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5、简单的三角恒等变换


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第三章《三角恒等变换》 第三章《三角恒等变换》

§3.3 简单的 三角恒等变换

2

【我们的目标】 我们的目标】
通过例题的解答,体会如何对变换 通过例题的解答,体会如何对变换 对象目标进行对比、分析,体会解题过 对象目标进行对比、分析,体会解题过 程中如何选择公式, 程中如何选择公式,如何根据问题的条 件进行公式变形, 件进行公式变形,以及变换过程中体现 的换元、 的换元、逆向使用公式等 数学思想方法的认识, 数学思想方法的认识,从 而加深理解变换思想, 理解变换思想 而加深理解变换思想,提 推理能力. 高推理能力.

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? 复习与回顾
请写出二倍角的正弦、余弦、 请写出二倍角的正弦、余弦、正切公式

S2α: sin2α = 2sinα cosα

C2α: cos 2α = cos α ? sin α 2 2 = 2cos α ?1 = 1? 2sin α ?
2 2

2tanα T2α: tan 2α = 2 1? tan α
4

? 新知探究
1. 公式的变形

cos 2α = cos α ? sin α
2 2

=(cosa-sina)(cosa+sina)

1 + cos 2α = 2cos α
2

观察特点? 观察特点?升幂 ?倍角化单角?少项?函数名不变 倍角化单角?少项?

1 ? cos 2α = 2sin α
2

观察特点? 观察特点?升幂 ?倍角化单角?少项?函数名变 倍角化单角?少项?
5

? 新知探究
2. 请思考: 请思考: 的关系? (1)你怎样理解公式两边的“角”的关系? )你怎样理解公式两边的“
(2) α 与

α
2

有什么关系? 有什么关系?

探究 1:如果以 α 代替 2α ,以 那么公式有什么结果? 那么公式有什么结果?

α
2

代替 α ,

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? 新知探究
3. 半角公式: 半角公式:
1 ? cos α sin = ± 2 2

Sα :
2

α

Cα :
2

1 + cos α cos = ± 2 2
2 = ± 1 ? cos α tan = α 2 1 + cos α cos 2
7

α

Tα :
2

α

sin

α

? 新知探究
探究2 半角的正切公式结构的研究: 探究2:半角的正切公式结构的研究:

2 = ± 1 ? cos α tan = α 2 1 + cos α cos 2 α α α sin 2 sin cos α 2 2 2 = sin α tan = α = 2 1 + cos α 2 α cos 2 cos 2 2 α 2 α 2 sin α sin 2 1 ? cos α 2 tan = = = α sin α 2 α α cos 2 sin cos 2 2 2

α

sin

α

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? 新知探究
4. 请思考: 请思考: 代数式变换与三角变换有什么不同? 代数式变换与三角变换有什么不同?
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变 换.对于三角变换,由于不同的三角函数式不 对于三角变换, 仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包 仅会有结构形式方面的差异, 含的角, 含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差 异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包 含的各个角之间的联系,这是三角式恒等 变换的重要特点. 变换的重要特点.
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? 应用示例
例1、求证: 、求证:

1 (1) sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α ? β )] 2 1 ( 2) cos α sin β = [sin(α + β ) ? sin(α ? β )] 2
变式练习: 变式练习:

1 ( 3) cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α ? β )] 2 1 (4) sin α sin β = ? [cos(α + β ) ? cos(α ? β )] 2
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第三章《三角恒等变换》 第三章《三角恒等变换》

§3.3 简单的 三角恒等变换

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【我们的目标】 我们的目标】
通过例题的解答,体会如何对变换 通过例题的解答,体会如何对变换 对象目标进行对比、分析,体会解题过 对象目标进行对比、分析,体会解题过 程中如何选择公式, 程中如何选择公式,如何根据问题的条 件进行公式变形, 件进行公式变形,以及变换过程中体现 的换元、 的换元、逆向使用公式等 数学思想方法的认识, 数学思想方法的认识,从 而加深理解变换思想, 理解变换思想 而加深理解变换思想,提 推理能力. 高推理能力.

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? 感受三角变换的魅力
1 + sin 2α ? cos 2α 证明: 例2、证明: = tan α 1 + sin 2α + cos 2α

cos 70 例3、计算: (tan 5 ? cot 5 ) ? 计算: 1 + sin 70 0
0 0

0

你的解题体会是什么? 你的解题体会是什么? 分析题意,明确思维起点; 分析题意,明确思维起点; 选择公式,把握思维方向; 选择公式,把握思维方向; 实施变换,运用数学思想方法. 实施变换,运用数学思想方法.
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? 感受三角变换的魅力
探究学习:请直接利用公式计算: 探究学习:请直接利用公式计算:

2 2 sin( x ± ) = sin x ± cos x 4 2 2 1 3 π cos x sin( x ± ) = sin x ± 2 2 3

π

(sin x ± cos x ) = 1 ± sin 2 x
2

思考: 对上面等式进行角 结构分析 分析, 思考: 对上面等式进行角、名、结构分析,
并和已有的知识做联想,你有什么体会, 并和已有的知识做联想,你有什么体会,会有 什么解题策略与方法? 什么解题策略与方法
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? 感受三角变换的魅力
思考: 对上面等式进行角 结构分析 分析, 思考: 对上面等式进行角、名、结构分析,
并和已有的知识做联想,你有什么体会, 并和已有的知识做联想,你有什么体会,会有 什么解题策略与方法? 什么解题策略与方法

π ), sin x ± cos x = 2 sin( x ±
4

π ). sin x ± 3 cos x = 2 sin( x ±
3

(sin x ± cos x ) = 1 ± sin 2 x
2

结论:将同角的弦函数的和差化为“一个角” 结论:将同角的弦函数的和差化为“一个角”
的“一个名”的弦函数. 一个名”的弦函数
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? 感受三角变换的魅力
例 3、 求函数 y = sinx + 3 cos x的周期,最大 的周期, 值和最小值 . 解:y = sin x + 3 cos x = 2( 1 sin x + 3 cos x ) 2 2

= 2(sin x cos

π

π) = 2 sin( x +
3

+ cos x sin ) 3 3

π

所以, 所以,所求的周期 T = 2π = 2π ,

ω

最大值为2,最小值为- . 最大值为 ,最小值为-2.
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? 感受三角变换的魅力
变形的目标: 变形的目标:化成一角一函数的结构 变形的策略:引进一个“辅助角” 变形的策略:引进一个“辅助角”

a +b
2

2

θ
a

b

a sin x + b cos x
? ? a b sin x + cos x ? = a +b ? 2 2 2 2 a +b ? a +b ?
2 2

= a + b (cos θ ? sin x + sin θ ? cos x )
2 2

= a + b sin( x + θ )
2 2

b 其中 tan = . a
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? 感受三角变换的魅力
引进辅助角法: 引进辅助角法:
2 2

a 2 + b2

θ
a

b

a sin x + b cos x = a + b sin( x + θ ) b 其中 tan = a

设 y = asinα + bcosα
使 y = Asin(ωx +?) 函数
的性质研究得到延伸, 的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简 三角函数式中的作用. 三角函数式中的作用.
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? 感受三角变换的魅力
变式练习: 变式练习:

辅助角

求函数 y = 3 sin( π ? 2 x ) ? cos 2 x 的最小值 . 3 3 cos2x ? 1 sin2x) ? cos2x 略解: y = 3 ( 略解 2 2

1 cos2x ? 3 sin2x = 2 2 π = sin( ? 2x) ≥ ?1 6

求函数递 增区间. 增区间

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? 感受三角变换的魅力
1 , tanβ = 1 , 并且 α, β 均为锐 例4、 已知 tan α = 7 3 角,求 α + 2 β . 1 1 Q 均为锐角, 解: tan α = < 1, tanβ = < 1, 且 α, β 均为锐角, 7 3 π , 0 < β < π , ∴ 0 < + 2 < 3π . ∴0 < α < α β 4 4 4 2 tan β = 3, 又 Q tan 2 β = 4 1 ? tan 2 β 1 3 + tan α + tan β ∴ tan(α + 2 β ) = = 7 4 = 1, 1 3 1 ? tan α tan β 1? × π . 7 4 ∴α + 2 β = 21 4

? 感受三角变换的魅力
1 , tanβ = 1 , 并且 α, β 均为锐 例4、 已知 tan α = 7 3 角,求 α + 2 β .
注意:本题易出现如下错误 注意:

3π Q α, β 为锐角, ∴ 0 < α + 2 β < 为锐角, . 2

5π . π 又 Q tan(α ? 2 β ) = 1, ∴α + 2 β = 或 4 4

原因是没有根据tanα tanβ 原因是没有根据tanα,tanβ的值进一步 缩小α+2β的范围 的范围. 缩小α+2β的范围.
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? 感受三角变换的魅力
变式练习:已知 , 变式练习:已知α,β ∈ (0, π),

1 1 tan(α ? β ) = , tanβ = ? , 求 2α ? β . 2 7 解析: Q 解析: tan α = tan[(α ? β ) + β ] tan(α ? β ) + tan β 1 = = < 1 ∴α ∈ ( 0, π ), 3 1 ? tan(α ? β ) tan β 4 又 Q tan β = ? 1 , β ∈ ( 0, π ) ? β ∈ ( π , π ) 7 2 ∴ 2α ? β ∈ ( ?π ,0), tanα + tan(α ? β ) ∴tan(2α ? β ) = tan[α + (α ? β )] = =1 1 ? tanα tan(α ? β ) 3 π. ∴ 2α ? β = ? 23 4

? 实践体会三角变换的魅力
1.求函数 y=sin(600-2θ)+cos(600+2θ) 的最大值和 . 周期,并求该函数在[ 周期,并求该函数在[0, π]上的单调递减区间 ]上的单调递减区间. 2. 已知 已知tanα与tanβ是一元二次方程 2+5x-2=0的 是一元二次方程3x 与 是一元二次方程 的 两个根, 两个根,且0°<α<90°, 90°<β<180°. ° ° ° ° 的值; (1)求α+β的值; ) 的值 (2)求tan(α-β)的值 ) ( - )的值. 3. 求证:sin2α+cosα·cos(600+α)-sin2(300-α) 的值 求证: 无关, 与α无关,是一个定值 无关 是一个定值.
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? 实践体会三角变换的魅力
3 1 4.设平面向量 a = (cos x , sin x ),b = ( , ), 2 2 函数 f ( x ) = a ? b + 1. (1)求 f ( x )的值域; 的值域; ( 2 )求函数 f ( x )的单调增区间; 的单调增区间; 9 2π π ( 3 )当函数 f ( a ) = ,且 < α < 时,求 5 6 3 2π sin( 2α + )的值 . 3
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? 回顾与总结
倍角公式: sin2α = 2sinα cosα 倍角公式: 2 2 cos 2α = cos α ?sin α 2 = 2cos α ?1 = 1? 2sin2 α 2tanα tan 2α = 2 1? tan α
利用公式可以求非特殊角的三角函数值 利用公式可以求非特殊角的三角函数值, 化简三角函数式和证明三角恒等式 三角函数式和证明三角恒等式. 化简三角函数式和证明三角恒等式.使用公式时 要灵活使用,并要注意公式的逆向使用. 要灵活使用,并要注意公式的逆向使用.
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? 回顾与总结
半角公式: sin α = ± 1 ? cos α ; 半角公式:
2 2

α = ± 1 + cos α ; cos
2 2

α = ± 1 ? cos α tan 2 1 + cos α 使用公式时要 sin α 1 ? cos α 灵活使用, 灵活使用,并 . = = 1 + cos α sin α 要注意公式的
逆向使用. 逆向使用.
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? 课后作业
课本P 习题3—3 B组 课本 126习题 组 1 # , 2 #, 3 # , 4 # .

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