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必修5 数列 2-3-2


第2章

2.3

第 2 课时

等比数列的性质
一、选择题 1.在等比数列{an}中,a4+a5=10,a6+a7=20,则 a8+a9 等于( A.90 C.70 [答案] D a6+a7 =2, a4+a5 B.30 D.40 )

[解析] ∵q2=

∴a8+

a9=(a6+a7)q2=20q2=40. 2. 等比数列{an}各项为正数, 3 是 a5 和 a6 的等比中项, a1·2· a10 且 则 a …· =( ) A.39 C.311 [答案] B B.310 D.312

[解析] 由已知,得 a5a6=9, ∴a1·10=a2·9=a3·8=a4·7=a5·6=9, a a a a a ∴a1·2· a10=95=310. a …· a2 9 3.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=243,则 的值为( a11 A.9 C.2 [答案] D B.1 D.3 )

5 [解析] a3a5a7a9a11=a1q30=243,

a2 ?a1q8?2 5 9 6 ∴ = 10 =a1q = 243=3. a11 a1q

4.已知等比数列{an}中,有 a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且 b7= a7,则 b5+b9 等于( A.2 C.8 [答案] C ) B.4 D.16

[解析] ∵a3a11=a2=4a7,∵a7≠0, 7 ∴a7=4,∴b7=4,∵{bn}为等差数列, ∴b5+b9=2b7=8. a6 5. 在等比数列{an}中, n>an+1, a7·11=6, 4+a14=5, a 且 a a 则 等于( a16 3 A. 2 1 C. 6 [答案] A 2 B. 3 D.6 )

?a7·11=a4·14=6 a ? a [解析] ∵? , ? ?a4+a14=5 ?a4=3 ?a4=2 ? ? ? 解得 或? . ?a14=2 ?a14=3 ? ?

又∵an>an+1,∴a4=3,a14=2.∴

a6 a4 3 = = . a16 a14 2

1 6.(2010· 湖北文)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 2 成等差数列,则 A.1+ 2 C.3+2 2 [答案] C a9+a10 =( a7+a8 ) B.1- 2 D.3-2 2

[解析] 设等比数列{an}的公比为 q, 1 ∵a1, a3,2a2 成等差数列, 2 ∴a3=a1+2a2, ∴a1q2=a1+2a1q,∴q2-2q-1=0, ∴q=1± 2,∵各项都是正数, ∴q>0,∴q=1+ 2, q9+a10 ∴ =q2=(1+ 2)2=3+2 2. a7+a8 二、填空题 7.等比数列{an}中,an>0,且 a2=1-a1,a4=9-a3,则 a4+a5 等于 ________. [答案] 27 [解析] 由题意,得 a1+a2=1,a3+a4=(a1+a2)q2=9, ∴q2=9,又 an>0,∴q=3. 故 a4+a5=(a3+a4)q=9×3=27. a1+a3+a5+a7 1 8.已知等比数列{an}的公比 q=- ,则 等于________. 3 a2+a4+a6+a8 [答案] -3 [解析] a1+a3+a5+a7 a1+a3+a5+a7 = a2+a4+a6+a8 a1q+a3q+a5q+a7q

1 =q=-3. 三、解答题 9.在等比数列{an}中,已知 a4·7=-512,a3+a8=124,且公比为整 a 数,求 a10. [解析] ∵a4·7=a3·8=-512, a a

?a3+a8=124 ? ∴? , ? a ?a3·8=-512 ? ? ?a3=-4 ?a3=128 解得? 或? . ? ? ?a8=128 ?a8=-4

又公比为整数, ∴a3=-4,a8=128,q=-2. ∴a10=a3·7=(-4)×(-2)7=512. q 10.等差数列{an}中,a4=10,且 a3,a6,a10 成等比数列.求数列{an} 前 20 项的和 S20. [解析] 设数列{an}的公差为 d,则 a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10 +2d,a10=a4+6d=10+6d.
2 由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3a10=a6,

即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2, 整理得 10d2-10d=0,解得 d=0 或 d=1. 当 d=0 时,S20=20a4=200, 当 d=1 时,a1=a4-3d=10-3×1=7, 于是,S20=20a1+ 20×19 d=20×7+190=330. 2

能力提升
一、选择题 1.已知公差不为零的等差数列的第 k、n、p 项构成等比数列的连续三 项,则等比数列的公比为( n-p A. k-n n-k C. n-p ) p-n B. p-k k-p D. n-p

[答案]

A

[解析] 设等差数列首项为 a1,公差为 d,则 an ap ap-an q=a =a = an-ak k n [a1+?p-1?d]-[a1+?n-1?d] p-n n-p = = = . [a1+?n-1?d]-[a1+?k-1?d] n-k k-n 2.如果数列{an}是等比数列,那么(
2 A.数列{an}是等比数列

)

B.数列{2an}是等比数列 C.数列{lgan}是等比数列 D.数列{nan}是等比数列 [答案] A bn+1 a2 +1 an+1 2 n 2 bn=an,则 b = 2 =( a ) =q2, an n n 2an+1 =2an+1-an≠常数; 2an

[解析] 设

∴{bn}成等比数列;

当 an<0 时,lgan 无意义,设 cn=nan cn+1 ?n+1?an+1 n+1 则 c = na = n q≠常数. n n 二、填空题 3.在 3 和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减 去 6,则成等比数列,则此未知数是__________. [答案] 3 或 27

[解析] 设此三数为 3,a,b
?2a=3+b ? 则? , 2 ? ??a-6? =3b

?a=3 ?a=15 ? ? ? 解得 ,或? . ? ? ?b=3 ?b=27

∴这个未知数为 3 或 27. 4.一种专门占据内存的计算机病毒的大小为 2 KB,它每 3s 自身复制 一次, 复制后所占内存是原来的两倍, 则内存为 64 MB(1 MB=210KB)的计 算机开机后经过________s,内存被占完. [答案] 45 [解析] 计算机病毒每次复制后的大小组成等比数列{an},且 a1=2×2 =4,q=2,则 an=4·n-1,令 4·n-1=64×210,得 n=15,即复制 15 次, 2 2 共用 45 s. 三、解答题 5.设正整数数列{an}为一个等比数列,且 a2=4,a4=16,求 lgan+1+ lgan+2+…+lga2n. [解析] 由 a2=4,a4=16,得 a1=2,q=2,∴an=2n. ∴lgan+1+lgan+2+…+lga2n= lg(an+1·n+2· a2n)=lg2(n+1)+(n+2)+…+2n a …· 3n2+n 1 2 =lg2 = (3n +n)lg2. 2 2 6.已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中 n= 1,2,3,…. (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)求 an 的通项公式. [解析] (1)由已知得 an+1=a2 +2an, n

2 ∴an+1+1=an+2an+1=(an+1)2

∵a1=2,∴an+1+1=(an+1)2>0, ∴lg(1+an+1)=2lg(1+an)

lg?1+an+1? 即 =2,且 lg(1+a1)=lg3 lg?1+an? ∴{lg(1+an)}是首项为 lg3,公比为 2 的等比数列. (2)由(1)知,lg(1+an)=2n-1· lg3=lg32n-1 ∴1+an=32n-1 ∴an=32n-1-1. 7.容积为 a L(a>1)的容器盛满酒精后倒出 1 L,然后加满水,混合溶 液后再倒出 1 L,又用水加满,如此继续下去,问第 n 次操作后溶液的浓度 是多少?若 a=2,至少应倒出几次后才可以使酒精浓度低于 10%. 1 [解析] 开始的浓度为 1, 操作一次后溶液的浓度是 a1=1-a.设操作 n 1 次后溶液的浓度是 an,则操作 n+1 次后溶液的浓度是 an+1=an(1-a).所 1 1 以{an}构成以 a1=1-a为首项,q=1-a为公比的等比数列.所以 an=a1qn
-1

1 1 =(1-a)n,即第 n 次操作后溶液的浓度是(1-a)n.当 a=2 时,由 an=

1 1 ( )n< ,得 n≥4.因此,至少应倒 4 次后才可以使酒精浓度低于 10%. 2 10


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