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高中数学 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


第4课时

二元一次不等式(组)与简

单的线性规划问题

2014高考导航
考纲展示 1.会从实际情境中抽象出二元一 次不等式(组). 2.了解二元一次不等式(组)的几 何意义,能用平面区域表示二元 1.以考查线性目标函数的最值为 备考指南

重点,兼顾考查代数式的几何意
义(

如斜率、距离、面积等). 2.多在选择题、填空题中出现, 有时也会在解答题中出现,常与 实际问题相联系,列出线性约束

一次不等式(组).
3.会从实际情境中抽象出一些简 单的二元线性规划问题,并能加 以解决.

条件,求出最优解.

目录

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理

1.二元一次不等式(组)
1 两个 含有_______未知数,且未知数的最高次数为______的不 等式称为二元一次不等式. 二元一次不等式组中共含有两个未知数,最高次数为1. 2.二元一次不等式(组)所表示的平面区域 已知直线l:Ax+By+C=0.

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(1)不等式表示的区域 (x,y) 以不等式的解_________为坐标的所有点构成的集合,叫做不 等式表示的区域或不等式的图象.

(2)坐标平面内的点与代数式Ax+By+C=0的关系
①点在直线l上?点的坐标使Ax+By+C=0. ②直线l的同一侧的点?点的坐标使式子Ax+By+C的值具有

相同 ________的符号.
③点M、N在直线l两侧?M、N两点的坐标使式子Ax+By+C 相反 大于0 小于0 的值的符号______,即一侧都_______,另一侧都________.

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(3)二元一次不等式所表示区域的确定方法 坐标 在直线l的某一侧任取一点,检测其_________是否满足二 所在的这一侧 元一次不等式.如果满足,则这点________________区 另一侧 域就是所求的区域;否则l的________就是所求的区域.

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3.线性规划中的基本概念 名称 意义

约束条件

不等式(组) 由变量x,y组成的_______________ 一次 由x,y的_________不等式(或方程)组
成的不等式组 解析式 关于x,y的函数_____________ 关于x,y的________解析式 一次
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线性约束条件

目标函数 线性目标函数

名称
可行解 可行域

意义
满足线性约束条件的解(x,y) 可行解 所有_____________组成的集合 最大值 使目标函数取得_________或________ 最小值 的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 最小值 ___________或_________问题

最优解

线性规划问题

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思考探究
可行解与最优解有何关系?最优解是否唯一? 提示:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优 解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个.

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课前热身
?x+y-1<0 ? 1. (2012· 沈阳质检)下面给出的四个点, 位于? ?x-y+1>0 ?

表示的平面区域内的点是( A.(0,2) C.(0,-2)

) B.(-2,0) D.(2,0)

答案:C

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2.如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式( A.x+y-1<0 B.x+y-1>0 C.x-y-1<0

)

D.x-y-1>0

答案:B

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3 . (2012· 考 山 东 卷 ) 设 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 高

?x+2y≥2, ? ?2x+y≤4, ?4x-y≥-1, ? ?-3,6? A. 2 ? ?
C.[-1,6]

则目标函数 z=3x-y 的取值范围是(

)

?-3,-1? B. 2 ? ? ?-6,3 ? D. 2? ?

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解析:选 A.不等式组表示的平面区域如图所示,目标 函数的几何意义是直线在 y 轴上截距的相反数, 其最大

?1,3?处取得,即 值在点 A(2,0)处取得,最小值在点 B 2 ? ?
3 最大值为 6,最小值为- . 2

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4.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木 工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现 有工人工资预算2000元,设木工x人,瓦工y人,则请 工人的约束条件是________.

?50x+40y≤2000 ? x∈N* 答案:? ?y∈N* ?

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5.(2012· 高考浙江卷)设 z=x+2y,其中实数 x,y 满足

? ?x+y-2≤0, ?x≥0, ?y≥0, ?
x-y+1≥0,

则 z 的取值范围是________.

解析:作出可行域,如图中阴影部分所示,作直线 l0: x+2y=0,平移 l0,当所得直线过点

?1,3 ?时, 取最大值1+3=7, C2 2 当所得直线过点 O(0,0) ? ? z 2 2
时,z 取最小值 0. ?0,7 ? 答案: ? 2?
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考点探究讲练互动
考点 1 考点突破 二元一次不等式(组)表示的平面区域 x<3

例1

?2y≥x ? (1)画出不等式组? 3x+2y≥6 ?3y<x+9 ?

表示的平面区域;

(2)如图,△ABC中,A(0,1),B(-2,2),C(2,6),写 出△ABC区域所表示的二元一次不等式组.

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【解】

(1)不等式x<3表示x=3左侧点的集合.

不等式2y≥x表示x-2y=0上及其左上方点的集合.

不等式3x+2y≥6表示直线3x+2y-6=0上及其右上方点
的集合. 不等式3y<x+9表示直线x-3y+9=0右下方点的集合. 综上可得:不等式组表示的平面区域如图所示:

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(2)由两点式得直线AB、BC、CA的方程并化简为:

直线AB:x+2y-2=0,
直线BC:x-y+4=0, 直线CA:5x-2y+2=0. ∴原点(0,0)不在各直线上,将原点坐标代入到各直线 方程左端,结合式子的符号可得不等式

?x+2y-2≥0, ? 组为?x-y+4≥0, ? 5x-2y+2≤0. ?

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【规律方法】

要判断一个二元一次不等式所表

示的平面区域,只需在它所对应直线的某一侧取

一个特殊点(x0 ,y0),从Ax0 +By0 +C的正负判定
即可.不等式组表示的平面区域是各个不等式所 表示的平面区域的公共部分.

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跟踪训练 1. (2011· 高考湖北卷)直 线 2x+y- 10= 0 与不等式组

? ?y≥0, ?x-y≥-2, ?4x+3y≤20 ?
x≥0, A.0 个 C.2 个

表示的平面区域的公共点有(

)

B.1 个 D.无数个

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解析:选 B.由不等式组画出平面区域如图(阴影部分). 直 线 2x+y-10=0 恰过点 A(5,0), 4 且斜率 k=-2<kAB=- , 3 即直线 2x+y-10=0 与平面区域仅有一个公共点 A(5,0).

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考点 2

求线性目标函数的最值 (2012· 高考辽宁卷)设变量 x,y 满足

例2

?x-y≤10, ? ?0≤x+y≤20, ?0≤y≤15, ?
A.20 B.35 C.45 D.55

则 2x+3y 的最大值为(

)

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【解析】 根据不等式组确定平面区域,再平移目标 函数求最大值.作出不等式组对应的平面区域(如图 2 所示),平移直线 y=- x,易知直线经过可行域上的 3 点 A(5,15)时,2x+3y 取得最大值 55,故选择 D.

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【答案】

D 求目标函数的最大值或最小值,必须先

【方法总结】

求出准确的可行域,令目标函数等于0,将其对应的直线
平行移动,最先通过或最后通过的顶点便是最优解.

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跟踪训练
2 . (2011· 考 天 津 卷 ) 设 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 高

?x≥1, ? ?x+y-4≤0, ?x-3y+4≤0, ?
A.-4 4 C. 3

则目标函数 z=3x-y 的最大值为(

)

B.0 D.4

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解析:选D.由约束条件画出可行域如图所示

(阴影△ABC).

当直线3x-y-z=0过点A(2,2)时,目标函数z取得最 大值zmax=3×2-2=4.

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考点 3

求非线性目标函数的最值

?x-4y+3≤0, ? 例3 变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ?x≥1. ?
y (1)设 z= ,求 z 的最小值; x (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围.

【解】 由约束条件

?x-4y+3≤0, ? ?3x+5y-25≤0, ?x≥1. ?
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作出(x,y)的可行域如图所示.
?x=1, ? ?1,22 ?. 由? 解得 A 5? ? ? ?3x+5y-25=0, ?x=1, ? 由? 解得 C(1,1). ?x-4y+3=0, ? ?x-4y+3=0, ? 由? 解得 B(5,2). ?3x+5y-25=0, ?

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y y-0 (1)∵z= = ,∴z 的值即是可行域中的点与原点 x x-0 2 O 连线的斜率.观察图形可知 zmin=kOB= . 5 (2)z=x2+y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的 距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的 距离中,dmin=|OC|= 2,dmax=|OB|= 29. ∴2≤z≤29.

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【方法小结】

目标函数范围的求解,常考虑目标函数

的几何意义,常见代数式的几何意义主要有以下两种: (1) x2+y2表示点(x,y)与原点(0,0)间的距离;(x-a)2+ (y-b)2 表示点(x,y)与点(a,b)间的距离的平方. y-b y (2) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; 表示点(x, x x-a y)与点(a,b)连线的斜率.

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跟踪训练

?x-2y+1≤0 ? 3.已知 x,y 满足约束条件?2x-y≥0 ?x≤1 ?
则 x2+(y-2)2 的最小值为( A. 5 4 B.1 2 5 D. 5 )



4 C. 5

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解析:选 C.由已知的约束条件画出可行域,如图所示.易 知目标函数的几何意义为可行域内的点到点 M(0,2)的距离 的平方,结合图形可知,所求最小值即为点 M 到直线 2x -y=0 的距离 d 的平方.由点到直线的距离公式知 d= |2×0-2| 2 4 = ,因而所求最小值为 ,故选 C 5 5 5

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考点 4

线性规划的实际应用

例4 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐,已知1个 单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白 质和6个单位的维生素C;1个单位的晚餐含8个单位的 碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.

另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的
碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素 C.如果1个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元, 那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为 该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
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【解】

法一:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为

x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元,则依题意,得 z =2.5x+4y,且 x,y 满足

? ?12x+8y≥64, ?6x+6y≥42, ?6x+10y≥54, ?
x≥0,y≥0,

? ?3x+2y≥16, 即? x+y≥7, ?3x+5y≥27. ?
x≥0,y≥0,

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作出可行域如图,则z在可行域的四个顶点A(9,0),B(4,
3),C(2,5),D(0,8)处的值分别是 zA=2.5×9+4×0=22.5, zB=2.5×4+4×3=22, zC=2.5×2+4×5=25,

zD=2.5×0+4×8=32.
比较之,zB最小,因此,应当为该儿童预订4个单位的午 餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.

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法二:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个 单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元,则依题意,得 z =2.5x+4y,且 x,y 满足

? ?12x+8y≥64, ?6x+6y≥42, ?6x+10y≥54, ?
x≥0,y≥0,

? ?3x+2y≥16, 即? x+y≥7, ?3x+5y≥27. ?
x≥0,y≥0,

作出可行域如图,让目标函数表示的直线2.5x+4y = z 在 可 行 域 上 平 移 , 由 此 可 知 z = 2.5x + 4y 在 B(4,3)处取得最小值. 因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位

的晚餐,就可满足要求.
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【误区警示】

本例属线性规划实际应用问题,解决此

类问题常见的错误点有:(1)不能准确地理解题中条件的 含义,如“不超过”、“至少”等线性约束条件出现失 误;(2)最优解的找法由于作图不规范而不准确;(3)最优 解为“整点时”不会寻找“最优整点解”.处理此类问 题时,一是要规范作图,尤其是边界实虚要分清;二是 寻找最优整点解时可记住“整点在整线上”(整线:形如

x=k或y=k,k∈Z).

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跟踪训练 4.(2011· 高考四川卷)某运输公司有12名驾驶员和19名工人, 有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡

车.某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且
只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可 得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人,运送一次 可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数, 可得最大利润z=( )

A.4650元
C.4900元

B.4700元
D.5000元
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解析:选 C.设派用甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,获得 的利润为 z 元,z=450x+350y,由题意,x、y 满足关系

?2x+y≤19, ?10x+6y≥72, 式? 0≤x≤8, ?0≤x≤7, ?x,y∈N
x+y≤12,

作出相应的平面区域(图略),

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z=450x+350y=50(9x+7y),
?x+y=12, ? 在由? ?2x+y=19 ?

确定的交点(7,5)处取得最大值 4900 元.

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方法感悟

1.作二元一次不等式(组)表示的平面区域一般是“线定
界,点定域”.注意不等式中不等号有无等号,无等号 时画虚线,有等号时画实线,点通常选择原点. 2.线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正 负有关,若b>0,最优解是将直线ax+by=0向上平移到

端点(最优解)的位置而得到的;若b<0,则是向下平移.

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3.解线性规划问题的思维精髓是“数形结合”,其关
键步骤是在图上完成的,所以作图应尽可能精确,图 上操作尽可能规范,假若图上的最优点并不明显易辨 时,不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来,然 后逐一检测,以“验明正身”.

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名师讲坛精彩呈现
难题易解 目标函数中含参数的线性规划问题



点 P(x, y)满足|x|+|y|≤1, ?求 ax+y 的最大值及最小值, 1 2

【解】

作出满足|x|+|y|≤1的区域,3 如图所示,令ax+y=t.

①当a<-1时,直线y=-ax+t分别过点(-1,0)与(1,0)时,ax +y取得最大值与最小值,其值分别为-a,a; 4

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②当-1≤a≤1时,直线y=-ax+t分别过点(0,1)与(0,- 1)时,ax+y取得最大值与最小值,其值分别为1,-1; ③当a>1时,直线y=-ax+t分别过点(1,0)与(-1,0)时,ax +y取得最大值与最小值,其值分别为a,-a.
5

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信息提炼

层层剖析

1 该已知条件中,-1≤x≤1,-1≤y≤1,且不可扩大取值范围. 2 一般令ax+y=t(或m),结合函数图象,由直线截距求最值.

3 画准可行域是解答本题的关键,边界的取舍往往是失分点. 4 在可行域内平移y=-ax+t,t的最值即可得.
5

②中的最值为1,-1而③中为a,-a,最值的取得与a的取值
范围有关.

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【规律总结】

简单的线性规划问题,一般题设条件较多,

解题时将所有的约束条件全部罗列出来,特殊情形(如含绝对 值、含参数等)要注意x,y的取值范围,同时还应弄清约束条

件与目标函数的区别,约束条件是解决实际问题时所受的限
制条件,是可行域的数量关系的表现形式,而目标函数是实 际问题所要求的目标指向,约束条件一般是不等式,而目标 函数是一个等式,解题关键是确定最优解. 本题的特殊之处是目标函数中含有参数,其易错点是由ax+y

=t得y=-ax+t,欲求t的最值,要看参数a的符号,解题时往
往忽略参数的符号变化而致误.
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跟踪训练

?2x-3y+18≥0 ? 5.已知实数 x,y 满足?2x+3y≥0 ?x≤3 ?

,若 z=ax+y

的最大值为 3a+8,最小值为 3a-2,则实数 a 的取值范 围为( 2 A.a≥ 3 2 2 C.- ≤a≤ 3 3 ) 2 B.a≤- 3 2 2 D.a≥ 或 a≤- 3 3

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解析:选 C.作出 x,y 满足的可行域,如图中阴影部分 所示, z 在点 A 处取得最大值, 则 在点 C 处取得最小值. 又 2 2 kBC=- ,kAB= , 3 3 2 2 2 2 ∴- ≤-a≤ ,即- ≤a≤ . 3 3 3 3

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知能演练轻松闯关

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