 时取等号) 若 xn=1,则 x1=1,这与已知矛盾,所以 0 ? xn ? 1 。

xn?1 ? xn ? xn ?1 ? xn ?

1 ? xn 1 1 1 1 2 ?1 ? ? ? ? ? 2 xn ? 1 4 x ? 1 ? 2 ? 2 4 2 2 ? 2 8 n xn ? 1

(两个等号不能同时成立)

? xn ? xn?1 ? 所以
xn xn ?1
2

2

?

xn ?1 ? xn 2 ?1 ? 1 1 ? ( xn ?1 ? xn ) ? ? ? ? xn xn ?1 8 ? xn xn ? 1 ?
2

? x1 ? x2 ?
x1 x2 ? ?

?x ? x ? ? 2 3
x2 x3

?

?x ? x ? ? n n ?1
xn xn ?1

2

2 ? 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 8 ?? x1 x2 ? ? x2 x3 ? 2 ?1? 1 1 ? ? ? ? 8 ? x1 xn ?1 ?

?1 1 ?? ?? ? ?? ? xn xn ?1 ? ?

又 xn ?1 ? xn ? xn ?1 ? xn ? 所

1 1 1 ? xn ? xn ? 1 又 x1 ? ? 0 所以 xn+1>xn ,所以 2 2 2 xn ? 1


? x1 ? x2 ?
x1 x2

2

?x ? x ? ? 2 3
x2 x3

2

?

?x ? x ? ? n n ?1
xn xn ?1

2

3 ?1 2 ?1 5 ? ? 2 ? 1? ? 2 ? 8 8 16

????????(12 分) 另解:因为 xn ?1 ? g ( xn ) ? 1 ?

2 xn ? ,所以 x1>0 时,0<xn+11,? n ? N ? 2 xn ? 1

(当且仅当 xn=1 时取等号)

若 xn=1,则 x1=1,这与已知矛盾,所以 0 ? xn ? 1 。

又 xn ?1 ? xn ? xn ?1 ? xn ?

1 ? xn ? 0 所以 xn+1>xn , xn 2 ? 1

所以

1 ? xn ? 1 2

xn ?1 ? xn ?

2 xn ? xn x2 ? 1

设 xn=t,则 t? ? ,1?

?1 ? ?2 ?

2t ?t 设 h(t ) ? 2 t ?1

,则 h?(t ) ?

? t 2 ? 1?

2(1 ? t 2 )
2

?1 ?

?t4 ? 4t2 ? 1

? t2 ? 1?

2

?

? ?t 2 ? 2? ? 5
2

? t2 ? 1?

2

?0

所以函数 h(t)在 t? ? ,1? 时是单调减函数,所以 h(t ) ? h( ) ?

?1 ? ?2 ?

1 2

2x 3 3 即 xn ?1 ? xn ? 2 n ? xn ? 10 x ?1 10

? xn ? xn?1 ? 所以
xn xn ?1
2

2

?

xn ?1 ? xn 3?1 1 ? ( xn ?1 ? xn ) ? ? ? ? xn xn ?1 10 ? xn xn ? 1 ?
2

? x1 ? x2 ?
x1 x2

?x ? x ? ? 2 3
x2 x3
因为

?

?x ? x ? ? n n ?1
xn xn ?1

2

?

3 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 10 ?? x1 x2 ? ? x2 x3 ?
1 ? xn ?1 ? 1, 2
2

?1 1 ?? 3 ? 1 1 ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? xn xn ?1 ? ? 10 ? x1 xn ?1 ?

x1 ?

1 , xn ?1 ? xn 2
2

所以

所以

? x1 ? x2 ?
x1 x2

2

?x ? x ? ? 2 3
x2 x3

?

?x ? x 1 ? ? n n?
xn xn ? 1

?

3 3 5 ? 2 ? 1? ? ? 10 10 16

22、本小题满分 10 分 解: 连接 OD,BC,设 BC 交 OD 于点 M. 因为 OA=OD,所以 OAD=ODA;又因为 OAD=DAE,所以 ODA=DAE 所以 OD//AE;又 因为 ACBC,且 DEAC,所以 BC//DE。 所以四边形 CMDE 为平行四边形,所以 CE=MD 由

AC 3 3 5 5 3 ? ,设 AC=3x,AB=5x,则 OM= x ,又 OD= x ,所以 MD= x - x =x AB 5 2 2 2 2

所以 AE=AC+CE=4x 因为 OD//AE,所以

AF AE 4 x 8 = ? ? 。 FD OD 5 x 5 2

23、本小题满分 10 分

? ? x ? ?2 ? ? 2 解:曲线 C 的直角坐标方程为 y =2ax (a>0) 将直线 l 的参数方程化为 ? ? y ? ?4 ? ? ?
2 代入曲线 C 的直角坐标方程得: t ? ? 4 2 ? 2a t ? ? 16 ? 4a ? 0

2 t ?, 2 (t ?为参数) 2 t ?. 2

1 2

?

?

, 因为交于两点,所以 ? 0 ,即 a>0 或 a<-4.

设交点 M,N 对应的参数分别为t1? , t 2? .则 t1? ? t2? ? 2 4 2 ? 2a , t1?t2? ? 2 ?16 ? 4a ? 若| PM | 、 | MN | 、 | PN | 成等比数列,则 t1? ? t2? 所以满足条件的 a=1. 24、本小题满分 10 分 解: (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ,不等式的解集是以下不等式组解集的并集: ????? (10 分)
2

?

?

? t1?t2? ,

解得 a=1 或 a=-4(舍)

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7

解得函数 f ( x) 的定义域为 (??,?3) ? (4,??) ;????(5 分) (2)不等式 f ( x) ? 2 即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 ,

? x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,
不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 解集是 R,

? m ? 4 ? 3, m 的取值范围是 (??,-1]

????(10 分)


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