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湖北省枣阳市鹿头中学2016届高三上学期期中考试数学理试题


枣阳市鹿头中学 2015-2016 学年高三上学期期中考试数学试题 (理 科)
时间:120 分钟 分值 150 分 命题:郑国伟

第 I 卷(选择题)
一、选择题(12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.函数 f ? x ? ? ln( x ? 1) ? A. (0,1) B. (1,2)

2 的零点所在的

大致区间是( ) . x
C. ? 2,3? D. ? 3, 4 ? )

2.执行如图 1-2 所示的程序框图,若输入 A 的值为 2 ,则输出的 P 值为(

A. 2

B. 3

C.

4

D. 5 个单位后与原图象重合,则 ?

3.设 ? >0 ,函数 y 的最小值为( A.

?? 4? ? ? sin ? ? x ? ? ? 2 图象向右平移 3? 3 ?
4 3 2 3
( )

) B. C. D.

3 2
x ? (?

3

?

4.已知

4 , 0), cos x ? , 则 tan 2 x ? 2 5 7 B、 24 0 0

24 A、 7 -

7 C、 24
0

24 D、 7


5.若│ a │= 2 sin 15 ,│ b │= 4 cos15 , a 与 b 的夹角为 30 ,则 a ? b 的值是( A.

3 2

B. 3

C.2 3

D.

1 2

6. sin

?
12

? 3 cos

?
12

的值为

(

)

A.0

B. ? 2

C.2

D. 2

7. .设 G 是 ?ABC 的重心,且(56 sin A) GA ? (40 sin B) GB ? (35 sin C) GC ? 0 ,则 角 B 的大小为 ( ) A.45° B.60° C.30° D.15° 8.函数 A. 1

f ( x) ? 2 x | log 0.5 x | ?1 的零点个数为
B. 2 C. 3 D. 4

9.已知 a 为实数,若 (A)1

1 ? 2i 3 ) ? ,则 a ? ( a?i 2 1 1 (B) ? 2 (C) (D) 3 2

10.已知 f ? x ? 是 R 上的偶函数,若将 f ? x ? 的图象向右平移一个单位,则得到一个奇函数的 图象,若 f ? 2 ? ? ?1则 f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ????? f ? 2013? ? A.1 B.0 C. ?1 D. ?1005.5 11.执行如图所示的程序框图,则输出的 i 的值是

A.3

B.4

C.5

D.6

12.1 升水中有 2 只微生物,任取 0.1 升水化验,含有微生物的概率是( ) A. 0.01 B. 0.19 C. 0.1 D. 0.2

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则

S5 =________. S2


14.若命题“ ?x ? R, ax ? ax ? 2 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是
2

15.在锐角 AOB 的边 OA 上有异于顶点 O 的 6 个点,边 OB 上有异于顶点 O 的 4 个点,加上 点 O ,以这 11 个点为顶点共可以组成 个三角形(用数字作答) . 16.已知在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的 中点,则 CP ? CB ? CP ? CA ? _________. 三、解答题(6 小题,共 70 分) 17. (12 分)在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

1 . 3

18. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? log 2 (Ⅰ)求 a 的值与函数 f ( x ) 的定义域;

1 ? ax (a 为常数)是奇函数. x ?1

(Ⅱ)若当 x ? (1,??) 时, f ( x) ? log2 ( x ? 1) ? m 恒成立.求实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) (1)若 a ? 0, b ? 0 ,化简:

(2a 3 b 2 ) ? (?6a 2 b 3 ) ?3a b
1 6 5 6

2

1

1

1

? (4a ? 1)

(2)若 log 2 3 ? a , log5 2 ? b ,试用 a , b 表示 log 2 45

x2 y2 3 ? 2 ? 1(0<b<2) 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 的离心率等于 , 抛物线 x2 ? 2 py 4 b 2
(p>0). (1)若抛物线的焦点 F 在椭圆的顶点上,求椭圆和抛物线的方程; (II)若抛物线的焦点 F 为 ? 0, ? ,在抛物线上是否存在点 P,使得过点 P 的切线与椭圆相交 于 A,B 两点,且满足 OA ? OB ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

? ?

1? 2?

21.(11 分)已知函数 f(x)=

2? x ;(5 分) x ?1

(1)用定义证明:函数 f(x)在 (?1, ??) 上为减函数; (2)是否存在负数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 3x0 成立,若存在求出 x0 ;若不存在,请说明理由。

22.(12 分)在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干 堆“正三棱锥”形展品,其中第一堆只有一层,就一个球,第 2、3、4、?堆最底层(第一层) 分别按下图方式固定摆放,从第二层开始每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆的第 n 层 就放一个乒乓球,以 f ( n) 表示第 n 堆的乒乓球总数.

(1)求 f (3) ;
2 2 2 2 (2)求 f ( n) (用 n 表示) (可能用到的公式: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) ) 6

数学答案 选择 1-5.BCAABBB 填空 13.-11 14. ? ?8, 0? . 15.120 16.4 解答 17 . (Ⅰ) sin A ? 7-12BBDBB

3 3

(Ⅱ) S?ABC ?

1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

AC ? (2)由(1)和正弦定理得 sin B

BC AC sin A BC ? ? si An , sin B

6? 1 3

3 3 ?3 2


sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 。

所以 S?ABC ?

1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3 。

解: (Ⅰ) 由C ? A ?

? ? B , 且 C ? A ? ?? B , ∴A? ? , ∴s in A ? s in ( 2 4 2

? B 2 B ? ) ?( c o s s in ? ) 4 2 2 2

B , 2

2 ∴ sin A ?

1 1 3 (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3

(Ⅱ)如图,
C

A

B

由正弦定理得

AC BC ? sin B sin A

∴ BC ?

AC sin A ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

∴ S?ABC ?

18. (1) a ? 1 , ?? ?,?1? ? ?1,??? ; (2) (-? ,1 .

?

19. (1)1

(2)

2ab ? 1 b
2 1 1 1

(1)指数幂的运算,可利用运算性质,常数与常数运算,底数相同运算,本题可

2 ? ( ?6) a 3a 2 b2b3 先计算 ,再算 1 再计算 5 ,最后合并同类项 ?3 a6 b6

( 2 ) 对 数 运 算 性 质 的 考 查 , 因 为 log 2 5 ?

1 1 g 4 5分 解 成 ? , 而 l o2 log5 2 b

l o2 g ? 5

l 2o g ? 9
2

2
1

l? o g 5 2 将条件代入得出答案。 2 log 3
1 1

试题解析: (1)

(2a 3 b 2 ) ? (?6a 2 b 3 ) ?3a b
1 6 5 6

2 ? (?6) a 3 ? (4a ? 1) ? ? ?3

2 1 ? 2 1 6

?b2
5 6

1 1 ? 3

? (4a ? 1)

a b

? 4?

a b a b
1 6

7 6

5 6 5 6

? (4a ? 1) ? 4a ? (4a ? 1) ? 1

(7 分)

o g5 (2)log2 45 ? log2 (5 ? 9) ? log2 5 ? log2 9 ? log2 5 ? 2log2 3 , 而 log5 2 ? b , 则l 2
∴ log 2 45 ? 2a ? 【答案】

?

1 , b

1 2ab ? 1 ? . b b

(12 分)

21.(1)详见解析 【解析】

(2)不存在

试题分析: (1) 定义法证明函数是减函数的步骤: 指定区间上取 x1 ? x2 , 计算 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 化简使其结果大于零,说明函数是减函数(2)分别求两函数值域,两函数值域无交集则满足 方程的 x0 值不存在 试题解析: (1)任取

x1 , x2 ? (?1, ??) ,且 x1 ? x2

∵ ∴函数 f(x)在 (?1, ??) 上为减函数 (2)不存在 假设存在负数 ,使得 成立,则 即 (5 分)

与 所以不存在负数 ,使得

矛盾, 成立。 (11 分)

另解:

,由

得:





,所以不存

在。 22 . (1) f (3) =10 (2) 在 求 f(n) 时 , 可 以 观 察 归 纳 出 f(n) 的 递 推 关 系

f (n) ? f (n ? 1) ? 1 ? 2 ? ... ? n ?

n(n ? 1) , 2 1 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ? n(n ? 1) . 12 4

然 后 再 采 用 叠 加 求 通 项 的 方 法 求 出 f ( n) ?

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