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黑龙江哈师大附中2013届高三上学期期末数学理试题


哈师大附中 2012-2013 学年度高三上学期期末考试
数学(理)试题
(考试时间:120 分钟,满分:150 分)

第Ⅰ 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知 U= R,A={x|x2 -4≤0},B={x|3x>

1 },则 A∩CUB= 3





A.[ -2,-1] B.[-2,-1) C.[2,+∞) D.[-l,2] 2.下列函数中值域为(1,+∞)的是 ( ) x 2 A.y=|x|+l B.y=2 +l C.y=x +2x +2 D.y=lgx+1 3.若向量 e=(0,1) ,a=(cos ? ,sin ? ) ? < ? < ? ) (,e⊥(a+e) ,则 ? = ( ) A. ?

?

2

B.0

C.

? 4

D.

? 2

4.在单位圆上按顺时针顺序排列四点 A、8、C、D,已知 A(cosl00o,sinl00o) ,B(cos40o, sin40o) , C(1,0) ,D(xo,yo) o<0) (y ,若|AC|=|BD|,则点 D 坐标为 ( ) A. (

3 1 ,? ) 2 2 2 2 ,? ) 2 2

B. ( ,?

1 2

3 ) 2

C. (

D. (cos40o,-sin40o) )

5.若 PQ 是圆 X2+ y2=8 的弦,且 PQ 的中点为 M(1,2) ,则 PQ 所在直线的方程是( A.x-2y +3=0 B.2x+y-4=0 C.x +2y -5=0 D.2x -y=0 6.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=1-an(n∈N*) ,则

a3 ? a 4 = a1 ? a2
D.





A.2

B.

1 2

C.4

1 4

x2 y2 7.过双曲线 2 ? 2 =l(a>0,b>0)的右焦点 F 作其渐近线的垂线,垂足为 M,若△OMF a b
(O 为坐标原点)为等腰直角三角形,则此双曲线的离心率为 A. 6 B. 3 C. ( D. 2 )

6 2

第1页

8.已知 f(x)=x2-2x +3,g(x)=kx-1,则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在 R 上恒成立”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.以下四个命题中正确的是 ( A. ?? ? R, sin3 ? ? cos3 ? ? 1 C. ?? ? (0, B. ?? ? R, sin4 ? ? cos4 ? ? 1 D. ?? ? (

)



?
2

), sin? ? cos? ? 1

?
2

, ? ), sin? ? cos? ? 1
)

10. 已知函数 f(x)=1nx+x2-3x, 则其导函数 f′ 的图象与 x 轴所围成的封闭图形面积为 (x) A.1n2 B.1 C.

3 ? 1n2 4

D.

1 2

11 . 已 知 △ABC 的 重 心 为 G , 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 若

aGA ? bGB ?
A.

3 cGC ? 0 , 则角 A= 3
B.





? 6

? 4

C.

? 3


D.

? 2

12.曲线 C1:x2+(y-4)2=1,曲线 C2:x2=2y,EF 是曲线 C1 的任意一条直径,P 是曲线 C1 上任一点,则 PE · 的最小值为 PF A.5 B.6 C.7 D.8 (

第Ⅱ 卷(非选择题共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须作 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) - 13.曲线 y=e x 在点(0,1)处的切线方程为 。 14 . 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 a2=7 , S5=50 , 则 数 列 {an} 的 通 项 公 式 为 an= 。

?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? 15 . 设 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 ?2 x ? y ? 3 ? 0 , 则 目 标 函 数 z=x+y 的 取 值 范 ?x ? y ? 1 ? 0 ?
围 。

16.设函数 f(x)= 3x-sin(3x+

? ? 9? ) ,数列{an}为等差数列,若 a1= ,则 , a9 ? 20 20 4


f (a1 ) ? f (a2 ) +…+ f (a9 ) ?

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分) - 已知数列{an}、{bn}满足 a1 =5,an=2an-1+3n 1(n≥2,n∈ *) n=an-3n(n∈ *) N ,b N . (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 18. (本题满分 12 分) 已知函数 f(x)= sin(2x+

? )+2cos2x-1. 6
3 3 , a=2, sinB= , 2 5

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2) 在△ABC 中, 内角 A、 C 的对边分别为 a、 c, B、 b、 已知 f A) ( = 求△ABC 的面积. 19. (本题满分 12 分) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 A1A⊥ 底面 ABC,BA⊥ CA,且 AB=AC=AA1, D、E、 F 分别为 AB1,CC1,BC 中点. (l)求证:DE∥ 平面 ABC; (2)求证:B1F⊥ 平面 AEF; (3)求二面角 B1-AE-F 的余弦值。

20. (本题满分 12 分)设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A,过坐标原点的直线交 a 2 b2

椭圆于 P、Q 两点(P、Q 异于点 A) ,△APQ 的面积最大值为 2 2 ,离心率 e=

2 。 2

(1)求椭圆方程; (2)求证:直线 AQ 与直线 AP 斜率乘积为定值; (3)抛物线 y2=2px(p>0)以 A 为焦点,直线 AP 交抛物线于点 G、H,直线 AQ 交抛 物线于点 M、N,求|MN|· |GH|的最小值。

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21. (本题满分 12 分) 已知函数 f(x)= cosx-kx2-l,若 f(x)>0 对 ?x ? (0, (1)求 k 的取值范围; (2)求证: cos ? cos ? cos ? …+ cos

?
2

) 恒成立。

1 2

1 3

1 4

1 1 3 ? n? ? (n ? 2, n ? N * ) . n 2n 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答 时请写清题号. 22. (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 AB 过圆心 O,交圆 O 于 A、B,直线 AF 交圆 O 于 F(不与 B 重合) ,直 线 l 与圆 O 相切于 C,交直线 AB 于 E,且与直线 AF 垂直,垂足为 G,连接 AC。 求证: (1) ∠ BAC=∠ CAG; 2 (2)AC =AE· AF.

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的圆 心 C 的极坐标为( 2 ,

?
4

) ,半径 r= 2

(1)在极坐标系中,直线 ? ?

?
3

(? ∈ R)与圆 C 交于两点,求两点间距离;

(2)在直角坐标系 xOy 中,过圆 C 内定点 M(1,0)作直线 l ,直线 l 与圆 C 交于 A、 B 两点,以直线 l 的倾斜角为参数,求弦 AB 中点 N 的轨迹的参数方程. 24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-l|. (1)若对任意 a、b、c∈ R(a≠c) ,都有 f(x)≤ 范围; (2)解不等式 f(x)≤3x.

|a?b|?|b?c| 恒成立,求 x 的取值 |a?c|

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