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我的高考数学错题本:我的高考数学错题本——第5章 三角函数与解三角形易错题


我的高考数学错题本
第 5 章 三角函数与解三角形易错题 易错点 1 角的概念不清 例 1 若 ? 、 ? 为第三象限角,且 ? ? ? ,则( A. cos? ? cos ? 【错解】A 【错因】角的概念不清,误将象限角看成类似 (? , 【正解】如取 ? ? 2? ? B. cos? ? cos ? ) D.以上都不对

C. cos? ? cos ?

3? ) 区间角. 2

7? 4? ,? ? ,可知 A 不对.用排除法,可知应选 D. 6 3

【纠错训练】已知 ? 为第三象限角,则

? 是第 2

象限角, 2? 是第

象限角.

【解析】?? 是第三象限角,即 2k? ? ? ? ? ? 2k? ?

? k? ?

?
2

?

?

3 ?,k ? Z 2

3 ? k? ? ? , k ? Z , 4k? ? 2? ? 2? ? 4k? ? 3? , k ? Z 2 4

当 k 为偶数时,

? ? 为第二象限角;当 k 为奇数时, 为第四象限角; 2 2

而 2? 的终边落在第一、二象限或 y 轴的非负半轴上.

易错点 2 忽视对角终边位置的讨论致误 例 2 若 ? 的终边所在直线经过点 P(cos

3? 3? ,sin ) ,则 sin ? ? 4 4



【错解】∵ P(cos

3? 3? 2 2 ,sin ) ? (? , ) ,所以 sin ? ? 4 4 2 2

2 2 (? 2 2 2 ) ? ( )2 2 2

?

2 . 2

【错因】忽略了对角终边的位置进行讨论 【正解】∵直线经过二、四象限,又点 P 在单位圆上,若 ? 的终边在第二象限,则 sin ? ? sin

3? 2 ? , 4 2

若 ? 的终边在第四象限,∴ sin ? ? ?

2 2 ,综上可知 sin ? ? ? . 2 2
)

sinx |cosx| tanx 【纠错训练】函数 y= + + 的值域是( |sinx| cosx |tanx|

A.{-1,1} B.{1,3} C.{1,-3} D.{-1,3} 【解析】由条件知终边不能落在坐标轴上,故要分四种情况讨论:当 x 的终边分别落在第一、二、三、四 象限时,上述函数的值域为{-1,3}.故选 D.

易错点 3 遗忘同角三角关系的齐次转化 例 3 已知 tan? ?

2 ,求(1)

cos ? ? sin ? 2 2 ; (2) sin ? ? sin ? . cos? ? 2 cos ? 的值. cos ? ? sin ?

【错解】没有思路,不知道怎么做. 【错因】不知道同角三角关系的齐次转化.

sin ? cos? ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; 【正解】 (1) ? sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 cos? ? sin ? 1? cos? sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? 2 2 (2) sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 . ? cos ? 2 cos? ? ? sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ? 1?
sin ? ? 2 cos ? ? ?5 ,那么 tan ? 的值为( ) 3 sin ? ? 5 cos ? 23 23 A.-2 B.2 C.- D. 16 16 tan ? ? 2 23 ? ?5 ,解得 tan ? ? ? . 【解析】上下同时除以 cos? ,得到: 3 tan ? ? 5 16
【纠错训练 1】如果 【纠错训练 2】已知 tan ? ? 2 ,则 sin 2? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? ?
2 2 【解析】 sin ? ? sin ? cos? ? cos ? ?



sin 2 ? ? sin ? cos? ? cos2 ? tan2 ? ? tan? ? 1 3 ? ? . 1 ? tan2 ? 5 sin 2 ? ? cos2 ?

易错点 4 忽视函数的定义域对角范围的制约致错

2 tan x 的最小正周期. 1 ? tan 2 x 2 tan x ? ? ? tan 2 x ,? T ? ,即函数的最小正周期为 . 【错解】? y ? 2 1 ? tan x 2 2 ? 2 tan x 2 tan x 【错因】忽视其定义域导致错误, 不是 y ? 的周期,因为当 x ? 0 时, y ? 有意义, 2 1 ? tan x 1 ? tan 2 x 2
例 4 求函数 y ? 所以由周期函数定义知应有 f (0 ? 【正解】由于函数 y ?

?

图象,可以看出,所求函数周期应为 ? . 【纠错训练】函数 f ( x ) ?

2 tan x ? ? 的定义域为 x ? k? ? , x ? k? ? (k ? Z ) ,故作出函数 y ? tan 2 x 的 2 1 ? tan x 2 4
sin x cos x 的递增区间. 1 ? sin x ? cos x

) ? f (0) 成立,然而 f (0 ? ) 根本无意义,故 不是其周期. 2 2 2

?

?

【解析】因为 1 ? sin x ? cos x ? 0 ? 2 sin ? x ?

? ?

??

? ? ?1 ? x ? 2k? ? 且x ? 2k? ? ? , 4? 2

?

所以函数 f ( x ) 递增区间为 ? 2k? ?

? ?

3? ?? ? ? ?? , 2k? ? ? 、 ? 2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) . 4 2? ? 2 4?

易错点 5 对“诱导公式中的奇变偶不变,符号看象限理解不对”致误 例 5 若 sin ? A. ?

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? =( ?6 ? 3 ? 3 ?
7 9
B. ?



1 3

C.

1 3

D.

7 9

【错解一】 cos?

? ? ? ? ? 2? ? ? 2? ? ? cos[? ? ( ? 2? )] ? sin( ? 2? ) ? 2sin( ? ? ) cos( ? ? ) 3 3 6 6 ? 3 ?

1 2 2 4 2 ,无答案. ? 2 ? ? (? )?? 3 3 9
【错解二】 cos ?

? ? ? 7 ? 2? ? ? 2? ? ? cos[? ? ( ? 2? )] ? cos( ? 2? ) ? 1 ? 2sin 2 ( ? ? ) ? ,故选 D. 3 3 6 9 ? 3 ?

π 【错因】三角函数的诱导公式可简记为: “奇变偶不变,符号看象限” .这里的“奇、偶”指的是2的倍数 的奇偶; “变与不变”指的是三角函数的名称变化; “符号看象限” 的含义是: 在该题中把整个角 ( 作锐角时, ? ? ( 【正解】 cos ?

?
3

? 2? ) 看

?
3

? 2? ) 所在象限的相应余弦三角函数值的符号.

? ? ? 7 ? 2? ? ? 2? ? ? cos[? ? ( ? 2? )] ? ? cos( ? 2? ) ? ?1 ? 2sin 2 ( ? ? ) ? ? ,故选 A. 3 3 6 9 ? 3 ?
)

【纠错训练】记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ? (

1? k 2 A. k
【解析】∵sin80° =

1? k 2 B. ? k

C.

k 1? k
2

D. ?

k 1? k 2

1 ? cos 2 80? ? 1 ? cos 2 (?80? ) =

1? k 2 ,

∴tan100° =-tan80° =-

1? k 2 sin 80? sin 80? - = - .故选 B. ? k cos80? cos(?80? )

易错点 6 忽略隐含条件 例 3 若 sin x ? cos x ? 1 ? 0 ,求 x 的取值范围. 【错解】 移项得 sin x ? cos x ? 1 ,两边平方得 sin 2 x ? 0, 那么2k? ? 2 x ? 2k? ? ? (k ? Z ) 即 k? ? x ? k? ?

?
2

(k ? Z )

【错因】忽略了满足不等式的 x 在第一象限,上述解法引进了 sin x ? cos x ? ?1 .

【正解】? sin x ? cos x ? 1即 2 sin( x ?

?
4

) ? 1 ,由 sin(x ?

?
4

)?

2 得 2

2k? ?

?
4

? x?

?
4

? 2k? ?

3? (k ? Z ) 4

∴ 2k? ? x ? 2k? ?

?
2

(k ? Z )

7 ,求 tan ? 的值. 13 7 120 ? 0 ,又由于 ? ? ? 0,? ? ,故有 【解析】据已知 sin ? ? cos ? ? (1),有 2sin ? cos ? ? ? 13 169 17 (2), sin ? ? 0,cos ? ? 0 ,从而 sin ? ? cos ? ? 0 即 sin ? ? cos ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 13 12 5 12 , cos ? ? 联立(1)、(2)可得 sin ? ? ,可得 tan ? ? . 13 13 5
【纠错训练】已知 ? ? ? 0, ? ? , sin ? ? cos ? ? 易错点 7 因“忽视三角函数中内层函数的单调性”致错 例 7 y ? 2 sin( A. [ k ?

?
3

? 2 x) 单调增区间为(

) B. [k? ?

?
?

?
12

, k? ?
?
6

5 ? ] , (k ? Z ) 12

5 11 ? , k? ? ? ] , (k ? Z ) 12 12

C. [ k? ?

3

, k? ?

] , (k ? Z )

D. [k?

?

?

2 , k? ? ? ] , (k ? Z ) 6 3
?
12 ? k? ? x ? 5? ?2 k ? ,所以 12

【错解】由题意, ?

?
2

? 2 k? ?

?
3

? 2x ?

?
2

? 2k ? (k ? Z ) , 解 得 ?

y ? 2 s i n( ? 2 x) 单调增区间为 [k? ? , k? ? ? ] , ( k ? Z ) ,故选 A. 3 12 12
【错因】内层函数为减函数,因此不能直接套用 y ? sin x 的单调性来求. 【正解】∵ y ? sin(

?

?

5

? 2 x) ? ? sin(2 x ? ) , 即 求 函 数 y ? s i n ( 2 x? 的 ) 减区间. 3 3 3 ? 5 11 故 函 数 y ? 2 s i n( ? 2 x ) 的 增 区 间 为 [k? ? ? , k? ? ? ] , ( k ? Z ) ,故 选 B . 3 12 12
?? ? ?? ? 【纠错训练】 (2015 上海市普陀区高三二模)若 0 ? x ? ? ,则函数 y ? sin ? ? x ? cos ? ? x ? 的单调递增区 3 2 ? ? ? ? 间为 .

?

?

?

【解析】 y ? sin?

? 1 ? ?? 1 ?? ? ?? ? ? ? ? ? x ? cos? ? x ? ? ?? sin cosx ? cos sin x ? sin x ? ? sin? 2 x ? ? ? ,所以 2 ? 6? 2 3 3 ?3 ? ?2 ? ? ?
?
6 ? 3? 5? ?? ? ? 2k? , 可 得 函 数 的 的 单 调 增 区 间 ? ? k? , ? k? ?, k ? z , 又 因 为 2 6 ?3 ?



?
2

? 2k? ? 2 x ?

? ? ? 5? ? ? ?? ? 0 ? x ? ? ,所以函数 y ? sin ? . ? ? x ? cos ? ? x ? 的单调递增区间为 ? , ?3 ? ?2 ? ?3 6 ? ?
易错点 8 图象变换知识混乱 例 8 要得到函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

1 ? 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象( 3?



? 个单位. 3 1 ? B.先将每个 x 值缩小到原来的 倍, y 值不变,再向左平移 个单位. 4 3 ? C.先把每个 x 值扩大到原来的 4 倍, y 值不变,再向左平移个 单位. 6 1 ? D.先把每个 x 值缩小到原来的 倍, y 值不变,再向右平移 个单位. 4 6
A.先将每个 x 值扩大到原来的 4 倍, y 值不变,再向右平移 【错解】A、C、B 【错因】 y ? sin 到 y ? sin ? 2 x ?

1 x 变换成 y ? sin 2 x 误认为是扩大到原来的倍,这样就误选 A 或 C;把 y ? sin 2 x 平移 2

? ?

??

? ? 平移方向错了,平移的单位误认为是 3 . 3?
1 ?? ? x 变形为 y ? sin ? 2 x ? ? 常见有两种变换方式,一种先进行周期变换,即将 2 3? ?

【正解】由 y ? sin

1 1 y ? sin x 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 倍得到函数 y ? sin 2 x 的图象, 2 4
再将函数 y ? sin 2 x 的图象纵坐标不变,横坐标向右平移 或者先进行相位变换,即将 y ? sin 数 y ? sin

? ?? ? 单位.即得函数 y ? sin ? 2 x ? ? ,故选 D. 6 3? ?

1 2? x 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标向右平移 个单位,得到函 2 3

1? 2? ?x? 2? 3

?? ? ?1 ? ? sin ? x ? ? 的图象,再将其横坐标变为原来的 4 倍即得即得函数 3? ? ?2

?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 的图象,故选 D. 3? ?
【纠错训练】 (2015 浙江五校联考)要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需将函数 y ? cos(2 x ? ) 的图象( )

π 3

π 个单位长度 6 π C.向右平移 个单位长度 12
A.向右平移 【解析】试题分析:函数 y ? sin 2 x ? cos? 2 x ?

π 个单位长度 6 π D.向左平移 个单位长度 12
B.向左平移

? ?

??

? ,将函数 y ? cos(2 x ? ) 的图象向右平移 个单位长 12 3 2?

π

π

度得到 y ? cos?2? x ?

? ? ? ?

?? 12 ? 3 ? ?

? ? ??

?? ? ? cos? 2 x ? ? ? sin 2 x ,故答案为 C. 2? ?

易错点 9 已知条件弱用 例 9 在不等边△ABC 中, a 为最大边,如果 a ? b ? c ,求 A 的取值范围.
2 2 2

【错解】∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ,∴b 2 ? c 2 ? a 2 ? 0 ,则 cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 ? 0 ,由于 cosA 在(0°,180°) 2bc

上为减函数且 cos 90° ? 0 ,∴A ? 90° ,又∵A 为△ABC 的内角,∴0°<A<90°. 【错因】审题不细,已知条件弱用,题设是 a 为最大边,而错解中只把 a 看做是三角形的普通一条边,造 成解题错误. 【正解】由上面的解法,可得 A<90°,又∵ a 为最大边,∴A>60°.因此得 A 的取值范围是(60°,90°) .

易错点 10 三角变换不熟练 例 10 在△ABC 中,若

a 2 tan A ? ,试判断△ABC 的形状. b 2 tan B sin 2 A tan A sin 2 A sin A cos B ? ? · ,∵ sin A ? 0, sin B ? 0 ,即 2 2 sin B sin B tan B sin B cos A

【错解】由正弦定理,得

∴ sin A cos A ? sin B cos B,即 sin 2 A ? sin 2 B .
∴2A=2B,即 A=B.故△ABC 是等腰三角形. 【错因】由 sin 2 A ? sin 2 B ,得 2A=2B.这是三角变换中常见的错误,原因是不熟悉三角函数的性质, 三角变换生疏. 【正解】同上得 sin 2 A ? sin 2 B ,∴2A= 2 k? ? 2 B ,或 2 A ? 2k? ? ? ? 2 B( k ? Z ) . ∵ 0 ? A ? ?,0 ? b ? ?,∴k ? 0,则A ? B 或 A ? 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

?
2

?B.

易错点 11 解三角形时漏解 例 11 已知在△ABC 中,a= 3 ,b= 2 , B ? 450 ,求角 A、C 和边 c.

【错解】由正弦定理

a b 3 ? . 所以,A=60 0 ,C=180 0 -45 0 -60 0 =75 0 , ,得 sinA= sin A sin B 2

所以,c=

b sin C 6? 2 . ? sin B 2 3 . 可得 A=60 0 或 A=120 0 , 2

【错因】上述解法中,用正弦定理求 C 时,丢了一个解,实际上,由 sinA=
0 0

故 C=75 或 15 .

【正解】由正弦定理

a b 3 ? ,得 sinA= . 因为,a>b,所以,A=60 0 或 A=120 0 ,当 A=60 0 时, sin A sin B 2
0

C=180 -45 -60 =75 ,c=

0

0

0

b sin C 6? 2 . ? sin B 2
0 0

当 A=120 时,C=180 -45 -120 =15 ,c=

0

0

0

b sin C 6? 2 . ? sin B 2

【纠错训练】在 ?ABC 中, B ? 30? , AB ? 2 3, AC ? 2 .求 ?ABC 的面积.

解析: 根据正弦定理知:

AB AC 2 3 2 3 ? ? , 即 , 得 sin C ? , 由于 AB sin 30 ? AC ? AB ? ? sin C sin B sin C sin 30 2
? ?

即满足条件的三角形有两个故 C ? 60 或 120 .则 A ? 30 或 90 故相应的三角形面积为

?

?

s?

1 1 ? 2 3 ? 2 ? sin 30? ? 3 或 ? 2 3 ? 2 ? 2 3 . 2 2

易错点 12 不会应用正弦定理的变形公式 例 12 在△ABC 中,A=60°,b=1, S △ABC ? 【错解】∵A=60°,b=1, S △ABC ? 由余弦定理,得 a ?

3 ,求

3 ,又 S △ABC

a ?b?c 的值. sin A ? sin B ? sin C 1 1 ? bc sin A ,∴ 3 ? c sin 60° ,解得 c=4. 2 2

b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 1 ? 16 ? 8 cos 60° ? 13

又由正弦定理,得 sin C ?

6 3 , sin B ? . 39 2 39



a ?b?c ? sin A ? sin B ? sin C

13 ? 1 ? 4 . 3 3 6 ? ? 2 2 39 39

【错因】公式不熟、方法不当,没有正确应用正弦定理. 【正解】由已知可得 c ? 4,a ? 13 .由正弦定理,得 2 R ?

a 13 2 39 . ? ? sin A sin 60° 3



a ?b?c 2 39 . ? 2R ? sin A ? sin B ? sin C 3


【纠错训练】 (2015 荆门市高三元月调研) 在△ABC 中, 若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 , 则角 C ? 【解析】由正弦定理可得 a : b : c ? 7 : 8 :13 ,所以可设 a ? 7k , b ? 8k , c ? 9k ,由余弦定理

a 2 ? b2 ? c2 ? 7k ? ? ?8k ? ? ? 9k ? 1 2? . cos C ? ? ? ? ,所以 C ? 3 2ab 2 ? 7k ? 8k 2
2 2 2


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