当前位置:首页 >> 数学 >>

导数极值单调最值


最值极值单调区间

1.导数在研究函数中的应用 (1)结合实例,借助图形直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究 函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次). (2)结合函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函 数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次),会求闭区间上函数的最大值、最小值(其 中多

项式函数不超过三次).

1.函数的单调性与导数 在某个区间(a, b)内, 如果 f ′(x)>0, 那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增; 如果 f ′(x)<0, 那么函数 y=f(x)在这个区间内 . 2.函数的极值 (1)判断 f(x0)是极大值,还是极小值的方法: 一般地,当 f ′(x0)=0 时, ①如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)>0,右侧 f ′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 ,右侧 ,那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤: ①求 f ′(x); ②求方程 的根; ③检查 f ′(x)在上述方程根的左右对应函数值的符号.如果左正右负, 那么 f(x)在这个根处 取得 ;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得 .

3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则__________为函数在[a,b]上的最小值, 为函数在[a,b]上的最大值;若函数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 为函数在[a,b] 上的最大值, 为函数在[a,b]上的最小值. (3)设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的 步骤如下: ①求 f(x)在(a,b)内的极值; ②将 f(x)的各极值与端点处的函数值 , 比较,其中最大的一个是 最大值,最小的一个是最小值.

单调性
设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f ′(x)的图象可能 是( )

已知函数 f(x)=x3-ax,f ′(1)=0. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间.

(2013· 广东卷改编)设函数 f(x)=(x-1)ex-kx2. (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数,求实数 k 的取值范围.

若函数 f(x)的导函数 y=f ′(x)的部分图象如图所示,则下列函数中与 f(x)的单调性不 可能相同的是( )

(2)已知函数 f(x)=ex-ax,f ′(0)=0.

(1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间.

(3)已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)的单调区间

极值
1 已知函数 f(x)= x3+cx 在 x=1 处取得极值. 2 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的极值.

1 3 设 f(x)=aln x+ + x+1,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于 y 2x 2 轴. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值.

重庆改编)设 f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的 (2013· 切线斜率为 2. (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值.

(2)已知 a,b 是实数,1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g(x)的导函数 g′(x)=f(x)+2,求 g(x)的极值点.

最值
北京改编)已知函数 f(x)=ax2+2,g(x)=x3+bx.若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在 (2012· 它们的交点(1,c)处具有公共切线. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,1]上的最大值.

(2012· 重庆卷)已知函数 f(x)=ax3+bx+c 在 x=2 处取得极值为 c-16. (1)求 a,b 的值; (2)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在[-3,3]上的最小值

1 已知函数 f(x)=2x3+ax2+bx+1, 若函数 y=f ′(x)的图象关于直线 x=- 对称, 且 f ′(1) 2 =0. (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)在区间[-2,2]上的最大值.

(2) 设函数 f(x)=x+ax2+bln x,曲线 y=f(x)过 P(1,0),且在 P 点处的切线斜率为 2.
(1)求 a,b 的值; (2)令 g(x)=f(x)-2x+2,求 g(x)在定义域上的最值.

1.一点提醒

函数最值是个“整体”概念,而函数极值是个“局部”概念.极大值与极小

值没有必然的大小关系. 2.两个条件 一是 f′(x)>0 在(a,b)上成立是 f(x)在(a,b)上单调递增的充分不必要条件.

二是对于可导函数 f(x),f′(x0)=0 是函数 f(x)在 x=x0 处有极值的必要不充分条件. 3.三点注意 一是求单调区间时应遵循定义域优先的原则.

二是函数的极值一定不会在定义域区间的端点取到. 三是求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时应分类讨论.不可想当然 认为极值就是最值。

1.已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y=f′(x)的图象如右图所示,则 该函数的图象是 ( ).

2.若在区间[1,2]内有 f ′(x)>0,且 f(1)=0,则在[1,2]内有( A.f(x)≥0 C.f(x)=0 B.f(x)≤0 D.不确定

)

3.(2014· 青岛模拟)函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是 ( A.-2 B.0 C.2 D.4 4.对于在 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0,则必有 ( A.f(x)≥f(a) B.f(x)≤f(a) C.f(x)>f(a) D.f(x)<f(a)

). ).

5.(2013· 新课标全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( A.?x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图象是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)上单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0

).

6.(2013· 福建卷)设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正确的 是 ( ). A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点 x2+a 7.若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值,则 a=______ x+1 x 8.函数 f(x)= 的单调递减区间是_____ ln x 1 9.已知函数 f(x)=- x2+4x-3ln x 在[t,t+1]上不单调,则 t 的取值范围是________. 2 1 10.(2014· 郑州质检)已知函数 f(x)=ax2+bln x 在 x=1 处有极值 . 2 (1)求 a,b 的值; (2)判断函数 y=f(x)的单调性并求出单调区间

能力提升 f?x? 1.(2014· 杭州质检)函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数 g(x)= 在 x 区间(1,+∞)上一定 ( ). A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数 2.(2013· 湖北卷)已知 a 为常数,函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点 x1,x2(x1<x2),则 1 A.f(x1)>0,f(x2)>- 2 1 B.f(x1)<0,f(x2)<- 2 1 C.f(x1)>0,f(x2)<- 2 1 D.f(x1)<0,f(x2)>- 2 3.设直线 x=t,与函数 f(x)=x2,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则当|MN| 达到最小时 t 的值为________. 4.(2014· 兰州模拟)已知函数 f(x)=-x2+ax-ln x(a∈R). 1 ? (1)当 a=3 时,求函数 f(x)在? ?2,2?上的最大值和最小值; 1 ? (2)当函数 f(x)在? ?2,2?上单调时,求 a 的取值范围

高考在线 1. ( 2014 年全 国普 通高等 学校 招生统 一考 试文科 数学 (全国 Ⅱ卷 带解析 ) ) 若函数 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取值范围是( f ? x? ? kx? Inx (A) ? ??, ?2? (B) ? ??, ?1? (C) ? 2, ?? ? ) (D) ?1, ?? ?

2. (2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(湖南卷带解析) )若 0 ? x1 ? x2 ? 1 , 则( )

A. ex2 ? ex1 ? ln x2 ? ln x1 C. x2ex1 ? x1e x2

B. ex2 ? ex1 ? ln x2 ? ln x1 D. x2ex1 ? x1ex2

3.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】设函数 f ( x) 的定义域为 R, x0 ?x0 ? 0 ? 是 f ( x) 的极大值点,以下结论一定正确的是( ) A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 - f ( x) 的极小值点 B. ? x0 是 f (- x) 的极小值点 D. ? x0 是 - f (- x) 的极小值点

4.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷】已知 a 为常数,函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则( A. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? C. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? ) B. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? D. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

1 2 1 2
2

5.【2013 年普通高等学校统一考试试题大纲全国】若函数 f ( x) ? x ? ax ? 增函数,则 a 的取值范围是( A. [?1,0] B. [?1, ??) ) D. [3, ??)

1 1 在 ( , ??) 是 x 2

C. [0,3]

6.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江】已知 e 为自然对数的底数,设函数

f ( x) ? (e x ?1)(x ?1)k (k ? 1,2) ,则(

) B 当 k ? 1 时, f ( x ) 在 x ? 1 处取

A. 当 k ? 1 时, f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 得极大值 C 当 k ? 2 时, f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 取得极大值

D 当 k ? 2 时, f ( x ) 在 x ? 1 处

7.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)】设函数 f ? x ? ? ? x ?1? e ? kx (其
x 2

中 k ? R ). (Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ) 当 k ? ?

?1 ? ,1 时,求函数 f ? x ? 在 ?0, k ? 上的最大值 M . ?2 ? ?

8.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R ) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值.

9.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科】已知 函数 f ( x) ? x ? 1 ? ( a ? R, e 为自然对数的底数) (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f ( x) ? 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅲ)当 a ? 1 时,若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的最大值

a ex


相关文章:
导数单调性、极值、最值
导数单调性、极值最值教学目标:掌握运用导数求解函数单调性的步骤与方法 重点难点: 能够判定极值点,并能求解闭区间上的最值问题 利用导数研究函数的极值最值 ...
导数的单调性极值与最值
导数单调极值最值_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 导数单调极值最值_数学_高中教育_教育专区。利用导数求函数的极值、...
导数与函数的单调性、极值、最值
导数与函数的单调性、极值最值适用学科 适用区域 知识点 教学目标 教学重点 教学难点高中数学 通用 函数的单调性 函数的极值 适用年级 课时时长(分钟)函数的最...
导数的单调性极值最值问题综合汇总
导数单调极值最值问题综合汇总_高三数学_数学_高中教育_教育专区。例 1. 已知 f(x)=e -ax-1.? (1)求 f(x)的单调增区间;? (2)若 f(x)在定义域...
导数的极值、最值及其应用(解析版)
导数极值最值及其应用(解析版)_数学_高中教育_教育专区。一、考纲目标 理解...一、考纲目标 理解可导函数单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值...
导数与函数单调性和极值最值的关系
导数与函数单调性和极值最值的关系_高三数学_数学_高中教育_教育专区。自己带学生时总结的一些典型例题选讲!导数与函数单调性和极值最值的关系 一、知识导学 1.函...
导数极值单调最值
导数极值单调最值_数学_高中教育_教育专区。导数的极值最值单调性最值极值单调区间 1.导数在研究函数中的应用 (1)结合实例,借助图形直观探索并了解函数的单调性与...
导数与极值、最值
廖 课题 导数极值最值 教学构架 一、 知识回顾 二、 错题再现 三、 知识...a=1,b=-1,求函数 f(x)的极值.(2)若 a+b=-2,讨论 f(x)的单调性....
用导数研究函数的单调性、极值与最值
导数研究函数的单调性、极值最值_数学_高中教育_教育专区。第 2 讲 用导数研究函数的单调性、 极值最值分层 A 级一、选择题(每小题 5 分,共 20 分...
导数的应用(单调性、极值、最值)
导数的应用(单调性、极值最值)蓝园高级中学 数学组 陈秋彬 考纲要求 1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式...
更多相关标签:
导数求极值 | 函数的极值与导数ppt | 导数极值 | 二阶导数判断极值 | 函数的极值与导数 | 二阶导数求极值 | 导数与函数的极值最值 | 导数应用之极值点偏移 |