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江苏省邗江中学(集团)2012-2013学年高二上学期期末考试数学试题(新疆班)


江苏省邗江中学(集团)2012-2013 学年度第一学期 高二数学期终试卷新疆班
第Ⅰ卷(填空题 共 70 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
2 1、对于命题 p : ?x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0. 则 ?p 为

。 。

2、 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? , 集合 A ? ?1,3,5? ,B ? ?1, 2? , 则 (CU A) ? B ? 3、函数 y ?

1 3 sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是 2 2



4、已知 a ? 5 ? 1 ,函数 f ( x) ? loga (1? x) ,若正实数 m 、 n 满足 f (m) ? f (n) ,则 m 、 2 。 n 的大小关系为 5、已知向量 a 和 b 的夹角为 120 , | a |? 1,| b |? 3 ,则 | 2a ? b |?
0

?

?

?

?

?

?

。 。 。

6、曲线 C: f ( x) ? sin x ? e ? 2 在 x ? 0 处的切线方程为
x

7、已知 ? 是第二象限角,且 sin( ? ? ? ) ? ? , 则 tan 2? ?
2 8、命题 p : a ? M ? x x ? x ? 0 ; 命题 q : a ? N ? x x ? 2 , p 是 q 的

?

?

3 5

?

?

条件

(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”。 、 、 、 ) 9、已知扇形的周长为 8cm ,则该扇形面积的最大值为

cm 2 。

10、在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? 5, b ? 7,cos C ?

4 ,则角 5

A 的大小为
11、若函数 y ?
2


[

mx ? 1 的定义域为 R, 则实数 m 的取值范围是 。 mx ? 4mx ? 3 12、若函数 f ( x) ? ax ? x ? a (a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是 。 ??? ??? ??? ? ? ? ? S 13 、 若 点 O 是 △ ABC 所 在 平 面 内 一 点 , 满 足 3OA ? OB ? OC ? 0 , 则 ?ABO 的 值
S ?ABC
是 。

14、 若关于 x 的方程

| x| 则实数 k 的取值范围是 ? kx2 有四个不同的实数根, x ?1



第Ⅱ卷(解答题 共 90 分) 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15、(本小题满分 14 分)
2 已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 cos ?x ? sin ?x(? ? 0) 且函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? .

(1)求 ? 的值; (2)若将函数 y ? f ( x ) 的图像向右平移

?
12

个单位长度,再将所得到的图像上各点的横坐

标伸长到原来的 4 倍(纵坐标不变),得到函数 y ? g( x ) 的图像,求函数 y ? g( x ) 的单
1

调递减区间。 16、(本小题满分 14 分) 已 知 命 题 p : 指 数 函 数 f ( x) ? (2a ? 6)x 在 R 上 单 调 递 减 , 命 题 q : 关 于 x 的 方 程

x 2 ? 3ax ?2a 2 ? 1 ? 0 的两个实根均大于 3.若“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为假,求实数 a 的
取值范围.

17、(本小题满分 15 分) 如图,在 ?ABC 中, BC 边上的中线 AD 长为 3,且 cos B ? (Ⅰ)求 sin ?BAD 的值; (Ⅱ)求 AC 边的长.

10 1 , cos ?ADC ? ? . 8 4
A

B

D
第 16 题

C

18、 (本小题满分 15 分) 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新 工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨, 最多为 600 吨,月处理成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似的表示为:

y?

1 2 x ? 200 x ? 80000 ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元. 2

(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴 多少元才能使该单位不亏损?

19、 (本小题满分 16 分)

已知函数 f ( x) ? 2 x ?

1 . 2| x|

(1)若 f ( x ) ? 2 ,求 x 的值;
2] (2)若 2t f (2t ) ? mf (t) ≥0 对于 t ?[1, 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2

20、 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? (2a ?1) x ? a ln x (1) 当 a=1 时,求函数 f(x)的单调增区间 (2) 求函数 f(x)区间[1,e]上的最小值; (3) 设 g ( x) ? (1 ? a) x ,若存在 x0 ? ? , e ? ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值 e 范围。

?1 ? ? ?

3

江苏省邗江中学(集团)2012-2013 学年度第一学期 高二数学期终答案
第Ⅰ卷(填空题 共 70 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
2 1、对于命题 p : ?x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0. 则 ?p 为

。 ?x ? R ,均

2 有 x ? x ? 1 ≥0;

2、 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? , 集合 A ? ?1,3,5? ,B ? ?1, 2? , 则 (CU A) ? B ? {2} 3、函数 y ?



1 3 sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是 2 2

。?

4、已知 a ? 5 ? 1 ,函数 f ( x) ? loga (1? x) ,若正实数 m 、 n 满足 f (m) ? f (n) ,则 m 、 2 。m>n n 的大小关系为 5、已知向量 a 和 b 的夹角为 120 , | a |? 1,| b |? 3 ,则 | 2a ? b |?
0

?

?

?

?

?

?

。 19 。 。?

6、曲线 C: f ( x) ? sin x ? e x ? 2 在 x ? 0 处的切线方程为 y=2x+3 7、已知 ? 是第二象限角,且 sin( ? ? ? ) ? ? , 则 tan 2? ?

2 8、命题 p : a ? M ? x x ? x ? 0 ; 命题 q : a ? N ? x x ? 2 , p 是 q 的

?

?

3 5

24 7
条件

?

?

充分不必要;

(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”。 、 、 、 )

cm 2 。 4 4 10、在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? 5, b ? 7,cos C ? ,则角 5
9、已知扇形的周长为 8cm ,则该扇形面积的最大值为

? 4 mx ? 1 11、若函数 y ? 的定义域为 R, 则实数 m 的取值范围是 mx2 ? 4mx ? 3 3 m< 4 12、若函数 f ( x) ? ax ? x ? a (a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是
A 的大小为


。0 ≤



{a | a ? 1}

13、 若点 O 是△ABC 所在平面内一点, 满足 3OA ? OB ? OC ? 0 , 则 14 、 若 关 于 x 的 方 程 k<-4

??? ??? ??? ? ? ?

?

S ?ABO 的值是 S ?ABC

1 :5

| x| ? kx2 有 四 个 不 同 的 实 数 根 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 x ?1

4

第Ⅱ卷(解答题 共 90 分) 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15、(本小题满分 14 分)
2 已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 cos ?x ? sin ?x(? ? 0) 且函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? .

(1)求 ? 的值; (2)若将函数 y ? f ( x ) 的图像向右平移

?
12

个单位长度,再将所得到的图像上各点的横坐

标伸长到原来的 4 倍(纵坐标不变),得到函数 y ? g( x ) 的图像,求函数 y ? g( x ) 的单 调递减区间。

16、(本小题满分 14 分) 已知命题 p : 指数函数 f ( x) ? (2a ? 6)x 在 R 上单调递减,命题 q :
2 2 关于 x 的方程 x ? 3ax ?2a ? 1 ? 0 的两个实根均大于 3.若“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”

为假,求实数 a 的取值范围.

17、(本小题满分 15 分) 如图,在 ?ABC 中, BC 边上的中线 AD 长为 3,且 cos B ? (Ⅰ)求 sin ?BAD 的值; (Ⅱ)求 AC 边的长.

10 1 , cos ?ADC ? ? . 8 4
A

B

D
第 16 题

C

5

解:(Ⅰ)因为 cos B ?

10 3 6 ,所以 sin B ? ?????????2 分 8 8

又 cos ?ADC ? ? 分

15 1 ,所以 sin ?ADC ? ????????????????? 4 4 4

所以 sin ?BAD ? sin( ?ADC ? ?B) ? sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B

?

15 10 1 3 6 6 ????????????????7 分 ? ? (? ) ? ? 4 8 4 8 4

( Ⅱ ) 在 ?ABD 中 , 由 正 弦 定 理 , 得

AD BD 3 BD ,即 ,解得 ? ? sin B sin ?BAD 3 6 6 8 4
中 , 由 余 弦 定 理 , 得

BD ? 2 ??10 分 故 DC ? 2 ,







?ADC

AC 2 ? AD 2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC cos ?ADC
= 32 ? 22 ? 2 ? 3 ? 2 ? (? ) ? 16 ,所以 AC ? 4 ????????????14 分 18、 (本小题满分 15 分) 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新 工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨, 最多为 600 吨,月处理成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似的表示为:

1 4

y?

1 2 x ? 200 x ? 80000 ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元. 2

(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴 多少元才能使该单位不亏损? 解: (1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为:

y 1 80000 ? x? ? 200 ???????????????????4 分 x 2 x

?2

1 80000 x? ? 200 ? 200 , 2 x
1 80000 ,即 x ? 400 时, x? 2 x

当且仅当

才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元.???????8 分 (2)设该单位每月获利为 S , 则 S ? 100 x ? y ?????????????????????????10 分

6

1 1 ? 100 x ? ( x2 ? 200 x ? 80000) ? ? x 2 ? 300 x ? 80000 2 2 1 ? ? ( x ? 300)2 ? 35000 2 因为 400 ? x ? 600 ,所以当 x ? 400 时, S 有最大值 ?40000 . 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40000 元,才能不亏损.????16 分
19、 (本小题满分 16 分)

已知函数 f ( x) ? 2 x ?

1 . 2| x|

(1)若 f ( x ) ? 2 ,求 x 的值;
2] (2)若 2t f (2t ) ? mf (t) ≥0 对于 t ?[1, 恒成立,求实数 m 的取值范围.
解: (1) 当x ? 0时,f ? x ? ? 0;当x ? 0时, f ? x ? ? 2 x ? 由条件可知, 2 x ?

1 . 2x

?????.2 分

1 ? 2, 即 2 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 0, 解得 2 x ? 1 ? 2. ????6 分 x 2

∵ 2 x ? 0, ? x ? log 2 1 ? 2

?

?
1 ? 1? ? ? m? 2t ? t ? ? 0, 2t ? 2 ? 2 ? ?

????..8 分

(2)当 t ?[1,2]时,2t ? 22t ? 即 m 22t ?1 ? ? 24t ?1 .

? ?

?????10 分

?

? ?

?

? 22t ?1 ? 0, ?m ? ? 22t ? 1?. ?t ?[1,2], ?? ?1 ? 22t ? ?[?17, ?5],
故 m 的取值范围是 [?5, ??) 20、 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? (2a ?1) x ? a ln x (4) 当 a=1 时,求函数 f(x)的单调增区间 (5) 求函数 f(x)区间[1,e]上的最小值;

??????13 分

?????.15 分

(6) 设 g ( x) ? (1 ? a) x ,若存在 x0 ? ? , e ? ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值 e 范围。

?1 ? ? ?

7

8


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