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人教版高中必修一数学经典教案(全册)


高中数学必修一全一册 各章各节详细教案

2016 年 5 月 10 日星期二

1

第一章
第一部分





1 、1、1 集合的含义 走进预习

【预习】教材第 3-5 页 1、查阅大数学家康托尔(Contor)的材料。 2、初步掌握:①集合、元素的概念;集合如何按元素个数分类? ②集合、元素的记法 ③元素与集合的关系 ④集合的性质。

第二部分
【探索新知】 在小学、初中我们就接触过“集合”一词。 例子: (1)自然数集合、正整数集合、实数集合等。

走进课堂

(2)不等式 2 x ? x ? 7 ? 0 解的集合(简称解集) 。
2

(3)方程 x ? 3x ? 2 ? 0 解的集合。
2

(4)到角两边距离相等的点的集合。 (5)二次函数 y ? x 2 图像上点的集合。 (6)锐角三角形的集合 (7)二元一次方程 2 x ? y ? 1 解的集合。 (8)某班所有桌子的集合。 现在,我们要进一步明确集合的概念。 问题 1、从字面上看,怎样解释“集合”一词? 2、如果上面例子中的数、点、图形、数对和物体等称为“研究对象” ,那么集合又是 什么呢? 知识点一:1、集合、元素的概念

再看例子 (9)质数的集合。 (10)反比例函数 y ?

1 图像上所有点。 x
2

(11) x 、 xy ? y 、 ? 2 y 2
2

2

(12)所有周长为 20 厘米的三角形。 问题 3、从集合中元素个数看,上面例子(1) (2) (4) (5) (6) (7) (9) (10) (12)与例 子(3) (8) (11)有什么不同? 知识点一 2、有限集和无限集

指出:集合论是德国数学家 Cantor(1845~1918)在十九世纪创立的,集合知识是现代数 学的基本语言,为进一步研究数学提供了极大的便利。

知识点二 集合、元素的记法 问题 4、 (1)集合、元素各用什么样的字母表示?

(2) N 、 N ? ( N ? ) 、 Z 、 Q 、 R 等各表示什么集合?

知识点三 元素与集合的关系 阅读教材填空: 如果 a 是集合 A 的元素 , 就记作_________,读作“____________” ; 如果 a 不是集合 A 的元素,就记作__ ____,读作“______ _____”. 再用 ? 或 ? 填空: 1 3 1、6______N , ? ______Q , _______Z , 3.14 _______Q ? _______Q, 3 2 2、设不等式 2 x ? 1 ? 0 的解集为 A,则 5_______A , ? 3 _______A 3、2 x ? y ? 1 ? 0 的解集为 B, 则 (?1,4) _______B , (1,3) _______B , ? 2 _______B 问题 5、元素 a 与集合 A 有几种可能的关系? 知识点四 集合的性质 ① 确定性: 例子 1、下列整体是集合吗? ①个子高的人的全体。②某本数学资料中难题的全体。③中国境内的海拔高的山峰的全体。

3

2、集合 A 中的元素由 x=a+b 2 (a∈Z,b∈Z)组成,判断下列元素与集合 A 的关系? (1)0 (2)

1 2 ?1

(3)

1 3? 2

(活动形式:组内合作 组间交流)

②互异性: 2 例子、集合 M 中的元素为 1,x,x -x,求 x 的范围? (活动形式:独立完成 小组内讨论 小组间交流展示)

③无序性:

反思总结:

【课堂检测】 1、实数 x,-x,|x|, x 2 ,?3 x 3 是集合 P 中的元素,则 P 最多含( A 2 个元素 B 3 个元素 C 4 个元素 D 5 个元素 ) )
王新敞
奎屯 新疆

2、设 a、b 都是非零实数,y= A.3 反思总结: B. 3,2,1

a b ab + + 可能的取值为( | a | | b | | ab |
C. 3,1,-1 D. 3,-1

【拓展提升】--活动与探究 数集 A 满足条件:若 a∈A,则

1 ∈A(a≠1). 1? a

(1)若 2∈A,试求出 A 中其他所有元素. (2)设 a∈A,写出 A 中所有元素.

4

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、设一边长为 1 且有一内角为 40°的等腰三角形组成集合 P,试问 P 中有多少个元素?

3. 已知集合 A 有三个元素 a ? 2 , (a ? 1) 2 , a ? 3a ? 3
2

(1)若 1 ? A ,则集合 A 中还有哪些元素? (2)若 1 ? A ,则 a 应满足什么条件?

【质疑与收获】

5

1、1、2 集合的表示法 第一部分 走进预习

【预习】教材第 5-7 页 回答下列问题: 1、什么是列举法?举例说明如何用列举法表示集合? 2、什么是描述法?举例说明如何用描述法表示集合?

第二部分

走进课堂

【复习检测】 一、集合、元素的概念;集合如何按元素个数分类? 二、集合、元素的记法 三、元素与集合的关系 四、集合的性质。 问题: 1、 在初中我们曾用 实数集等又怎样表示呢? 2、在初中人们常说不等式 ? 3 x ? 1 ? 0 的解集为 x ? 当的,究竟应该这样表示这些集合呢? 【探索新知】集合的表示法 知识点一 列举法 1,2,3,4? 表示 N ? , 但是象抛物线 y ? x 2 上的点的集合、

1 ,但在高中这样的说法就是不恰 3

1、从字面上看“列举法”的含义。

2、从教材中获取列举法的定义。

例 1、用列举法表示下列集合 (1)方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 解的集合。

(2)24 与 18 的公约数的集合。
6

(3)大于 5 且小于 30 的质数的集合。

(4)二元一次方程 2 x ? y ? 10 的正整数解的集合。 又如:下列集合也可以用列举法表示 (1)自然数集

(2)正整数的倒数集合

(3)小于 50 的且被 3 除余 1 的正整数的集合。

问题 1、下列集合可以用列举法表示吗? (1)直角三角形的集合。 (2)不等式

x ?1 x ? ? ?2 的解集。 2 3

(3)某农场的拖拉机的集合。 知识点二 描述法

1、从字面上看“描述法”的含义。

2、从教材中获取描述法的定义。

3、用描述法表示集合的具体操作方法。

例 2、用描述法表示下列集合 (1)直角三角形的集合。

7

(2)不等式

x ?1 x ? ? ?2 的解集。 2 3
x?4 x ? ? 1 ? x 2 的解集。 2 3

(3)不等式

(4)方程 x ? 3x ? 2 ? 0 解的集合。
2

方程 x 2 ? 1 ? 0 解的集合。

问题 2、设方程 x 2 ? 1 ? 0 解的集合为 ? , ? 中有元素吗? 你能再举一些这方面的例子吗?

(5)二元一次方程 2 x ? y ? 1 的解的集合。

?2 x ? y ? 2 (6)二元一次方程组 ? 的解集。 ?x ? y ? 4

(7)抛物线 y ? x 2 ? 1 上点的集合。

二次函数 y ? x 2 ? 1 的函数值

y 的集合。

二次函数 y ? x 2 ? 1 的自变量 x 的取值范围。
8

(8)被 3 除余 1 的整数的集合。

指出:有些集合还可以用 Venn 图表示。 例如、下列集合可以用 Venn 图表示 ① ? 1,4,7,9? ② ? 1,4,7,9 ??

反思总结:

【课堂检测】 1、下列集合中哪些具有相同的元素?

A ? x | y ? x 2 ?1 D ? y ? x 2 ?1

?

?

B ? ( x, y) | y ? x 2 ? 1
E ? ?x | x ? ?1?

?

?

C ? y | y ? x 2 ?1

?

? ?

?

?

F ? y | y ? t 2 ? 1, t ? R ,

?

G ? x | x ? y 2 ? 1, y ? R ;

?

?

2.关于方程组 ?

?x ? y ? 1 的解集,下面表达正确的是________. ?x ? y ? 3
③{(x,y)| (2,-1)}; ④{2,?1}

?x=2 ①{(x,y)|? } ; ②{(2,-1)} ; ?y=-1

【拓展提升】 :试用列举法表示下列集合 (1)A={ x ? N |

12 ?N } 6? x

(2)已知 B={

12 ? N | x? N } 6? x

9

第三部分 走向课外
【课后作业】

1.用列举法表示下列集合 (1) A={x|x=2n n∈Z }; B={x|x=2n-4 n∈Z };

C={x|x=4n n∈NZ};

D={x|x=4n+2

n∈NZ};

(2) A={x|x=2n-1 n∈Z };

B={x|x=2n+1

n∈Z};

C={x|x=4n±1 n∈Z};

D={x|x=2n+1

n∈N };

2.用列举法表示下列集合 |a| |b| ? (a, b ? R) 所确定的实数集合. (1)由 a b

(2) {(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N }.

3.设 A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R} ①若 A=?,求 a 的值; ②若 A 中只有一个元素,求 a 的值; ③若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值集合.

【质疑与收获】

10

1、2 集合之间的关系
1、2、1 子集与真子集 第一部分 走进预习
【 预 习 】阅读教材第 10-14 页,试回答下列问题 1、子集的概念及记法

2、集合相等的定义

3、真子集的概念及记法

4、子集、真子集的图形表示

5.子集、真子集的性质 ①空集 ? 与集合 A 的关系

②子集、真子集的传递性

【 质 疑 】本节内容我有哪些疑问?

11

第二部分

走进课堂

1、2、1 子集与真子集
【复习检测】

?集合、元素的概念 ? ?集合、元素的记法 1、 集合的含义? ?元素与集合的关系 ?集合的性质 ?
?列举法 ? 2、 集合的表示法?描述法 ?Venn图法 ?
问题:1、实数之间存在着相等或不等关系,那么集合间又有怎样的相等或不等关系呢? 2、元素与集合间是“属于”或“不属于”的关系,那么集合间还是这样的关系吗? 【探索新知】 知识点一 子集的定义 阅读下列一段话:

1,2,3?, B ? ? 1,2,3,4,5? 已知 A ? ?
A 中任意一个元素都在 B 中,就说 A 包含于 B,记作 A ? B (或 B 也说 A 是 B 的子集。 在下列个题中指出哪个集合是哪个集合的子集: 1、 N , N (或 N ? ), Z , Q , R 2、① A ? ?x | x ? ?1?, B ? ?x | x ? 2? ② A ? ?x | x ? ?3? , B ? ?x | ?1 ? x ? 2? ③ A ? ?x | ?3 ? x ? 5? , B ? ?x | ?1 ? x ? 2? ④ A ? x | x ? ?1或x ? 3 , B ? x | x ? 1或x ? 2
?

包含 A) ;

?

?

?

? ? ? ?

3、 U ? x | x是三角形 , A ? x | x是锐角三角形 , B ? x | x是钝角三角形

?

?

?

?, D ? ?x | x是斜三角形? C ? ?x | x是直角三角形
问题:集合 A 是集合 A 的子集吗? 指出:对任意的 n ? N , 0 ? n ,类比可以规定: ? 是任何集合 A 的子集,即 ? ? A 。

12

知识点二 集合相等的定义 例子、 A ? x | x ? 1 ? 0 , B ? ?? 1,1?
2

?

?

问题:集合 A 是集合 B 的子集吗? 集合 B 又是集合 A 的子集吗? 结论:集合 A 是集合 B 的子集,同时集合 B 又是集合 A 的子集,即集合 A 和集合 B 有相同 的元素,就说集合 A 与集合 B 相等。

A ? B? ?? A? B B ? A?
下列两个集合相等吗? 1、 A ? x | x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?x ? Z | 0 ? x ? 3?
2

?

?

2、 A ? ?x | 0 ? x ? 3?, B ? ?x ? Z | 0 ? x ? 3? 3、 A ? ?x | 3x - 1 ? 5? , B ? ?x | x ? 2?

知识点 三 真子集的定义 阅读下列一段话:

1,2,3?, B ? ? 1,2,3,4,5? 已知 A ? ?
A ? B 且 A ? B (或者说 A ? B 且 B 中至少有一个元素不在 A 中) ,则说 A 是 B 的 真子集,记作 A ? B 。
在下列个题中指出哪个集合是哪个集合的真子集: 1、 N , N (或 N ? ), Z , Q , R 2、① A ? ?x | x ? ?1?, B ? ?x | x ? 2? ② A ? ?x | x ? ?3? , B ? ?x | ?1 ? x ? 2? ③ A ? ?x | ?3 ? x ? 5? , B ? ?x | ?1 ? x ? 2? ④ A ? x | x ? ?1或x ? 3 , B ? x | x ? 1或x ? 2
?

?

?

?

? ? ? ?

3、 U ? x | x是三角形 , A ? x | x是锐角三角形 , B ? x | x是钝角三角形

?

?

?

?, D ? ?x | x是斜三角形? C ? ?x | x是直角三角形

13

应该指出: 1、子集、集合相等和真子集可以用 Venn 图表示。

2、显然:

A ? B? ?? A?C B ? C?



A ? B? A ? B? ? ,或 ? ,那么 A 是 C 的真子集吗? B ? C? B ? C?

问题:集合 ?a, b?有哪些子集,其中又有哪些真子集?有哪些非空真子集? 对于 ?a, b, c?, ?a, b, c, d ?呢? 从中你能得出什么结论呢?

【例题剖析】

? ? y ? x3 ? ? ? 例 1、已知集合 A ? ?( x, y ) | ? ? ,那么 A 中的非空子集有多少个? ? ?y ? x ? ? ?

0,1? ? A ? ?0,1,2,3,4? 的集合 A 的个数。 例 2、求满足 ?

反思总结:

14

【课堂检测】
1、指出下列各组中集合 A 与 B 之间的关系: (1) A={-1,1},B=Z; (2) A={1,3,5,15},B={x|x 是 15 的正约数}; (3) A ? N ? ,B=N; (4) A ={x|x=1+a ,a∈ N ? }
2

,

B={x|x=a -4a+5,a∈ N ? };
2

2、已知{1,2 } ? M ? {1,2,3,4,5},则这样的集合 M 有多少个?分别写出来.

【拓展提升】——活动与探究 2 2 2 设集合 A={x|x +4x=0,x∈R},B={x|x +2(a+1)x+a -1=0,x∈R},若 B ? A,求实数 a 的取值范围.

15

第三部分 走向课外
www. 12999.c o m 【课后作业】 1.已知 M={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 P 满足:P ? M,且若 ? ? P , 则 10- ? ∈P 则这样的集合 P 有多少个?

2.已知集合 S = {1,3x +3x ,-3x},集合 A={1,|2x-1|},如果{x|x∈S,x ? A}={0},则这样 的实数 x 是否存在?若存在,求出 x,若不存在,请说明理由.
3 2

【 质疑与收获】

16

1、2、2 集合间关系的逆向思维问题
第一部分 走进预习
【 复 习 】判断下列两集合间的关系 1、 A ? ?x | x ? 3?, B ? ?x | x ? ?1? 2、 A ? ?x | ?3 ≤

x ≤ 2?, B ? ?x | ?1 ≤ x ≤ 3 ? ?
2?

3、 A ? ?x | x ? ?3或x ? 2?, B ? ?x | x ? ?4或x ? 2? 4、 A ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?x | x ? 1 ? 0?

?

?

第二部分

走进课堂

1、2、2 集合间关系的逆向思维问题
【探索新知】集合间关系的逆向思维问题 指出:将上面四个例子中的结论变为条件,而将条件中的某些常数变为参数 a,这就得到了 集合间关系的逆向思维问题。 【例题剖析】 例 1、已知 A ? ?x | x ? 3? , B ? ?x | x ? a? , A ? B ,求实数 a 的取值范围。

例 2、已知 A ? ?x | ?3 ≤
B ? A ,求实数

x ≤ 2? , B ? ?x | m ? 1 ≤ x ≤ 3 ? 2m?

m 的取值范围。

17

例 3、已知 A ? ?x | x ? ?3或x ? 2?, B ? ?x | x ? 2a ? 1或x ? 5a ? 12? , B ? A ,求实 数 a 的取值范围。

反思总结:

我们再来看有关方程的问题 例 4、已知 A ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?x | ax ? 1 ? 0? , B ? A ,求实数 a 的值。

?

?

例 5、已知 A ? ?x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0?, B ? ?x | ax2 ? x ? b ? 0?, B ? ? , B ?

A ,求实数

a、b

的值。

反思总结:

18

第三部分 走向课外
【课后作业】 (限时 20 分钟) 3? 1、已知 A ? ? ? ? x | ?1 ? x ? ? , B ? ?x | x ? a或x ? a ? 1 2? ?

A ? B ,求实数 a 的取值范围。

2、已知

A ? x | x 2 ? 8x ? 0 , B ? ?x | x2 ? 2(a ? 2) x ? a2 ? 4 ? 0? B ? A ,求实数 a 的取值范围。

?

?

3、已知 A ? y | y ? 2 x 2 ? x ? 3, x ? R , B ? y | y ? ax2 ? x ? 2, x ? R
A ? B ,求实数 a 的取值范围。

?

?

?

?

实际用时为: ( )分钟 【 质疑与收获】

19

1、3 集合的运算
1、3、1 交集与并集
第一部分 走进预习
【 预 习 】阅读教材第 16-18 页及第 31-32 页,试回答下列问题: 1、 交集的定义 ① 自然语言

②符号语言

③图形语言

2、并集的定义 ①自然语言

②符号语言

③图形语言

第二部分
【 复 习 】 1、子集的定义

走进课堂

2、集合相等的定义

3、真子集的定义

?集合的含义与表示法 ? 指出: 集合?集合间的关系 ?集合的运算 ?
这一节课我们来研究:集合的运算。 【探索新知】 阅读下列一段材料: 例子、 A ? ? 1,3,5,9?, B ? ?2,3,5,7? 用 Venn 图表示为:

20

A 1 9

3 5

B 2 7

问题:1、集合 ?3,5? 与集合 A、B 关系如何? 知识点一 结论:集合 ?3,5? 是由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合,叫做集合 A 与集合 B 的交集,记作 A ? B .

A ? B ? ?x | x ? A且x ? B?
问题:2、集合 ? 1,2,3,5,7,9?与集合 A、B 关系如何?

知识点二 结论:集合 ? 1,2,3,5,7,9?是由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,叫做集合 A 与集合 B 的并集,记作 A ? B .

A ? B ? ?x | x ? A或x ? B?
显然: A ? B ? B ? A , A ? B ? B ? A

A ?? ? ? ,
A ? A ? A,
【例题剖析】

A ?? ? A
A? A ? A

x | x ? 2n ?1 , n ?Z?, B ? x | x ? 2n, n ? Z 例 1、已知 A ? ?
求 A? B , A? B ; A ? Z , A ? Z .

?

?

x | x ? 3n, n ? Z? , B ? ? x | x ? 3n ? 1 , n ? Z? 又如:已知 A ? ?
求 A? B , A? B ; A? Z , A ? Z .

21

例 2(1)已知 U

?, A ? ?x | x是锐角三角形?, B ? ?x | x是钝角三角形? ? ?x | x是三角形

求 A ? B , A ? B ; A ? U , A ? U .w

(2) 已知 U

?, A ? ?x | x是等腰三角形?, B ? ?x | x是直角三角形? ? ?x | x是三角形

求 A? B , A? B ; A ?U , A ?U .

问题:若 A ? B ,那么 A ? B , A ? B 如何? 从中你能得出什么结论呢?

例 3(1)已知 A ? ?x | x ? 3?, B ? ?x | x ? ?2? ,求 A ? B , A ? B .

(2) 已知 A ? ?x | ?1 ≤ x ? 2? , B ? ?x | 1 ≤ x ? 5? 求 A? B, A? B.

(3)已知 A ? ?x | x ? ?2 或 x ≥ 7 ? , B ? ?x | x ≤ ? 3或 x ? 5? 求 A? B , A? B .

22

(x, y) | y ? ?4x ? 6, x ? R? 例 4(1)已知 A ? ?

B ?? ( x, y) | y ? 5x ? 3, x ? R?
求 A? B

(2)已知 A ? ( x, y ) | y ? ? x ? 1, x ? R
2

?

?

B ? ( x, y ) | y ? 2 x 2 ? x ? 1, x ? R

?

?

求 A? B

2 2 (3)已知 A ? y | y ? ? x ? 1, x ? R , B ? y | y ? 2 x ? x ? 1, x ? R

?

?

?

?

求 A? B ,

A? B

反思总结:

23

【拓展提升】——活动与探究
2 1、已知 A ? y | y ? ? x ? a, x ? R , B ? y | y ? 2 x 2 ? x ? 1, x ? R

?

?

?

?

求 A? B , A? B

2 2 2、已知 A ? y | y ? ax ? 1, x ? R , B ? y | y ? 2 x ? x ? 1, x ? R

?

?

?

?

求 A? B , A? B

3、若 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}, (1)若 A∪B=A∩B,求 a 的值; (2) ? ? ? A∩B,A∩C= ? ,求 a 的值.

4、已知集合 A={x|x2-4x+3=0},B={x|x2-ax -1=0},C={x|x2-mx+1=0},且 A∪B=A A∩C=C,求 a,m 的值或取范围.

24

第三部分 走向课外
【课后作业】
1、已知 A ? ?x | x ? 3? , B ? ?x |
x?

?1? ,求 A ? B , A ? B 。

2、已知 A ? ?x | ?1 ≤ x ? 4?, B ? ?x | 1 ≤

x ? 5? ,求 A ? B , A ? B 。

3、已知 A ? ?x | ?1 ≤ x ? 3? , B ? ?x | x ? 2 ,求 A ? B , A ? B 。

?

4、已知 A ? ?x | x ? ?1 或

x ? 4? , B ? ?x | 2 ? x ? 5? ,求 A ? B , A ? B 。

5、已知 A ? ?x | x ? ?1 或 x ? 4? , B ? ?x | x ? 1或x ? 5?,求 A ? B , A ? B 。

2 2 6、已知 A ? ( x, y) | y ? 2 x ? x ? 3, x ? R , B ? ( x, y ) | y ? x ? x ? 3, x ? R

?

?

?

?

求 A? B 。

2 2 7、已知 A ? y | y ? 2 x ? x ? 3, x ? R , B ? y | y ? x ? x ? 3, x ? R

?

?

?

?

求 A? B 、 A? B 。

8、已知

A ? y | y ? 2 x 2 ? x ? 3, x ? R , B ? ?y | y ? ax 2 ? x ? 3, a ? 0, x ? R?

?

?

求 A? B 、 A? B 。

25

1、3、2 求交集与并集的逆向思维
第一部分 走进复习
【 复 习 】再求两集合的交集和并集
x?

1 ① 已知 A ? ?x | x ? 3? , B ? ?x |

?1? ,求 A ? B , A ? B 。

②已知 A ? ?x | ?1 ≤ x ? 4?, B ? ?x | 1 ≤

x ? 5? ,求 A ? B , A ? B 。

③ 已知 A ? ?x | ?1 ≤ x ? 3? , B ? ?x | x ? 2 ,求 A ? B , A ? B 。

?

④ 已知 A ? ?x | x ? ?1 或

x ? 4? , B ? ?x | 2 ? x ? 5? ,求 A ? B , A ? B 。

⑤ 已知 A ? ?x | x ? ?1 或 x ? 4? , B ? ?x | x ? 1或x ? 5?,求 A ? B , A ? B 。

2 2 2 ①已知 A ? y | y ? 2 x ? x ? 3, x ? R , B ? y | y ? x ? x ? 3, x ? R

?

?

?

?

求 A? B 、 A? B 。

②已知

A ? y | y ? 2 x 2 ? x ? 3, x ? R , B ? ?y | y ? ax 2 ? x ? 3, a ? 0, x ? R?

?

?

求 A? B 、 A? B 。

26

第二部分

走进课堂

指出:将【 复 习 】1 中五个例子中的结论变为条件,而将条件中的某些常数变为参数 a, 这就得到了求交集与并集的逆向思维问题。 【探索新知】求交集与并集的逆向思维 例 1、已知 A ? ?x | x ? 3? , B ? ?x | x ? a (1) A? B ? ? , (2) A ? B ? R 分别求 a 的取值范围。

?

例 2、已知 A ? ?x | ?1 ≤ 值范围。

x ? a? , B ? ?x | 1 ? x ? 5? , A ? B ? ?x | ?1 ≤ x ? 5? ,求 a 的取

例 3、已知 A ? ?x | ?1 ≤ x ? 3? , B ? ?x | x ≥ a , A ? B ? ? ,

?

A ? B ? ?x | x ≥ ?1? ,求 a 的取值范围。

例 4、已知 A ? ?x | x ? ?1 或

x ? 4? , B ? ?x |b ≤ x ≤ 3 ? a?, A ? B ? ? , A ? B ? R , 求

a、b 的值。

再看【 复

习 】2 中两个例子的逆向思维问题:

2 2 例 5、已知 A ? y | y ? 2 x ? x ? 3, x ? R , B ? y | y ? ax ? x ? 3, x ? R

?

?

?

?

27

A ? B ? ?y | y ≥ ?

25 ? ? 8 ?

,求 a 的取值范围。

反思总结:

第三部分 走向课外
【课后作业】 (限时 30 分钟) 1、已知 A ? ?x | x ? ?2 或 x ? 5? , B ? ?x |a ≤ x ≤ 8 ? a? , A ? B ? R , 求 a 的取值范围。

2、已知 A ? ?x | ?2 ? x ? 1 或 x ? 4? , B ? ?x |a ≤ x ≤ b ? , A ? B ? ?x | x ? ?2? ,
A ? B ? ?x | 0 ≤ x ? 1? , 求 a、b 的值。

2 2 2,3,5? 3、已知 A ? x | x ? ax ? 15 ? 0, x ? Z , B ? x | x ? 5x ? b ? 0, x ? Z , A ? B ? ?

?

?

?

?

求 a、b 的值。
28

2 4、已知 A ? y | y ? x ? 2 x, x ? R , B ? y | y ? ax , x ? R

?

2

?

?

?

求 A? B 、 A? B

5、已知 A ? y | y ? x ? 2 x, x ? R
2

?

?

B ? y | y ? ax 2 , x ? R , A ? B ? ?x | ?1 ≤ x ≤ 0?
求 a 的取值范围。

?

?

29

1、3、3 全集与补集
第一部分 走进预习
【 预 习 】阅读教材第 页,试回答下列问题 1、全集(universal set)的概念

2、补集的概念: ①自然语言

②符号语言

③图形语言

第二部分
【复习检测】 交集、并集的定义 ①自然语言

走进课堂

②符号语言

③图形语言

指出:这一节课我们研究集合间的另一种运算。 【探索新知】 知识点一 全集的概念 阅读下列一段材料: 在研究集合间的关系和运算时, 我们所研究的集合常常是某一特定集合的子集, 这个特 定的集合叫做全集,记作 U. 例如:1、研究 A ? ?x | x ? 1? , B ? ?x | ?1 ? x ? 3?等集合时,A、B 都是 R 的子集 , R 就是全集。

30

2、在研究 ① A ? ?x | x ? 2n, n ? Z ? , B ? ?x | x ? 2n ? 1, n ? Z ? ② A ? ?n | x ? 3n, n ? Z ?, B ? ?x | x ? 3n ? 1, n ? Z ?, C ? ?x | x ? 3n ? 2, n ? Z ? 等集合时,A、B、C 都是 Z 的子集,Z 就叫做全集。 3、在研究质数集 A 与合数集 B 时,质数集合 A 与合数集合 B 都是 U ? ?n ? Z | n ? 2?的子 集,U 就是全集。 4、在研究有理数集 Q 合无理数集时,有理数集 Q 和无理数集都是实数集 R 的子集,U=R 就 是全集。 5、在研究 A ? x | x是斜三角形 , B ? ?x | x是直角三角形 ?等集合时,A、B 都是

?

?

?的子集,U 就是全集。 U ? ?x | x是三角形
知识点二 补集的定义 指出:有时全集也可以规定:

1,2,3,4,5? , A ? ? 1,2,3? 例如: U ? ?
问题:集合 ?4,5?与 U、A 有什么关系? 结论: ?4,5?是由全集 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,记作 CU A ? ?4,5?, CU A 叫 做 A 在 U 中的补集。

CU A ? ?x | x ? U且x ? A?
U 在上面五个例子中,求集合 A、B 的补集。 A 指出:我们也可以用 Venn 图表示补集 显然: CU (CU A) ? A , CU ? ? U , CU U ? ?

(CU A) ? A ? ? , (CU A) ? A ? U

31

【例题剖析】 例 1、已知 U=R, A ? ?x | ?3 ≤ x ≤ 4? , B ? ?x | x ≤ 2或x ? 5? 求 CU ( A ? B ) ,

CU ( A ? B)

(CU A) ? (CU B) , (CU A) ? (CU B )

再看例 1 的逆向思维: 已知 U=R,

A ? ?x | ?3 ≤ x ≤ 4? , B ? ?x | x ≤ a或x ? a ? 3?

CU ( A ? B) ? ?x | 4 ? x ≤ a ? 3? ? ?



a

的取值范围。

2 例 2、已知 U ? x | x是24与30的公约数 , A ? ?x | x ? 5 x ? 6 ? 0

?

?

?

B ? ?x | x 2 ? 7 x ? 6 ? 0
求 CU ( A ? B )

?
, CU ( A ? B )

(CU A) ? (CU B ) , (CU A) ? (CU B ) 。

问题:从例 1 和例 2 的结果看,你能得出什么结论呢? 对于这个结论,你能通过画 Venn 图得到体验吗? 反思总结:

32

1、3、4 集合运算的逆向思维与用韦恩图解题 第一部分 走进复习
【 复 习 】
?4,?3,2? ,求 A ? B 1,0,?3?, B ? ? 1、已知 A ? ?

2、已知 U ? ? 3,0,1, 2 , A ? ?0,1, ?3? ,求 CU A

?

?

3、已知 U

? ?x | x是不大于30的质数?

11,17,19,29? A ? ?2,5,13,17,23? , B ? ?2,
求 A ? (CU B ) , (CU A) ? B , (CU A) ? (CU B )

第二部分

走进课堂

集合运算的逆向思维与用韦恩图解题
【探索新知】集合运算的逆向思维与用韦恩图解题 【例题剖析】 例 1、已知 A ? a , a ? 1, ?3 ,
2

?

?

B ? a ? 3,2a ? 1, a 2 ? 1 , A ? B ? ??3?


?

?

a

的值。

33

2 例 2、已知 U ? ?? 3,0,1, 2? , A ? a , a ? 1,?3 , CU A ? ?2? ,求 a 的值。

?

?

例 3、已知 U ? ?x | x是不大于30的质数? ,A、B 是 U 的子集。

11,19,29? A ? (CU B ) ? ?5,13,23? , (CU A) ? B ? ?
(CU A) ? (CU B) ? ? 3,7?
求 A、B.

例 4、选择题 (1) .已知全集 U,M、N 是 U 的子集,若 CU M ? N ,则必有( (A) M ? CU N (C) CU M ? CU N (B) M ? CU N (D)M = N



(2) .如图的阴影部分表示的集合为( (A)A∩ (CU B ) ∩ (CU C ) (B)A∪ (CU B ) ∩ (CU C ) (C) (CU A) ∪(B∩C) (D) (CU A) ∩(B∪C)

) U A

B

C

34

问题:1、已知集合 A、B、 A ? B 的元素个数分别为 Card ( A) 、 Card (B) 、 Card ( A ? B) , 怎样计算 Card ( A ? B) 呢?

结论: Card ( A ? B) = Card ( A) + Card (B) ? Card ( A ? B) 。

例 3.向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果:赞成 A 的人数是全体的

3 , 5

其余的不赞成;赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成。另外,对 A、B 都不赞成的 学生数比对 A、B 都赞成的学生数的 生各有多少人?

1 多 1 人,问对 A、B 都赞成的学生和都不赞成的学 3

问题:2、若对三个集合 A、B、C,又如何求

Card ( A ? B ? C) 呢?
结论:

Card ( A ? B ? C) = Card ( A) + Card (B) ? Card (C)
?Card ( A ? B) ?Card (B ? C) ?Card (C ? A) ?Card ( A ? B ? C)

例 4.有 a 、 b 、 c 三本新书,至少读过其中一本的有 18 人,读过 a 的有 9 人,读过 b 的 有 8 人,读过 c 的有 11 人,同时读过 a 、 b 的有 5 人,读过 b 、 c 的有 3 人,读过 c 、 a 的有 4 人,那么全部读过的有多少人?

35

例 5.为完成一项实地测量任务,夏令营的同学们成立了一只“测绘队” ,需要 24 人参加测 量,20 人参加计算,16 人参加绘图。测绘队的成员中很多同学是多面手,有 8 人既参加测 量有参加了计算,有 6 人既参加了测量又会图,还有 4 人既参加了绘图又参加了计算,另 有一些人三项工作都参加了,问这个测绘小组至少有多少人?

反思总结:

第三部分 走向课外
【课后作业】
? 1,5? ,(CU A) 1、 填空: 设 U= x ? N | x小于10 , A、 B 是 U 的子集, A∩B= ?3? , A∩ (CU B) ? ?

?

?

4,6,8? ,则 A=___________.B=____________. ∩ (CU B) ? ?
2.高一(1)班期末考试成绩统计如下: (1)36人数学成绩不低于80分 (2)20人物理成绩不低于80分 (3)15人数学和物理成绩都不低于80分 问有多少人这两科成绩至少有一科不低于80分?

3.某校有100名教师,其中订阅中国教育报的有67人,订阅考试报的有45人,两 种都不订的有21人,那么同时订阅两种报纸的教师有多少人?

36

第二章 函 数 2、1 函数的概念
2、1、1 函数及其表示法 第一部分
【预习】教材第 29~43 页,了解: 1、函数的定义 2、函数的表示法。

走进预习

第二部分

走进课堂

2、1、1 函数及其表示
【复 习】1、初中函数的定义 2、在初中我们学习了哪些具体函数? 指出:现在,我们学习了集合的概念,我们想从两集合间的关系的角度来研究函数及其表 示法。 【探索新知】函数及其表示法 例子 1、一枚炮弹发射后,经过 26s 落到地面击中目标,炮弹的射高为 845m。
2 炮弹距地面的高度 h(单位 m)随时间 t (单位 s)变化的规律是: h ? 130t ? 5t 。

炮弹飞行时间 t 的变化范围是数集

A ? ?t | 0 ≤ t ≤ 26? 。
炮弹距地面的高度 h 的变化范围是数集

B ? ?h | 0 ≤ h ≤ 845? 。
例子 2、如图的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从 1979~2001 年的变化情况。

t | 1979 ≤ t ≤ 2001 。 时间 t 的变化范围是数集 A ? ?
臭氧层空洞的面积 S 的变化范围是数集 B ? ?S | 0 ≤ S ≤ 26? 。

?

37

例子 3、下表是“1991 年~2001 年”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况: 时间(年) 城镇家庭恩 格尔系数 1991 53.8 1992 52.9 1993 50.1 1994 49.9 1995 49.9 1996 48.6 1997 46.4 1998 44.5 1999 41.9 2000 39.2 2001 37.9

恩格尔系数 ?

食物支出金额 总支出金额

A?? 1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001?

B ? ?53.8,52.9,50.1,49.9,49.9,48.6,46.4,44.5,41.9,39.2,37.9?
问题:例子 1、2、3 有什么共同的特征? 知识点一 函数的定义:

知识点二 函数的表示法:

再看例子: 1、下列对应关系是否是函数? f:取倒数 0 1 2 (1) 2、下列曲线表示函数吗? y y x x B 1 4 2 (2) f:开平方 A 1 f: f:乘 2 B A 1 3 4 (3) 1 2 3 (4) 2 7 4 6 B

A

1 B -1 2 -2

A

1 -1 2 -2

o

o

38

3、用函数的定义解释下列函数,并求出其定义域和值域。 (1)

y ? ?2 x ? 3

,

y?

4 x

,

y ? ?2 x 2 ? 3x ? 5
,

(2)

y ? ?2 x ? 3(?1 ? x ? 2)

y?

4 ( x ? 1) x

,

y ? ?2x 2 ? 3x ? 5(?1 ? x ? 2)
问题:函数有几个要素? 例子:下列两函数是否相同? 1、 f A 1 B A 1 -1 4 2 6 (1)

f 1 -1 2 (2) 1 6

B

2、 f ( x ) ? 2 x ? 1( x ? R ) 与 g ( x ) ? 2 x ? 1(0 ? x ? 1)

3、 f ( x) ?

x 2 ? 4 与 g ( x) ? x ? 2 ? x ? 2

4、 f ( x ) ? 1 与 g ( x ) ?

x , x

5、 f ( x ) ? x 与 g ( x) ?

x2

3 3 6、 h ( x ) ? x 与 e( x) ? x

反思总结:

39

2、 1、 2 第一部分

画函数的图像 走进预习

【预习】教材第 38~43 页,了解一些函数图象的画法: 1、和函数一次函数、反比例函数和二次函数相关函数的图象。 2、分段函数的图象。

第二部分
【复 习】1、初中函数的定义 2、高中函数的定义。 3、函数的表示法、 。 【探索新知】画函数的图像 例 1、一次函数、反比例函数和二次函数 (1) y ? 2 x ? 3 , y ? ?3x ? 2

走进课堂

(2) y ?

2 ?3 ,y? x x

2 2 2 2 (3) y ? 2 x ? 3x , y ? ? x ? 2 x ? 3 , y ? 2 x ? 4 x ? 3 , y ? ? x ? 2 x ? 1

例 2、在 1 中限制 x 的范围,再画函数的图像。 例 3、和绝对值联系 (1) y ? 2 | x | ?3 , y ?| 2 x ? 3 | (2)

y ? 2 x 2 ? 3 | x | , y ?| 2 x 2 ? 3x |

例 4、某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 公里以内(含 5 公里) ,票价 2 元。 (2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里的按 5 公里计算) 如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画 出这函数的图像。
?x2 ? 1 x ? 0 x?0 (2) G ( x) ? ? ?0 ?x ? 1 x ? 0 ?

?1 再如: (1) F ( x) ? ? ?0 ?? 1 ?

x?0 x?0 x?0

?1 x ? Q 指出:并不是所有的函数都能画出图象,例如 D ( x ) ? ? 就不能用图象表示。 ?0 x ? Q

反思总结:

40

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、画和二次函数相关函数图像 (1) y ? x 2 ? 2 x ? 3 ,
y ? x 2 ? 2 x ? 3 ( ?2 ≤

x ? 4 且 x?Z )

y ? x 2 ? 2 | x | ?3 ,
(2)

y ?| x 2 ? 2 x ? 3 |

y ? ?2 x 2 ? 4 x ,

y ? ?2 x 2 ? 4 x ( ? 1 ? x ≤

3 ) 2

y ? ?2 x 2 ? 4 | x | , y ?| ?2x 2 ? 4x |
2、画分段函数的图像

?x ? 1 x ?1 ? ?1 x ?1 (1) D( x) ? ? 2 ? x ?1 2 ? ?? x ? 1

? x 2 ? 4 ?1 ? x ? 3, x ? Z (2)e( x) ? ? ?? x ? 1 ? 4 ? x ? ?1, x ? Z

2、1、3 映射与函数 第一部分
【预习】教材第 34~37 页,了解: 1、映射的定义。 2、区间的概念。

走进预习

第二部分
【复 习】1、初中函数的定义 2、高中函数的定义。 【探索新知】 一、映射的定义 例子: 1、 A ? x | x是平面内三角形 , B

走进课堂

?

?

? ? ?x | x是平面内的圆

f : 画三角形的外接圆。
2、 A ? x | x是平面内三角形 , B ? R

?

?

f : 求三角形的面积。
41

3、

? x,y) | x ? R, y ? R? ?, B ?( A ? ?P | P是平面内的点
f : 在平面直角坐标系下找点 P 的坐标。

4、

? A ? ?x | x是我们班级内的学生

? B ? ?x | x是我们班级内的椅子
f : 每位同学坐一把椅子。
下列例子是映射吗?

f:取倒数 0 A 1 2 (1) f:平方 1 -1 2 -2 (3) 1 3
B

f:开平方 1 1 B 2
A 4

1 1 2 3 (2) f:平方

B

f:乘 2 1 3 7 4 1 A 2 3 (5) 2 4 B 6

A

4

A

1 -1 2 -2 (4)

B

二、区间的概念 请在下列空白处填写集合的区间表示。 ① ?x | a ? ③ ?x | a ?

x ? b? __________ ② ?x | a ? x ? b?___________ x ? b?__________ ④ ?x | a ? x ? b?__________
__________ ⑥ ?x | x ? a? ____________

⑤ ?x | x ? a? ⑦ ?x | x ? a?

__________ ⑧ ?x | x ? a? _____________

三、注意 f (a) 的意义
2 例 1、已知 f ( x) ? 3x ? 5 x ? 2 ,求 f (3) ,

f (? 2 ) ,

f (a ? 1)

42

2 例 2、已知 f (x) ? 8x ?1 , g ( x) ? x ? x

求 f (g(x)) , f (g(x) ? 2) , g( f ( x)) , g( f (3) ? 20)

?x2 ? 1 x ?0 ? x ?0 例 3、已知 f ( x) = ?0 ?? x 2 ? 1 x ? 0 ?

,求 f ( f (1) ?1) , f ( f (?2) ? 3)

?2 x ? 1 x ?1 例 4、已知 f ( x) ? ? f ( x ? 1) x ? 1 ,求 f (?2) ?

2 例 5、已知 f (x) ? 9x ?1 , g ( x) ? x , f (g(x)) ? g( f (x) ? 2) ,求 x

x ?1 ?2 x 例 6、已知 f ( x) ? ? 2 x ?1 ?( x ? 1)

(1)若 (2)若

f ( x0 ) ? 4 ,求 x0 f ( x0 ) ? 4 ,求 x0 的取值范围。

反思总结:

43

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、已知 求

f (x) ? 2x ? 11 , g ( x) ? x 2 ? 2 ,

f (2 ? g( x)) , g( f (x) ?1)

? ?x 2 f ( x) ? ? 2、已知 ? ?? x
(1) 当 x ≤0 时,求

x?0 x?0
f ( g( x))

?1 ? g ( x) ? ? x , ?x 2 ?


x?0 x?0

(2)当 x >0 时,求 g( f ( x) ? 1)

x?4 ?x2 ? x 3、已知 f ( x) = ? x?4 ? f ( x ? 2)

,求

f (?2)

44

2、1、4 求函数解析式 第一部分
【复 习】 1、已知 f ( x) ?

走进复习

2 ? 3x ,求 f ( ?1) , f (3x ? 1) 。 4x ? 1

2、已知

f ( x) ? x 2 ? 2 ,求 f ( x ? ) 。 x

1

3、已知 f ( x) ? 2 x ? 1 ,求 f ( f ( x )) 。

第二部分
【探索新知】求函数解析式 问题:在【复

走进课堂

习】1 中,若已知 f (3x ? 1) ,你能求 y ? f ( x) 吗?

例 1、已知 f (3x ? 1) ?

5 ? 9x ,求 y ? f ( x) 12 x ? 3

例 2、已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ,求 y ? f ( x ) x x

2 又如:已知 f ( x ? 1) ?

1 ,求 f ( x) 。 x4

例 3、已知 f ( x) 为一次函数,且 f [ f ( x )] ? 4 x ? 3 ,求 y ? f ( x )

45

2 又如:已知 f ( x) 为二次函数,且 f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? x ,求 y ? f ( x )

2 例 4、已知对一切 x ? R , f ( x) ? 2 f (? x) ? 3x ? x ,

求 y ? f ( x)

又如:已知 2 f ( x) ? 3 f ( ) ? 4 x ,求 y ? f ( x )

1 x

反思总结:

【课堂检测】 3 ? 4x ) ? x ? 5 ,求 f (5) 1、已知 f ( x?2

2、已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 3 ? 3 ,求 y ? f ( x ) x x

46

2 3、已知 f ( x) 为二次函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 2 x ? 4 x ,求 y ? f ( x )

4、已知对一切 x ? R , f ( x ? 2) ? 3 f ( 2 ? x) ? x ,求 y ? f ( x )

第三部分 走向课外

【课后作业】 1、已知 f (

3x ? 4 ) ? x ? 5 ,求 y ? f ( x ) 2x ? 1

2、已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ,求 y ? f ( x ) x x

3、已知 f ( x) 为一次函数,且 f [ f ( x)] ? x ? 1 ,求 y ? f ( x )

4、已知对一切 x ? R , f ( x) ? 2 f (1 ? x) ? x ? x ,求 y ? f ( x )

2

47

2、1、5 求函数定义域 第一部分
【复 习】1、初中函数的定义 2、高中函数的定义。

走进复习

第二部分

走进课堂

【探索新知】 问题:在给出函数时,有时直接指明了函数的定义域;也有的时候,给出函数解析式,但 并不写函数的定义域,这时函数的定义域指的是什么呢? 例 1、求下列函数的定义域 (1)

y?

1 3x ? 1

(2) y ?

? 2x 2 ? x ? 1

(3)

y?

1 1 ? ? 2x 2 ? x ?1 (4) y ? ? 2 x 2 ? x ? 1 ? 3x ? 1 3x 2 ? 14x ? 5

反思总结:

指出:对于实际问题,函数的定义域由实际背景确定。 例如:某超市日销售一种饮品 50 瓶,每瓶 2,50 元,由日常销售经验知:若每瓶价格提高 1 元,则每天就少卖 10 瓶,试写出日销售金额与价格的函数关系式。

48

将例 1(2)变为分类讨论问题 例 2、求下列函数的定义域 (1) y ?

? 2x 2 ? x ? a

(2) y ?

ax2 ? x ? 1

我们再看例 1(2) 的逆向思维 例 3、已知函数 y ?

ax2 ? x ? 1 的定义域为 R, 求 a 的取值范围

例 4、已知函数 y ?

ax2 ? x ? b 的定义域为 [? ,1] , 求 a、 b 的值.

1 2

再看复合函数的定义域 例 5(1)已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 [ ?1 , 3] ,求 y ? f (3x ? 2) 的定义域

(2)已知函数 y ? f (3x ? 2) 的定义域为 [ , ] ,求 y ? f ( x) 的定义域

1 5 3 3

(3)已知函数 y ? f (3x ? 2) 的定义域为 [ , ] ,求 y ? f (3 ? 4 x) 的定义域

1 5 3 3

反思总结:

49

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、求下列函数的定义域 (1)

y?

1 x ? 2x ? 3
2

(2) y ?

1 x ? 2x ? 3
2

2、求函数 y ?

1 ax ? 2 x
2

的定义域

3、已知函数 y ?

1 ax2 ? bx ? 3

的定义域为 ?x | x ? ?1或x ? 3? ,求 a、b 的值。

4、已知 f ( x) ?

1 m x2 ? 4m x ? m 2 ? 1

定义域为 R, 求 m 的取值范围

5、已知 f ( x) ?

1 的定义域为 R, 求 m 的取值范围 m x ? 4m x ? 1
2

6、已知函数 y ? f (4 ? x) 的定义域为 [?1,3] ,求 y ? f (2 x ? 1) 的定义域

50

2、1、6 集合运算和集合间关系的逆向思维与二次函数 第一部分 走进复习

【复 习】在集合一节中我们研究了求集合间关系和集合并交补的逆向思维问题:
2 2 1、已知 A ? ?x | x ? 3x ? 2 ? 0?, B ? ?x | x ? (a ? 1) x ? a ? 0? ,

(1)

A ? B (2) B ? A (3) A ? B 只有一个元素

分别求

a 的取值范围。

2、已知 A ? ?x |x ? a或x ? 5 ? a? , B ? x | x ? ?3或x ? 5 , (1) A ? B ?

?

?

?x | x ? ?3或x ? 5 ? a?, (2) A ? B ? ?x | x ? a或 ? 5? ,

分别求 a 的取值范围。

3、已知 U=R, A ?

?x | ?3 ? x ? 4?, B ? ?x | x ? a或x ? a ? 3?,

CU ( A ? B) ? ?x | 4 ? x ? a ? 3? , 求 a 的取值范围。

51

第二部分
指出:1、练习 2 的另一种形式: 2、已知 A ?

走进课堂

?x |x 2 ? 5x ? 5a ? a 2 ? 0?,

B ? ?x |x 2 ? 2x ? 15 ? 0?,

(1) A ? B ?

?x | x

2

? (a ? 2) x ? 3a ? 15 ? 0 ,
2

?

(2) A ? B ?

?x | x

? (a ? 5) x ? 5a ? 0

?,

分别求 a 的取值范围。 2、练习 3 的另一种形式: 已知 A ?

?x |x 2 ?12x ?12 ? 0?,

B ? ?x |x 2 ? (2a ? 3) x ? a 2 ? 3a ? 0?,

CU ( A ? B) ? x | x 2 ? (a ? 7) x ? 4a ? 12 ? 0
求 a 的取值范围。

?

?,且 a ? 1

问题:若二次三项式不能分解,这类问题又如何解决呢? 【探索新知】 不等式中二次三项式不能分解 例 1、已知 A ? x |x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? ?x |
2

?

?

x 2 ? ax ? 1 ? 0?,

(1)

A ? B (2) B ? A (3) A ? B 只有一个元素

分别求

a 的取值范围。

例 2、已知 A ? ?x |x ? ax ? b ? 0?,
2

B ? x | x2 ? 2x ? 15 ? 0

?

?

(1) A ? B ? ? , (2) A ? B ? R ,分别求 a、 b 满足的条件。

52

例 3、已知 A ? ?x |x

2

? x ? 12 ? 0?, B ? x | x 2 ? ax ? 1 ? 0

?

?

CU ( A ? B) ? ? ,求

a 的取值范围。

反思总结:

第三部分 走向课外
【课后作业】
2 1、 已知集合 | A ? ?x |x ? 2 x ? 8 ? 0?, B= ?x | x ? ax ? a ? 12 ? 0? , B ? A , 求实数 a

2

2

的取值范围。

2、已知 A=

?x | x

2

? 2x ? 3 ≤ 0?,B=

?x | x

2

? px ? q ≥ 0?,A∩ B = ?x | x 2 ? x ? 2 ≤ 0?

求 p 、 q 满足的条件。

3、已知 A=

?x | 2x

2

? 7 x ? 15< 0?,B= ?x | x 2 ? ax ? b ≤ 0?,

且A∩B=φ ,A∪B=

?x | ?5 < x ≤ 2?,求 a 、 b 的值。

53

2、2 函数的性质 2、2、1 函数的单调性 第一部分
【预 习】教材第 44~46 页,了解: (1)增函数和减函数的定义:①图形语言 (2)单调性和单调区间的定义

走进预习
②符号语言

第二部分

走进课堂

【导 言】 从这一节开始我们研究函数的性质,函数的性质主要指单调性、奇偶性和周期性。我 们首先来研究函数的单调性。 【探索新知】2、2、1 函数单调性的定义 例子:

y?

1 x

f ( x) ? 1

对于函数

f ( x) ? x2
y 随 x 的增大而增大; y 随 x 的增大而减小。

图形语言:在 (0,??) 上, 在 ( ??,0) 上,

请同学们将图形语言改为符号语言,就得到增函数和减函数的定义。 知识点一 ①增函数的定义:

②减函数的定义:

54

知识点二 单调性和单调区间的定义: 利用单调性的图形语言可以判断下列函数的单调性: ①

f ( x) ?

1 x



f ( x) ? x 2 ? 2x



f ( x) ? x 2 ? 2 | x |



f ( x) ?| x 2 ? 2 x |

例 1、判断下列说法是否正确 (1)如图是 y ? f ( x) 的图像 取 x1 ? ?4 , x2 ? 2 显然 x1 ? x 2 , x1、x2 ?[?5,3] -5 -4 -3 -2

y

1 -1 -1 1 2 3 x

f ( x1 ) ? f ( x2 )
所以 y ? f ( x) 在 [?5,3] 上是增函数。

y ? f ( x)

(2)若 y ? f ( x) 在 (a, b) 上是增函数,在 [b, c) 上是增函数,于是 y ? f ( x) 在 (a, c) 上也 是增函数。

例 2、用函数单调性的定义证明
2 (1) f ( x) ? ?2x ? x ? 3 在 (- ? , ) 上是增函数。

1 4

(2) f ( x) ? ? x ? 1在 (-?,0) 上是减函数。
3

55

反思总结:

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、证明 f ( x) ? ? x3 ? 1在 (??,??) 上是减函数。

2、证明 f ( x) ? x ?

4 在 (2,??) 上是增函数。 x

3、证明 f ( x ) ?

x 在 (-?,-1)上是减函数。 x ?1
2

4、证明 f ( x ) ?

x 在 (-2,2) 上是减函数。 x ?4
2

56

2、2、2 判断函数的单调性 第一部分
(1)增函数和减函数的定义:①图形语言 (2)单调性和单调区间的定义 例子、判断函数 f ( x ) ?

走进复习
②符号语言

2x ? 3 的单调性,并用单调性的定义证明。 x ?1

就这个问题来看,有两个小问题: (1)如何找出这个函数的单调区间。 (2)证明这个函数在单调区间上的单调性。 问题:判断函数的单调区间有哪些方法呢?

第二部分
【探索新知】判断函数单调区间的方法 例 1、图像法 (1) 一次函数 y ? 2 x ? 3 , y ? ? x ? 1

走进课堂

反比例函数 y ?

1 ?2 ,y? x x

二次函数 y ? ? x ? 2 x , y ? 2x ? x ? 1
2 2

57

(2)联系绝对值

y ? 2 | x | ?3 ,

y ?| 2 x ? 3 | ,

y?

?1 |x|

y ?|

?1 |, x

y ? ?x2 ? 2 | x | ,

y ?| ? x 2 ? 2 x |

例 2、先考虑函数的定义域,再确定要研究的区间 (1) y ?

1 x ?1

(2) y ?

3 ? 2x x ?1

(3) y ?

x?2 ? 9? x

(4) y ?

2x ? 1 ?

1 x

(5) y ? x ? 2x ? 1

例 3、复合函数的单调性 (1) y ? 5 ? 4 x ? x 2 (2) y ? | x | ?1 12999 . c o m

58

要注意某些判断函数单调性的逆向思维 例子: 1、 y ? 2 x 2 ? ax ? 1在 (?? , ) 上是减函数,求实数 a 的取值范围。

1 4

2、 y ? ax2 ? x ? 1在 ( ,?? ) 上是增函数,求实数 a 的取值范围。

1 4

3、 y ?

3 ? 2x 在 (??,?1) 上是减函数,求实数 a 的取值范围。 x?a

4、 y ?

ax2 ? 4 x ? 5 在 [?5,?2] 上是增函数,求实数 a 的值。

例 4、要记住一些函数的单调区间,画这些函数的图象,并会用单调性定义证明 (1) y ? ax ?

b (a ? 0, b ? 0) x

(2) y ?

x (k ? 0) x ?k
2

(3) y ?

x (k ? 0) x ?k
2

例如、已知函数 y ? x ?

a 在 (1,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围。 x

反思总结:

59

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、 y ? ax2 ? 4 x ? 1在 (2,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围。

2、 y ?

ax ? 1 在 (?2,??) 上是减函数,求实数 a 的取值范围。 x?2

3、 y ?

a | x | ?1 在 (1,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围。

2、2、3 利用函数单调性求函数的最值 第一部分
巩固练习: 1、证明 y ? ax ?

走进复习

b b (a ? 0, b ? 0) 在 (0, ) 上是减函数。 x a

2、证明 y ?

x (k ? 0) 在 (? k , k ) 上是增函数。 x ?k
2

60

2、 证明 y ?

x (k ? 0) 在 (? k , k ) 上是减函数。 x ?k
2

第二部分
【探索新知】利用函数单调性求函数的最值 例1、 求函数 y ?

走进课堂

3 ? 4x (?3 ? x ? ?` 1) 的最大值和最小值。 2x ? 1

指出:上面例子的四种表现形式: 1、求函数 y ?

3 ? 4x (?3 ? x ? ?` 1) 的最大值和最小值。 2x ? 1

2、求函数 y ?

3 ? 4x (?3 ? x ? ?` 1) 的值域。 2x ? 1

3、已知 f ( x ) ?

3 ? 4x 1 成立,求实数 a 的取值范围。 ,不等式 f ( x) ? a 对一切 ? 3 ? x ? ?` 2x ? 1

3、 已知 f ( x ) ?

3 ? 4x 1 使不等式 f ( x) ? a 成立, , 存在 ? 3 ? x ? ?` 求实数 a 的取值范围。 2x ? 1

61

例2、 求函数 y ? x ?

1 (2 ? x ? 3) 的的最大值和最小值。 x

问题:在例 2 中若 y ? x ?

1 1 ( ? x ? 2) ,结论又如何? x 2

【课堂检测】 1、求函数 y ? x ?

4 (1 ? x ? 3) 的值域。 x

2、求函数 y ?

x (?6 ? x ? 5) 的最大值和最小值。 x ? 16
2

3、已知 f ( x) ?

x ,不等式 f ( x) ? a 对一切 ? 2 ? x ? 2 成立,求实数 a 的取值范围。 x ? 16
2

62

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、求 y ? 5 ? 4 x ? x 2 (?1 ? x ? 0) 的最大值及相应的 x 值。

2、求 y ? x ?

x 2 ? 1(0 ? x ? 1) 的值域。

3、对一切 x ? [?1,0] ,不等式

1 ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围。 x ? 4x ? 5
2

4、已知函数 f ( x) ?

2x ? 1 ?

1 , f ( x) ? a 有解,求实数 a 的取值范围。 x ?1

63

2、2、4 函数的奇偶性 第一部分 走进预习

【 预 习 】阅读教材第 47~49 页,试回答下列问题 1、奇函数、偶函数的定义 2、奇函数、偶函数的图象特点

第二部分

走进课堂

【 复 习 】 1、增函数、减函数的定义 2、单调性和单调区间的定义 指出:这一节课我们来研究函数的另一种性质。 【探索新知】 例子:

问题:1 、 (1) (2)图象各有什么特点? 2、 (1) (2)中的点和它的对称点的坐标有什么关系? 3、这里的 x 是函数定义域中的什么数? 知识点一 奇函数、偶函数的定义:

知识点二 奇函数、偶函数的图象特点:

64

例 1、判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x3 ? 2 x (2) f ( x) ? 2 x ?
4

4 x2

(3) y ? ax ?

b x (a ? 0, b ? 0) (4) y ? 2 (k ? 0) x x ?k

又如:1、一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 何时为奇函数? 2、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 何时为偶函数? 问题:有无函数 f ( x) , f ( x) 既是奇函数又是偶函数? 结论:1、若函数 f ( x) 既奇又偶,则 f ( x) ? 0 例子: 判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x 2 ( x ? 0) (2) f ( x) ? x 2 (?1 ? x ? 1)

(3) f ( x) ? x (?1 ? x ? 1)
2

结论:2、若函数 f ( x) 具有奇偶性,则 f ( x) 定义域对应数轴上的点关于原点对称。 例子:判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ?

x 2 ? 4 ? 4 ? x 2 (2) f ( x) ? x ? 4 ? 4 ? x

65

注意:具有奇偶性的函数的图像特点 根据具有奇偶性的函数的图像特点,在已知奇(偶)函数图像一部分时,可以画出另 一部分。 例 2: (1) f ( x) ? x3 ? 2 | x | (2) y ? ax ?

b (a ? 0, b ? 0) x

(3) y ?

x (k ? 0) x ?k
2

(4) y ?

x (k ? 0) x ?k
2

例 3、判断下列函数的奇偶性

x?0 ?1 ? x?0 (1) f ( x ) ? ?0 ?? 1 x ? 0 ?

(2) g ( x) ? ?

? x( x ? 1) x ? 0 ?? x( x ? 1) x ? 0

反思总结:

66

第三部分 走向课外
【课后作业】 判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ?

x4 ? x2 x2 ?1

(2) g ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 1 |

(3) y ?

x x2 ? 4

(4) y ?

x ?1 x2 ? 4

?x ? 1 x ? 0 ? x?0 (5) h ( x ) ? ?0 ?x ? 1 x ? 0 ?

(6) D( x) ? ?

?1 x ? Q ?0 x ? Q

67

2、2、5 函数的奇偶性的几个基本问题 第一部分
【 复 习 】 1、奇函数、偶函数的定义

走进复习

2、奇函数、偶函数的图象特点

第二部分
【探索新知】 问题 1、如何判断函数不具有奇偶性 例如: (1) y ?

走进课堂

x ?1 x2 ? 4

(2) y ?

x ?1

2、已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,求 f (0) 。

结论 3: 例 1、①已知 f ( x) ?

x3 ? x ? a , f ( x) 是奇函数,求 f (1 ? f (1)) 。 x2 ?1

②已知 f ( x) ?

x5 ? x ? a x2 ?1

, f ( x) 是奇函数,求 f ( 2) 。

问题 3、①设 f ( x) 是定义在 R 上的函数, F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,

G( x) ? f ( x) ? f (? x) , 那么 F ( x) 、 G ( x) 的奇偶性如何?

68

②奇函数与奇函数(或偶函数与偶函数)的和差积商的奇偶性如何?奇函数与偶 函数的积或商呢?

结论 4: 例 2、 已知 f ( x) ?| x ? 1 | 可以表示为一个偶函数 g ( x) 和一个奇函数 h( x) 的和, 求 g ( x) 和

h( x ) 。

例 3、已知函数 f ( x) ? ax5 ? bx3 ? cx ? 1 , f (2) ? ?1 ,求 f (?2) 。

反思总结:

【课堂检测】 1 、已知 f ( x) ? 3 x ? 1 可以表示为一个偶函数 g ( x) 和一个奇函数 h( x) 的和,求 g ( x) 和

h( x ) 。

7 5 2 2、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? x (ab ? 0) , f (2) ? ?1 ,求 f (?2) 。

69

第三部分 走向课外
【课后作业】 1 、 已 知 f ( x) ?| x ? 1 | ? | ax ? b | (a ? 0, b ? 0)) , f ( x) 是 奇 函 数 , 且 f (2) ? 2 求

f (3 ? f (?3)) 。

2、设 f ( x) ?

- 2x ? a (a、b为实常数) 2 x ?1 ? b

(1)当 a ? b ? 1 时,证明: f ( x) 不是奇函数。 (2)设 f ( x) 是奇函数,求 a、 b 的值。

3 、已知 f ( x) ?

1 ( x ? ?1) 可以表示为一个偶函数 g ( x) 和一个奇函数 h( x) 的和,求 x ?1

g (3) ? h(2) 。

4 2 4、 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? x , f (2) ? ?1 ,求 f (?2) 。

70

2、2、6 函数的奇偶性与对称问题
【 复 习 】 1、奇函数、偶函数的定义 3、结论(1) (2) (3) (4) 2、奇函数、偶函数的图象特点

第二部分

走进课堂

指出:这一节课我们来研究函数奇偶性的另一重要问题 【探索新知】 一、一个函数图像关于点或直线对称 例 1、已知奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 3 ,当 x ? 0 时,求 f ( x) 。

例3、 已知函数 f ( x) , f ( x ? 1) 是偶函数, 当 x ? 1 时, f ( x) ? x 2 , 当 x ? 1 时, 求 f ( x) 。

2 例 3、 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,f ( x ? 3) 是偶函数, 当 x ? (0,3) 时,f ( x) ? 2x ? x ,

当 x ? (?6,?3) 时,求 y ? f ( x) 。

71

二、两个函数图像关于点或直线对称 例子:已知 f ( x) ? x 2 ? 2 x ,且函数 g ( x) 与 f ( x) 的图像关于下列直线或点对称,分别求 出函数 g ( x) 。 (1) x 轴(2) y 轴(3)原点(4)直线 x ? 1 (5)直线 y ? ?2

反思总结:

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、填空: 函数 f ( x) ? x3 ? 1 关于下列直线或点对称的图像对应的解析式为 g ( x) ,求 g ( x) 。 (1) x 轴_____________ (2) y 轴______________ (3)原点_____________(4)直线 x ? 1 __________ (5)直线 y ? ?2 ________ 2、已知偶函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x3 ? 1 ,当 x ? 0 时,求 f ( x) 。 3、已知函数 f ( x) , f ( x ? 2) 是奇函数,当 x ? 2 时, f ( x) ? x ? 1,当 x ? 2 时,求 f ( x) 。 4、已知偶函数 f ( x) , f ( x ? 1) 是奇函数,当 x ? (0,1) 时, 时,求 y ? f ( x) 。 5、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足: f ( x - 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若 方 程 f ( x) ? m(m ? 0) 在 区 间 [?8,8] 上 有 四 个 不 同 的 根 x1、x2、x3、x4 , 求

f ( x ) ? x 3 ,当 x ? (?2,?1)

x1 ? x2 ? x3 ? x4 。
72

2、2、7 单调性和奇偶性综合问题
【 复 习 】 1、增函数、减函数、单调性和单调区间的定义 2、奇函数、偶函数的定义和图象特点

第二部分

走进课堂

指出:这一节课我们来研究单调性和奇偶性的综合问题 【探索新知】 例 1.先根据条件画出函数的大致图象,再利用图象解题 ( 1)选择题:若奇函数 f ( x) 在区间 [ 3 , 5] 上是增函数,且最大值是 6,那么 f ( x) 在区间

[ ?5 , ? 3] 上是(



(A)增函数,最小值为 ? 6 (B)增函数,最大值为 ? 6 (C)减函数,最小值为 ? 6 (D)减函数,最大值为 ? 6 ( 2 ) 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 f ( x) , 在 (0 , ? ?) 上 是 增 函 数 , 且 f (1) ? 0 , 则

(2 x ? 1) f ( x ? 2) ? 0 的解集为______________.
问题:在例 1(1) (2)中,若 f ( x) 是偶函数,结论又如何? 例 2、先根据条件画出函数的大致图象,再利用图象判断函数的单调性,再利用单调性定义 证明。 (1)已知函数 f ( x) 是奇函数, f ( x) 在 (0 , ? ?) 上是增函数,那么 f ( x) 在 (??,0) 上是增 函数还是减函数?

(2)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 在 [?a,?b](a ? b ? 0) 上是减函数,且 f (?b) ? 0 ,求 证: y ? [ f ( x)] 在 [b, a ] 上是增函数。
2

73

(3)已知奇函数 f ( x) 在 (0 , ? ?) 上是减函数,且 f ( x) ? 0 ,那么 F ( x) ? 上是增函数还是减函数?并用函数单调性的定义证明。 、

1 在 (??,0) f ( x)

问题:在例 1(1) (2) (3)中,若 f ( x) 是偶函数,结论又如何?

例 3、函数单调性和奇偶性与抽象不等式 (1)已知函数 f ( x) 是定义在 [?2,2] 上的减函数,且 f (1 ? m) ? f (m) ,求 m 的取值范 围。

(2)已知奇函数 f ( x) 是定义在 [?2,2] 上的减函数,且 f (m) ? f (m ? 1) ? 0 ,求 m 的取 值范围。

(3) 已知定义在 [?2,2] 上的偶函数 f ( x) 在 [0,2] 是减函数, 且 f (1 ? m) ? f (m) , 求 m 的 取值范围。

反思总结:

74

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、已知偶函数 f ( x) 在 [0 , ? ?) 上是增函数,且 f (1) ? 0 ,解不等式 (2 x ? 1) f ( x ? 2) ? 0 。

2、已知奇函数 f ( x) 在定义域 (?1,1) 上是减函数,且 f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 ,求 值范围。

a

的取

3、已知函数

f ( x) 是 定 义 在

R 上 的 奇 函 数 , 且 在 (??,0) 上 是 减 函 数 ,

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) ,求

a

的取值范围。

4 、 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 (??,0) 上 是 增 函 数 ,

f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) ,求

a

的取值范围。

5、已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 (??,0] 上是增函数,且 f (1 ? m) ? f (m) ,求 m 的取 值范围。

75

第三章

基本初等函数(Ⅰ)

3、1、1 实数指数幂及其运算 第一部分 走进复习

【 预 习 】阅读教材第 85~90 页,试回答下列问题 1、 a 的 n 次方根的定义 2、根式的定义 3、分数指数幂的意义 4、无理指数幂的意义

第二部分

走进课堂

【 复 习 】 1、初中指数幂的定义 2、初中指数幂的运算律 问题:当指数 m、n 是有理数和实数时,初中那些指数运算律还成立吗? 【探索新知】 1、 a 的 n 次方根的定义 在初中, (?2) ? 4 ? ?2是4的平方根,
2

33 ? 27 ? 3是27 的立方根 0 2 ? 0 ? 0是0的平方根 27 ? 128 ? 2是128 的七次方根

(-4) 3 ? -64 ? -4是64的立方根,
于是: (?2) ? 16 ? ?2是16 的四次方根
4

(-3) 5 ? 243 ? -3是243 的五次方根
于是我们得到 a 的 n 次方根的定义:

①当 n 是正奇数时, a 的 n 次方根记作 n a ,例如: 7 128 ? 2 , 5 ? 243 ? ?5 ②当 n 是正偶数时, x ? a 是非负数, a 的 n 次方根记作 n a (a ? 0)
n

例如: 529 ? 23, 6 729 ? 6 其中, n a (a ? 0) 是 a 的非负 n 次方根。 特别地, (1) n 0 ? 0 , (2) 负数没有偶次方根。 再如:16 的四次方根为: ? 4 16 ? ?2 , 9 0 ? 0 , ? 6 729 ? ?3

76

2、根式的定义 式子 n a 叫做根式,例如: 3 ? 27 , 3 4 , n 0 , 3 , 3 ? 27 , 5 7 等都是根式。 ①当 n 是正奇数时, n a 是 a 的 n 次方根 例如: 3 ? 27 是 ? 27 的三次方根, 5 7 是 7 的五次方根。 ②当 n 是正偶数时, x ? a 是非负数, n a (a ? 0) 是 a 的 n 次非负方根,
n

一个正数 a 正的方根 n a 叫做正数 a n 次算术根。 例如: 4 16 ? 2 是 16 的四次算数根, 5 是 5 的二次算数根(算术平方根)
3

7 是 7 的三次算数根

显然有公式: (n a ) n ? a ( n ? N ? , n ? 1 ) 当 n 是正偶数时, a ? R 当 n 是正偶数时, a ? 0 例如: (3 2 ) 3 ? 2 , (5 ? 27) 5 ? ?27 问题: n a n ? a 吗?
2 3 例子:计算 (?3) , 4 2 4 , 3 (?3) , 5 2 5

于是可以得到结论:

2 2 3 2 再计算: 3 (?8) , ( ?10 ) , (3 ? ? ) , ( a ? b) ( a ? b)

练习:当 a ? 0 时,求下列各式的值 (1) 5 a10 (2) 3 a12 (3) 7 a 28

3、分数指数幂的意义 上面的练习说明: ①当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式。 ②推广一下,当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂 的形式。

77

例如:当 a、b、c ? 0 时, a ? a , b ? b , c ? c
3 2
4 5

2 3

1 2

5 4

m



n

a m ? a n (a ? 0, m、n ? N ? )
?n

又由于 a

1 ? n ,所以,可以推广为 a n ? a
? m n

m

1
n

a

m

(a ? 0, m、n ? N ? )

m

0 n ? 0,0

无意义。

4、无理数指数幂的意义 例如: 3
2

可以看做是: 3

1。 4

、3

1。 41

、3

1。 414

?的逼近值。

指出:有了分数指数幂和无理数指数幂的意义后,整数指数幂运算律便可以推广为实数指 数幂的运算律。

a m a n ? a m? n ,

am a m am m?n m m m ? a ( ) ? m , , ( ab ) ? a b b an b
1 , an
m

(a m ) n ? a mn , a ? n ?

a n ? n am ,

a

?

m n

?

1
n

am

其中: a、b ? 0 , m、n ? R

反思总结:

78

3、1、2 利用指数运算律解题 第一部分
【 复 习 】指数运算律

走进复习 走进课堂

第二部分
【探索新知】 例 1、求下列各式的值

8

2 3

100

?

1 2

16 ? ( ) 4 81

3

例 2、计算下列各式
2 1 1 1 1 5

(1) (2 a 3 ? b 2 ) ( ? 6a 2 ? b 3 )÷( ? 3a 6 ? b 6 )

1

(2) (m 4 ? n 8 )

?

3

?

3 2

?(

m 2 ?16 ) n3

3

例 3、根式的运算要化为分数指数幂的运算 (1)

a5 a 3 a? a
3 2

(2) 4 81?

3

81

(3) a a a ?

a

(4) 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12

反思总结:

79

练习: 1、计算下列各式( x ? 0 、 y ? 0 、 z ? 0 )

? y2 (1) 1 1 1 ? 1 5 (? x ?1 ? y 2 )(? x 3 ? y 6 ) 4 6 5x

?

2 3

1

(2) ( x ? y ? z )(x ? y ? z )
3

2 3

1 4

?1

?1

3 4

?

1 3

2、求 a ? a ?3 ?

3

9 2

3

a ?7 ? 3 a13 的值

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、计算下列各式
2

(1) ( 4a 3 ? b

?

1 3

)÷( ?

2 ?3 ?6 a ?b ) 3

1

5

(2) (

16s 2t ?6 ? 2 ) 25r 4
3

1

(3)(?2 x 4 ? y

?

1 3

) (3x

?

1 2

2

1

2

1

1

? y 3 ) (?4 x 4 ? y 3 )

(4)4 x 4 (?3x 4 ? y

?

1 3

) ÷ (?6 x

?

1 2

? y 3)

?

2

2、化简下列各式 (1) (
3 4

2515 ? 125 ) ? 4 5
4 1

(2)

a2 a ? 3 a2

(3) [

a 3 ? 8a 3 b 4b ? 23 ab ? a
2 3 2 3

? (1 ? 2 ? 3

b 3 )] ? a a
80

3、2、1 指数函数 第一部分 走进预习

【 预 习 】阅读教材第 90~94 页,试回答下列问题 1、指数函数的定义 2、指数函数的图象 3、指数函数的性质

第二部分

走进课堂

【 复 习 】 1、什么是函数? 2、指数运算律 问题:我们已经学过哪些具体的函数? 【探索新知】 看下面的例子 1、一个细胞每次分裂时,由一个分裂为 2 个,经 x 次分裂得到的细胞数为 y ,求 y 与 x 的 关系式。 2、一种放射性物质不断地衰变为其它物质,没经过 100 年剩留的质量为原来的 84 % ,经过 x 年这种物质的剩留量为原来的 y 倍,求 y 与 x 的关系式。 问题:例子 1、2 中两个函数有什么共同特点? 一、指数函数的定义

下列函数哪些是指数函数?

1 1 1 y ? 2 x , y ? ( ) x , y ? 3 x , y ? ( ) x , y ? 2 x?1 , y ? ( ) x ? 5 2 3 2
二、指数函数的图象
x 例如:画出 y ? 2 , y ? ( ) 的图象
x

1 2

三、指数函数的性质 1、定义域: 2、值 域: 问题:当自变量 x 取遍所有实数时,函数值 y 取遍什么? 例子:①求下列函数的定义域

y ? 2x

2

?1

,y?( )

1 3

3? x

, y ? 1 ? a x (a ? 0且a ? 1)

81

②求下列函数的值域
1

y ? 2 ? x ?1 ,

y ? 2x

3、图象都过定点(不管 a 是什么值) : 例如、填空:函数 y ? a x
2

?2 x

? 5(a ? 0且a ? 1) 过定点________________

4、当 x ? 0 和 x ? 0 时分别指出函数值 y 的范围。 例如:比较下列各数与 1 的大小关系。
1

2

2

, 2 100 , ( )

1 2

2

, (

1 ?2 ) 100

1

5、单调性:

例如: (1)判断下列函数的单调区间

y ? 2x

2

?2 x



1 y?( ) 2

x 2 ?2 x

(2)比较大小

2.1?3.2 与 2.10.1 ,

0.8 ?2 与 0.8 ?3

思考题:对于指数函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) ,在第一象限内 a 越大时,图象越往上还是越
x

往下?

反思总结:

82

3、 2、 2

利用指数函数单调性解题 走进复习

第一部分
【 复 习 】 1、指数函数的定义、图象和性质 2、练习: (1)求函数 y ? 2?3x?1 的定义域和值域 (2)已知函数 y ? a? x (3)比较大小
2

?4 x

? 1(a ? 0且a ? 1) 过定点,求出定点坐标。

2

2

与 0.2 , (

3.1

1 1 ?2 ) 与( ) 2 100

1

2

第二部分

走进课堂

指出:这一节课我们来研究用指数函数的单调性解题 【探索新知】 例 1、比较下列各组数的大小 (1) 1.7
2 .5

与 1.7

3.1

(2) ( ) 6 与 ( )

3 4

1

4 3

?

1 5

(3) a 与 a (a ? 0且a ? 1) (4) 1.7

1 3

1 2

0.3

与 1 .8

0 .2

例 2、解不等式 (1) 2
x2 ?3 x

? 4x

(2) 4 ? 2
x

x ?1

?8

(3) a

2 x2 ? x

? a 2 x?1 (a ? 0且a ? 1)

83

例 3、确定下列函数的单调区间 (1) y ? 2x
2

?4 x

(2) y ? 2

? x 2 ?2 x

(3) y ? ( )

1 2

x 2 ?2 x

? 1 (a ? 0且a ? 1)

我们再来看:求 y ? 2x 例4、 已知 f ( x) ? a x

2

?4 x

单调区间的逆向思维

2

?4 ax

(a ? 0且a ? 1) 在 (3,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围。

利用指数函数的单调性还可以求一些函数的值域 例 5、求下列函数的值域 (1) y ? 2
x?1

(0 ? x ? 1)

(2) y ? ( )

1 2

x ?1

(3) y ? 9

? x2 ?2 x

(4) y ? 2 x?1 ? 4 x

84

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、解方程: 3
x?2

? 32? x ? 80

2、填空: (1)函数 y ? 3?|x?1| 的单调递减区间为_____________ (2)函数 y ? ( ) 3、解不等式 (1) 2
x 2 ? 2 x ?3

1 2

? x 2 ? 2| x|

的递增区间为______________

1 ? ( ) 3( x?1) 2

(2) 9 ? 6 ? 2 ? 4
x x

x

5、 求函数 y ?

2?x

2

?4 x

? 7 的值域。

x 6、已知对一切 ? 1 ? x ? 2 ,不等式 ( )

1 2

2

?2 x

? a ? 0 成立,求实数 a 的取值范围。

85

3、 2、 3

指数函数图象的相关问题 走进复习

第一部分
【 复 习 】 1、指数函数的定义、图象和性质 2、利用指数函数性质解题 (1)求下列函数的定义域和值域

1 y ? ( ) x?3 , y ? 2?3 x?1 (0 ? x ? 1) , y ? 2? 2

x?1

(2)填空: y ? 1 ? a x?1 (a ? 0且a ? 1) 过定点—————。 (3)解不等式: 4 ? 2
x x ?1

(4)确定函数的单调区间

y ? 2? x ?2 x ,
(5)比较 2.1
?4.2

2

y ? 4 x ? 2 x?1
与 3.6
?1.4

的大小。

第二部分

走进课堂

指出:掌握指数函数的图象,画好指数函数相关函数的图象,可以解决许多问题。 【探索新知】 例 1、分别在同一直角坐标系下画出下列函数的图象 (1) y ? 2
x

y ? 2x?1

y ? 2 x?2

(2) y ? 2

x

y ? 2x ? 2

y ? 2x ?1

86

问题:从例 1 看,你能得出什么结论呢?

练习: 1、 y ? 23 x?1 的图象向右平移 2 个单位,得到函数____________的图象。 2、函数 y ? f (2 x ? 1) 的图象向左平移 3 个单位,得到________函数的图象。 3、函数______________的图象向右平移 2 个单位,得到函数 y ? 32?5 x 的图象。 4、函数 y ? 23 x?5 的图象经怎样的平移变换,得到函数 y ? 23 x?4 的图象?

例 2、画出下列函数的图象 (1) y ? 2 x (2) y ? 21?x (3) y ? 2?|x|

(4) y ? 2

1?|x|

(5) y ? 2

?|x?1|

(6) y ?| 2 ? 1 |
x

学会画上面函数的图象,就可以解决方程根的个数问题: 例 3、判断下列方程根的个数 (1) 2 ? x ? 1
x

(2) 2

1? x

? 5? | x |

(3) 3

?| x|

? x2

87

反思总结:

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、填空: (1) y ? 24 x?3 ? 6 的图象向左平移 2 个单位,得到函数____________的图象。 (2)函数______________的图象向右平移 3 个单位,得到函数 y ? 55?2 x ? 1 的图象。 (3)要得到 y ? 55 x?1 的图象,只需将函数 y ? 55 x?3 的图象向_______平移_______个单位。 2、判断下列方程根的个数。 (1) 3
1? x

? x?5

(2) 3

| x ?1|

? 2x ? 5

88

3、 3、 1 第一部分
【 复 习 】 1、指数函数的定义、图象和性质 2、指数运算律。

对数的定义 走进复习

第二部分

走进课堂

例子: 一种放射性物质不断地衰变为其它物质, 每经过 100 年该物质的质量变为原来的 84% (1)经过 x 年该物质的质量变为原来的 y 倍,写出 x 与 y 的函数关系式。 (2)经过多少年该物质的质量变为原来的一半?

指出:已知幂、底数,求指数的运算叫做对数运算。 【探索新知】 (一)对数的定义

公式(1) a b ? N ? loga N ? b(a ? 0且a ? 1)
例 1、指数式化成对数式

210 ? 1024, 35 ? 243,

73 ? 3 4 3 ,

et ? 2 ,

10 ?3 ?

1 1 x , 10 ? 1000 2

a 0 ? 1 , a a ? a(a ? 0且a ? 1)
指出:常用对数和自然对数的概念。 ①以 10 为底的对数叫常用对数, log10 x 简写为 lg x ②以 e 为底的对数叫自然对数, loge x 简写为 ln x 公式(2) loga 1 ? 0 , loga a ? 1 (3) a
loga N

?N

例 2、对数式化为指数式 (1) log2

2 1 ?? 2 2

lg 10 ?

1 2

ln 2 ? t

lg 5 ? x

(2)已知 ln(2 x ? 1) ? 1

l g2 ( x ? 1) ? 2

89

分别求出 x 的值。 例 3、求对数的值 (1) log2 8 (2) log3 81(3) log1 16 (4) log1 27
2 3

(5) lg

1 1 ln 2 1 log 7 log 3 (6) 2 2 (7) ( ) 2 (8) ( ) 4 1000 e

反思总结:

第三部分 走向课外
思考题: 1、已知 log2 3 ? x , log2 5 ? y , log2 15 ? A , log 2 问:A 与 x、 y ,B 与 x、 y 关系如何? 2、已知 log2 3 ? x , log2 9 ? C ,问: C 与 x 关系如何? 3、计算 (1) log100 1000,

3 ?B 5

lg1000 log2 1000 , lg100 log2 100

(2) log32 128,

log2 128 lg 128 , lg 32 log2 32

由上面 1、2、3,你能得出什么结论呢?

3、 3、 2

对数的运算法则和换底公式 走进复习

第一部分
【 复 习 】 1、对数的定义 2、上一节中① log2 15 与 log2 3 , log2 5 ② log 2 分别有怎样的关系? 由此可以猜出怎样的结论?

3 与 log2 3 , log2 5 ③ log2 9 与 log2 3 5

90

第二部分
【探索新知】 (二) 对数的运算法则 (1) loga MN ? loga M ? loga N

走进课堂

(2) log a

M ? log a M ? log a N N

(3) loga M n ? n loga M

指出:上面公式在进行对数运算时经常用到。 例 1、用 loga x 、 loga y 、 loga z 表示下列各式 (1) log a

xy z

(2) loga

x2 ? y
3

z

例 2、求下列各式的值 (1) log2 (47 ? 25 ) 指出:注意公式的逆用 例 3、化简下列各式 (1) (2) lg 5 100

1 lg 25 ? 3 lg 3 2 2

(2) log 2 5 ?

1 1 log 2 2 100

问题:在上一节中 log100 1000与

lg1000 log2 1000 、 各有什么关系? lg100 log2 100

log32 128与

log2 128 lg 128 、 呢? lg 32 log2 32

91

(三)换底公式 (1) loga N ?
n

logb N logb a
n log a b m

(2) loga b ? logb a ? 1 (4) logan b n ? loga b

(3) log a m b ?

例 4、化简下列各式 (1)

log27 16 log3 4

(2) log

2

9 ? log81 16

(3) (log4 3 ? log8 3)(log3 2 ? log9 8) (4)

log5 2 ? log7 9 1 log5 ? log7 4 4 3

反思总结:

92

3、 3、 3 第一部分
【 复 习 】 2、运算法则

对数公式的运用 走进复习
3、对数的换底公式

1、对数的定义

第二部分
【探索新知】

走进课堂

例 1、选择题: 已知 a、b、c 都是正数, 3 ? 4 ? 6 则(
a b c



1 1 1 ? ? c a b 1 2 2 (C) ? ? c a b
(A) 例 2、计算 (1) 7
lg 20

2 2 1 ? ? c a b 2 1 2 (D) ? ? c a b
(B)

1 1 ? ( ) lg 0.7 (设 x ? 7 lg 20 ? ( ) lg0.7 2 2

(2) log 9

3? 5 ? 3? 5 6

例 3、已知 log6 7 ? a , log3 4 ? b ,试用 a、 b 表示 log14 21 例 4、解下列方程 (1) 3 ? 2
x x ?1

(精确到 0.01)

(2) log4 (3 ? x) ? log0.25 (3 ? x) ? log4 (1 ? x) ? log0.25 (2 x ? 1) 例 5、解不等式: 9 反思总结:
log3 x

? 7log49 x ? 12 ? 0

2

93

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、用对数公式计算 (1) 10
1 1? lg9?lg 2 2

? 100

1 ?lg 2 2

(2)

25

1 log6 5

? 49

1 log8 7

2、填空: 解下列方程 (1)2 logx 25 ? 3 log25 x ? 1 , (2) log a x ? log a 2 x ? log a 4 x ?

3 (a ? 0且a ? 1) , 4

(3) log2 ( x ? 1)2 ? log4 ( x ? 1) ? 5 ,

(4) lg( x 2 ? 4 x ? 26) ? lg( x ? 3) ? 1,

(5)

3lg x ? 2 ? 3lg x ? 4 ? 0 ,

3、已知 log3 2 ? a , log2 5 ? b ,试用 a、 b 表示 lg 3

4、设 f ( x) 的定义域为 (0 , ? ?) ,且 f ( x) ? 3 f ( ) ? lg x 解方程 f ( x 2 ) ? f ( x 2 ? 1) ? lg 4 20 ? 0

1 x

5、已知 2 log1 x ? 14log4 x ? 3 ≤0 ,求 f ( x) ? log2
2 2

x ? log 2

2

x 的最大值和最小值. 2

94

3、 4 、 1

对数函数的定义、图象和性质 第一部分 走进预习

【 预 习 】阅读教材第 102~107 页,试回答下列问题 1、对数函数的定义 2、对数函数的图象 3、对数函数的性质

第二部分

走进课堂

指出:这一节课我们来研究对数函数的定义、图象和性质。 【探索新知】 例子: 生物体内碳 14 的的半衰期为 5730 年,设一种出土文物中生物化石中每个碳 14 含量为 原来的 x 倍,这种出土文物中生物死亡的时间为 y 年,试写出 x 、 y 的关系式。 (一) 对数函数的定义

问题:1、 y ? log2 ( x ? 1) 、 y ? 2 log0.1 x 、 y ? log3 x ? 5 等是对数函数吗? 2、已知 f ( x) ? log2 x 、 g ( x) ? log1 x ,求
2

(1) f ( ) 、 f ( ) 、 f (1) 、 f (2) 、 f (4) (2) g ( ) 、 g ( ) 、 g (1) 、 g (2) 、 g (4) (二)对数函数的图象 画出下列函数的图象 (1) y ? log2 x (2) y ? log 1 x
2

1 4

1 2

1 4

1 2

(三)对数函数的性质 1、定义域: 2、值 域: 问题:当自变量 x 取遍所有实数时,函数值 y 取遍什么? 例 1、求下列函数的定义域和值域 (1) y ? log2 (3 ? x) (2) y ? log2 ( x ? 3x ? 2)
2

95

3、图象都过定点(不管 a 是什么值) : 例 2、函数 y ? loga (3 ? x) 、 y ? loga ( x 2 ? 3x ? 1) ? 5(a ? 0且a ? 1) 过定点, 求出它们的定点坐标。 4、当 x ? 1 和 0 ? x ? 1 时分别指出函数值 y 的范围。

5、单调性:

例 3、比较大小 (1) log2 0.1 与 log0.1 0.82 (3) log2 0.1 与 log2 0.82 (2) log0.1 2.5 与 log2.1 1.2 (4) log0.1 2.5 与 log0.1 1.2

思考题:对于指数函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) ,在第一象限内 a 越大时,图象越往上还是越
x

往下?

反思总结:

96

3、 4、 2

利用对数函数单调性解题 走进复习
3、对数函数的性质

第一部分
【 复 习 】 1、对数函数的定义 2、对数函数的图象

第二部分

走进课堂

指出:对数函数的性质 1、2、3、4、5 中最重要的是单调性,利用对数函数的单调性可以 解决许多问题。 【探索新知】 例 1、比较大小 (1) log2 3.4 与 log2 8.5 (2) log0.3 1.8 与 log0.3 2.7

(3) loga 5.1 与 loga 5.9 ( a ? 0且a ? 1)

(4) log3 ? 与 log2 0.8

(5) log6 7 与 log7 6

反之, (1) log3 m ? log3 n (3) loga m ? loga n ( a 试分别比较 m、n 的大小。

(2) log0.1 m ? log0.1 n

? 0且a ? 1 )

例 2、解不等式 (1) log2 ( x ? 2 x) ? 3
2

(2) log2 x ? log2 ( x ? 3x)
2

(3) loga x ? loga ( x ? 3x)(a ? 0且a ? 0)
2

97

对(2)来说,若 log2 x ? log4 ( x 2 ? 3x) 结论又如何?

例 3、确定下列函数的单调区间 (1) y ? log2 ( x ? 1) (2) y ? log1 ( x ? x ? 2) (3) y ? log3 (? x 2 ? 4x)
2 3

反之,在已知函数的单调区间时便有其逆向思维问题: 例5、 已知函数 y ? loga (2 ? ax) 在 [0,1] 上是减函数,求实数 a 的取值范围。

问题:若 y ? loga (2 ? ax) 在 [0,1] 上是单调函数,结论又如何?

例6、 已知函数 围。

y ? log1 ( x 2 ? ax ? a ? 5) 在 (??,1) 上是增函数,求实数 a 的取值范
2

反思总结:

98

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、解不等式 (1) log2 ( x 2 ? 2 x ? 3) ? 0 (2) log2 ( x ? 1) ? log4 ( x 2 ? 3x)

(3) log3 (3x ? 1) ? log3 (2 ? x) ? log3 ( x ? 3)

2、确定下列函数的单调区间 (1) y ? log2 ( x ? 1) ? 3 (2) y ? log1 ( x ? 2 x ? 3)
2 2

3、已知函数 y ? loga (?3x ? a) 在 (?? , ) 上是增函数,求实数 a 的取值范围。

1 6

4、已知函数

y ? log1 (? x 2 ? ax ? 3) 在 [1,2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围。
2

99

3、4、3 利用对数函数单调性求函数定义域和值域 第一部分
【 复 习 】 基本知识:对数函数的定义、图象和性质 基本技能: 1、确定下列函数的单调区间 (1) y ? log2 (| x | ?1) (2) y ? log2 (? x 2 ? 2 x)

走进复习

2、已知函数 y ? log2 (| x ? a | ?1) 在 (1,??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围。

3、已知函数 y ? log2 (ax2 ? 2 x) 在 (1,2) 上是减函数,求实数 a 的值。

第二部分

走进课堂

指出:这一节课我们研究利用对数函数的单调性求函数定义域和值域的问题。 【探索新知】 例 1、求下列函数的定义域和值域 (1) y ? log2 ( x ? 3x ? 2)
2

(2) y ? log 2 ( x ? x ?
2

1 ) 2

(3) y ? log2 ( x ? 2 x ? 1)
2

(4) y ? log2 (? x ? 2 x ? 3)
2

100

变式: 1、让对数的底数带有 x 。 例如:求 y ? logx?5 ( x 2 ? 4x) 的定义域。

2、对例 1(2)限制 x ,求函数的值域。 例如:求函数 y ? log 2 ( x ? x ? )(1 ? x ? 2) 的值域。
2

1 2

3、我们还可以联系二次函数和指数函数等, (1)求函数 y ? log4 (4 x ? 2 x?1 ) 的定义域。

(2) 求函数 y ? log2 x ? log2 8x(4 ? x ? 8) 的值域。

若已知函数的定义域和值域,就有其逆向思维问题: 例 2、已知函数 y ? log2 [(a ? a) x ? 3ax ? 1] 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。
2 2

当然也可以让定义域不是 R 例如:已知函数 y ? log2 (ax ? bx ? 1) 的定义域为 (?2,3) ,求实数 a、 b 的值。
2

101

例 3、已知函数 y ? log2 [(a 2 ? a) x 2 ? 3ax ? 1] 的值域为 R,求实数 a 的取值范围。

当然也可以让值域不是 R 例如:已知函数 y ? log2 (ax2 ? x ? 1)(x ? R) 的值域为 (??,1] ,求实数 a 的值。

我们还可以在已知函数的值域时,求函数的定义域。 例如:已知函数 y ? log4 (4 ? 2
x x ?1

3 ) 的值域为 (?? , ] ,求这个函数的定义域(定义域有许 2

多,要范围最大的一个) 。

反思总结:

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、求下列函数的定义域 (1) y ? log2 (? x ? 4 x)
2

(2) y ? log4 (?4 ? 2
x

x ?1

? 3)

2、求下列函数的值域 (1) y ? log2 ( x ? 1) ? 3(7 ? x ? 15) (3) y ? log7 (6 ? 5x ? x )(?3 ? x ? 0)
2 2

(2) y ?

lg 2 x ? lg x 2 (100 ? x ? 1000 )

3、已知函数 y ?

lg 2 x ? lg x 2 的值域为 (0, 3 ) ,求这个函数的定义域(若定义域有许多,

要范围最大的一个) 。 4、已知函数 y ? log2 (ax ? bx ? 3) 的定义域为 (?1,3) ,求实数 a、 b 的值。
2

5、已知函数 y ? log2 ( x ? x ? a)(x ? R) 的值域为 [?2,??] ,求实数 a 的值。
2

102

3、 4、 4

对数函数图象的相关问题 走进复习

第一部分

【 复 习 】 基本知识:函数图像的平移变换、对称变换和翻折变换。 基本技能: 1 填空: (1) y ? log2 (4 ? 5x) 的图象向左平移 3 个单位,得到函数____________的图象。 (2)函数 y ? f (3x ? 1) 的图象向右平移 2 个单位,得到________函数的图象。 2、函数 y ? log4 (2 x ? 3) 的图象经怎样的平移变换得到函数 y ? log4 (2 x ? 5) 的图象?

3、函数 y ? f (1 ? 3x) 的图象经怎样的平移变换,得到函数 y ? f (?3x ? 4) 的图象?

4、关于对称变换 (1)已知函数 f ( x) ? log2 (3x ? 1) ,分别求出 y ? f ( x) 关于 x 轴、 y 轴、原点、 x ? ?1 、

y ? 2 ,点 (?1,2) 对称图象对应点函数解析式。

(2)已知两函数图象,找出图象对称变换。 例如: y ? f (1 ? x) 与 y ? f ( x ? 1) , y ? log4 (2 x ? 3) 与 y ? log4 (?2 x ? 3) 等。

5、如何判断方程根等个数? (1) 4 ? 1 ? x
x

(2) 3

?| x|

? x2 ? 4

103

第二部分
问题:若把两方程中的指数式变为对数式 例如: log2 | x |? ? x 2 ,

走进课堂

log 2 (? x) ? 1 ? x ? 0

方程根的个数又如何判断呢? 为此,我们先来画和对数函数相关函数的图象。 【探索新知】 例 1、画出下列函数的图象 (1) y ? log2 x (2) y ? log2 (? x) (3) y ? ? log2 x

(4) y ? log2 | x | (7) y ? log2 ( x ? 1)

(5) y ?| log2 x | (8) y ? log2 x ? 1

(6) y ? ? log2 (? x) (9) y ? log2 (1 ? x) (12) y ?| log2 x ? 1 |

(10) y ? log2 (| x | ?1) (11) y ? log 2 | x ? 1 |

指出:画函数的图象 1、最基本的方法是描点法‘ 2、要用图象变换知识。 注意:函数 y ? log2 | x | 的图象关于直线 x ? 0 对称,函数 y ? log2 | x ? 1 | 的图象关于直 线 y ? log2 | x ? 1 | 对称,我们进一步可以解决: 问题:已知函数 y ? log2 | ax ? 1 | 图象关于直线 x ? ?2 对称,求 a 的值。

104

学会画上面函数的图象,就可以解决方程根的个数问题: 例 2、判断下列方程根的个数 (1) lg x ? 3 ? x (2) log2 ( x ? 1) ? x ? 3

反思总结:

第三部分 走向课外
【课后练习】 1、判断下列方程根的个数。 (1) | log2 ( x ? 1) | ? x ? 3 (2) 3
| x ?1|

? 2x ? 5

2、已知方程 | log2 ( x ? 1) | ?4 ? a 有两个实数根,求实数 a 的取值范围。 思考题:判断下列方程根的个数

e x ? e ?x ? x ?1 ? 0 (1) x e ? e ?x

(2) log2 (? x ? 2 x ? 3) ? x ? 1 ? 0
2

(3) log2

1? x ? x ?1 ? 0 1? x

105

3、5 指数函数与对数函数的综合问题 3、5、1 指数函数与对数函数与函数的奇偶性(1) 第一部分 走进复习

【 复 习 】指数函数、对数函数的定义、图象和性质。 问题:指数函数、对数函数具有奇偶性吗? 指出: 虽然指数函数和对数函数不具有奇偶性, 但是我们可以根据指数函数和对数函数造出 具有奇偶性的函数。 例如:1、判断函数的奇偶性 (1) y ? 2 x ? 2 ? x (3) y ? lg | x | (2) y ? 2 x ? 2 ? x (4) y ? lg( x 2 ? 1)

2、已知 f ( x) ? e x , f ( x) 可表示为一个奇函数 g ( x) 和一个偶函数 h( x) 的和, 求 g ( x) 和 h( x ) 。

第二部分
下面我们再来看几个比较复杂的例子: 【探索新知】 例 1、判断函数的奇偶性 (1) f ( x) ? 1 ?

走进课堂

2 2 ?1
x

(2) g ( x ) ? log a

3? x 3? x

(3) h( x ) ? log a ( x ?

x 2 ? 1)

问题:下列函数具有奇偶性吗? (1) f ( x) ? 1 ?

2 2 ?1
x

(2) g ( x ) ? log a

x?3 x?3

2 (3) h( x ) ? log a ( x ? 1 ? x )

106

下面看一看例 1 的逆向思维: 例 2、已知下列函数都是奇函数,分别求出实数 a 的值。 (1) f ( x ) ? 1 ?

a (a ? R) 2 ?1
x

(2)g ( x) ? log a

ax ? b (a ? 0) x?3

(3) h( x) ? lg( x ?

x 2 ? a )(a ? R)

指出:利用例 1 中的几个函数,还可以编出下面的问题: 例 3、已知 f ( x) ? ax (1 ?

2 ) ? x 3 (a ? R) ,且 f (?7) ? ?243,求 f (7) 。 2 ?1
x

我们还可以编出单调性问题: 例 4、判断函数 f ( x ) ? log a

3? x 的单调性,并用函数单调性的定义证明。 3? x

反思总结:

107

3、5、2 指数函数与对数函数与函数的奇偶性(2) 第一部分 走进复习

【 复 习 】函数图象对称变换知识 1、一个函数图象自身对称。2、两个函数图象的对称。

第二部分

走进课堂

指出:本节课研究一下与函数奇偶性及函数图象对称变换相关的几个问题。 【探索新知】 例 1 、 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 f ( x ? 2) ?

?1 ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x)

f ( x) ? 4 x ? 1 ,求 f (log2 15) 。

例 2、 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称, 且当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ,求 f (log1 24) 。
2

12999 . c o m

问题:若题中“定义在 R 上的奇函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称”改为“函数

y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 及 x ? 2 对称” ,此问题又如何解决呢?

反思总结:

108

练习:1、已知定义在 R 上的奇函数 y ? f ( x) 的图像关于点 (?1,2) 对称,当 0 ? x ? 1 时,

f ( x) ? 2 x ? 9 ,求 f (log2 15) 。
2、已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x) ? f ( x ? 2k )(k ? Z ) ,当 x ? (0,1) 时,

f ( x) ?

2x 4x ?1

(1)当 2k ? 1 ? x ? 2k ? 1(k ? Z ) 时,求 y ? f ( x) 的解析式。 (2) 证明: f ( x) 在 (0,1) 上是减函数。

3、5、3 指数函数、对数函数与二次函数 第一部分 走进复习

【问 题】在研究二次函数时,我们学会了解决哪些问题? 练 习:求下列函数的值域
2 2 (1) y ? x ? 2 x ? 3 (2) y ? x ? 2 x ? 3( x ? 0) (3) y ? x ? 2 x ? 3(
2

1 ? x ? 8) 2

第二部分

走进课堂

指出:本节课研究一下二次函数与指数函数、对数函数的交汇问题。 【探索新知】 例 1、求下列函数的值域 (1) y ? 4 ? 2
x x ?1

?3

(2) y ? 4 ? 2
x

x ?1

? 3(?1 ? x ? 3)

将例 1 变为分类讨论问题: 例 2、求 y ? 4 ? a ? 2
x x ?1

? 3(?1 ? x ? 3) 的最大值。

109

例 3、求 y ? 4 x ? 2 x?1 ? 3(a ? x ? a ? 1) 的最小值。

我们再考虑例 1 的逆向思维问题: 例 4、已知 a ? 0且a ? 1, y ? a 2 x ? 2a x ? 3(?1 ? x ? 3) 的最大值为 45,求 a 的值。

例 5、已知函数 y ? 4 x ? a ? 2 x?1 ? 3(?1 ? x ? 3) 的最大值为 45,求 a 的值。

例7、 已知函数 y ? 4 ? 2
x

x ?1

? 3(a ? x ? a ? 1) 的最小值为 ? 4 ,求实数 a 的取值范围。

反思总结:

110

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、求下列函数的值域 (1) y ? lg x ? lg(10x) (2) y ? lg x ? lg(10 x)(

1 ? x ? 10) 10

2、求函数 y ? lg x ? lg( ax )(

1 ? x ? 10) 的最小值。 10

3、求函数 y ? lg x ? lg(ax)(10m ? x ? 10m?2 ) 的最大值。

4、已知函数 y ? lg x ? lg( ax )(

1 ? x ? 10) 的最大值为 2,求 a 的值。 10

5、已知函数 y ? lg x ? lg( ax )(

1 1 ? x ? 10) 的最小值为 ? ,求实数 m 的取值范围。 10 4

6、已知函数 y ? log a x ? log a (10 x)( a ? 0且a ? 1,

1 ? x ? 10) 的最大值为 2,求 a 的值。 10

111

3、5、4 抽象函数的单调性和奇偶性 第一部分 走进复习

【复 习】 y ? kx(k ? 0) , y ? a x , y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的性质。 问题:1、对于正比例函数 f ( x) ? kx , f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y)(x、y ? R) 正比例函数具有单调性和奇偶性,那么满足: f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y)(x、y ? R) 的函数

f ( x) 具有单调性和奇偶性吗?
2、对于指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) , f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y)(x、y ? R) , 指数函数具有单调性,那么满足 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y)(x、y ? R) 的函数 f ( x) 具有单调 性吗? 3、 对数函数 f ( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1) 满足: f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y)(x、y ? R) , 对数函数具有单调性,那么满足 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y)(x、y ? R) 的函数 f ( x) 具有单调 性吗?

第二部分
【探索新知】

走进课堂

例 1、对于任意的 x、y ? R , f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) , 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 (1)证明: f ( x) 是奇函数。 (2)证明: f ( x) 在 (??,??) 上是减函数。 (3)若 f (1) ? 2 ,当 x ? [?3,3] 时,求 y ? f ( x) 的最大值和最小值。

112

例 2、对于任意的 x、y ? R , f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) , 当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 证明: f ( x) 在 (??,??) 上是增函数。

例 3、对于任意的 x、y ? 0 , f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) , 当 x 证明: f ( x) 在 (0,??) 上是减函数。

? 1 时, f ( x) ? 0

有些这样的问题不好找到具体的函数模型: 例 4、对于任意的 x、y ? R , f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ? 2 , 当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 (1)求证: f ( x) 在 (??,??) 上是增函数。
2 (3)若 f (3) ? 5 ,解不等式 f (a ? 2a ? 3) ? 3 。

反思总结:

113

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、对于任意的 x、y ? R , f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) , 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 (1)判断 f ( x) 的奇偶性。 (2)证明: f ( x) 在 (0,??) 上是增函数。 (3)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 0

2、定义在 ( ?1 , 1) 上的函数 f ( x) 满足: ①对任意的 x 、 y ∈ ( ?1 , 1) , f ( x) ? f ( y ) ? f ( 求证: (1)证明 f ( x) 是奇函数 (2) f ( x) 在 ( ?1 , 1) 上是减函数。 (3) f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (
1 5 1 11 1 19 1 1 ) ? f( ) 2 n ? 3n ? 1
2

x? y ) ;②当 x ∈ ( ?1 , 0) 时, f ( x) ? 0 1 ? xy

3、 对一切的 x ? R 且 x ? 0 ,f ( x) ? f ( y) ? 2 f ( x ? y) , 且 x ? f ( x) ? 0 , 当 x ? 1 时,f ( x) ? 1 (1)证明 f ( x) 是奇函数 (2) f ( x) 在 (0,??) 上是减函数。

114

3、 6 第一部分
【 复

幂 函 数 走进复习 走进课堂

习 】指数函数、对数函数的定义、图象和性质。

第二部分

问题:下列函数是指数函数吗? 1、每千克蔬菜 1 元,现在购买 x 千克蔬菜,共花钱 y 元,则 y ? x 。 2、边长为 a 的正方形的面积为 s ,则 s ? a 。
2

3、棱长为 a 的正方体的体积为 V ? a 。
3

4、某人经过 t 秒行走了 1 千米,这人步行的速度为 v km / h ,则 v ?

1 ?1 ?t 。 t

【探索新知】 一、幂函数的定义

例子:1、已知函数 y ? (a 2 ? 3a ? 3) x 2a?3 (a是常数) 是幂函数,求 a 的值。

2、已知幂函数的图像过点 (2, 2 ) ,求这个函数的解析式。

二、幂函数的图像 分别在同一直角坐标系下画出下列函数的图像 1 、y?x、y?x 、y?x 、y?x 、y?x
2 3

1 2

1 3

2、 y ? x 、 y ? x

?1

?2

、y?x

?

1 2

115

二、幂函数的性质

例 1、比较大小 (1) 1.1 , 1.4
1 2 1 2

(2) 3

?

3 5

,?

?

3 5

(3) 1.4 , 1.1

1 2

1 3

例 2、已知幂函数 y ? x m 不等式 (a ? 1)
? m 3

2

?2m?3

(m ? N ? ) 图象关于 y 轴对称,且在 (0,??) 上是减函数,解

? (3 ? 2a)

?

m 3



1

例 3 、 已 知 f ( x) ? x

? n 2 ? 2 n ?3

( n ? Z ) 在 [0,??) 上 是 增 函 数 , 解 不 等 式

f ( x 2 ? x) ? f ( x ? 3) 。

116

5 例 4、证明: f ( x ) ? x 在 (0,??) 上是增函数。

3

反思总结:

问题:1、根据我们所画幂函数的图象,类比出下列函数的大致图象
4 3 3 5

y ? x3 、 y ? x4 、 y ? x5 、 y ? x3 y?x
? 4 3

、y?x

?

3 4

2、用函数单调性的定义证明幂函数的单调性。

117

第四章 函数与方程
4、1 函数的零点的概念 4、1、1 函数的零点 第一部分
1、解方程 (1) x ? 2 x ? 3 ? 0
2

走进复习

(2) x ? 2 x ? 1 ? 0
2

(3) x ? 2 x ? 3 ? 0
2

2、画函数的图象 (1) y ? x 2 ? 2 x ? 3 (2) y ? x 2 ? 2 x ? 1 (3) y ? x 2 ? 2 x ? 3

第二部分
【探索新知】 一、函数零点的概念

走进课堂

二、让学生 1、观察 (1) y ? x ? 2 x ? 3
2

(2) y ? x ? 2 x ? 1
2

(3) y ? x ? 2 x ? 3
2

的图象 2、针对 1 中三个函数计算 (1) f (?2) ? f (0) 、 f (2) ? f (4) , (2) f (0) ? f (2) , (3) f (0) ? f (2) 问题:从上面 1 和 2 中你能感悟到什么?

118

零点存在定理:

例子:求函数 f ( x) ? 2 x ? x ? 4 的零点个数。

练习:求下列函数的零点个数 (1) f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 (2) f ( x) ? lg

x ?1 ? x ?1 x ?1

反思总结:

119

4、 1、 2

用二分法求方程的近似解 走进复习

第一部分
【 复 习 】 1、函数零点的定义 2、零点存在定理 3、 f ( x) ? 2 x ? x ? 2 零点个数。

第二部分
【探索新知】

走进课堂

问题:1、如何求出 f ( x) ? 2 x ? x ? 4 的零点?

f (1) ? 1 、 f (0) ? ?1 、 x0 ? (0,1)
2、如何将 x0 所在的区间尽量缩小? x0 所在的区间缩小到什么程度为止呢? 例子、 一条长为 10 km 的供电线路中有一处出现故障, 如何迅速查出故障所在?要把故障可 50 m ~ 100 m 能发生的范围缩小到 左右,要检查多少次/ 问题:对问题 1 中的“故障”又怎样查出呢?若要求误差不超过 0.01 (精确度为 0.01 ) , 要检查几次? 寻找“故障”的过程: 1、取 a ? 0 、 b ? 1 , f (0) ? ?1 ? 0 、 f (1) ? 1 ? 0 、 f (0) ? f (1) ? 0 ,则 x0 ? (0,1)

2、取 (0,1) 的中点 0.5 , f (0.5) ? ?0.0857? 0 , f (0.5) ? f (1) ? 0 ,则 x0 ? (0.5,1)

3、 取 (0.5,1) 的中点 0.75 ,f (0.75) ? 0.4318 ? 0 ,f (0.5) ? f (0.75) ? 0 , 则 x0 ? (0.5,0.75)

4 、 取 (0.5,0.75) 的 中 点 0.6 25 , f (0.625) ? 0.1672 ? 0 , f (0.5) ? f (0.625) ? 0 , 则

x0 ? (0.5,0.625)
) 的中点 0.5625 , f (0.5625 ) ? 0.0393? 0 , f (0.5) ? f (0.5625 ) ? 0 ,则 5、取 (0.5,0.625

120

x0 ? (0.5,0.5625 )
) 的中点 0.53125 , f (0.53125 ) ? ?0.0236? 0 , 6、取 (0.5,0.5625 f (0.53125 ) ? f (0.5625 ) ? 0 ,则 x0 ? (0.53125 ,0.5625 ) ,0.5625 ) 的中点 0.546875 , f (0.546875 ) ? 0.0078? 0 , 7、取 (0.53125 f (0.53125 ) ? f (0.546875 ) ? 0 ,则 x0 ? (0.53125 ,0.546875 ) ,0.546875 ) 的中点 0.5390625 , f (0.5390625 ) ? ?0.0079? 0 , 8、取 (0.53125 f (0.5390625 ) ? f (0.546875 ) ? 0 ,则 x0 ? (0.5390625 ,0.546875 )
即 x0 ? (0.539 ,0.547) 指出:用上面的方法求方程近似解的方法叫做二分法。 1、 什么叫二分法?

2、 用二分法求方程近似解的步骤:

121

练习: 1、求 f ( x) ? x ? x ? 1 在 (0,1) 内的零点(精确到 0.1 ) 。
3

2、求 f ( x) ? x ? x ? 1在 (0,1) 内的零点(精确到 0.1 ) 。
4

反思总结:

122

4、2 一元二次方程根的问题 4、 2 、 1 一元二次方程根的分布(1) 第一部分
【 复 习 】

走进复习

1、一元二次方程的解法 (1)因式分解法 例如:解方程(1) 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 , (2) 3x 2 ? x ? 2 ? 0 (2)求根公式法 例如:解方程(1) 2 x 2 ? x ? 5 ? 0 , (2) 3x 2 ? x ? 1 ? 0 2、一元二次方程根的判别式 对一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 当△= b 2 ? 4ac ? 0 时, ax2 ? bx ? c ? 0 无实数根 当△= b 2 ? 4ac ? 0 时, ax2 ? bx ? c ? 0 有两个相等实根。 当△= b 2 ? 4ac ? 0 时, ax2 ? bx ? c ? 0 有两个不等实根。 3、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 设 x1 、 x2 是一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个根,则

x1 ? x 2 ? ?

b c , x1 ? x 2 ? a a

4、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 二次函数的性质 (1)当 a ? 0 时,图象开口向上, x ? ?
b 4ac ? b 2 , y min ? 2a 4a

当 a ? 0 时,图象开口向下, x ? ?

b 4ac ? b 2 , y max ? 2a 4a b b 4ac ? b 2 ) ,对称轴为 x ? ? , 2a 2a 4a

(2)二次函数图象是抛物线,顶点为 (? (3)当 a ? 0 时,若 x ? ? 若x ? ?

b , y 随 x 的增大而增大, 2a

b , y 随 x 的增大而减小。 2a
123

b , y 随 x 的增大而减小, 2a b 若 x ? ? , y 随 x 的增大而增大。 2a 5、一元二次不等式 应会解不等式:

当 a ? 0 时,若 x ? ?

(1) 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 (2) x 2 ? x ? 1 ? 0 (3) ? 3x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 (4) 9 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 (5) 2 x 2 ? x ? 1 ? 0

第二部分
【探索新知】

走进课堂

(一)一元二次方程根的根有正有负 例 1.已知方程 x 2 ? 2kx ? 2k 2 ? 1 ? 0 ,分别在下列情况下求实数 k 的取值范围。 ① 无实数根 ②有唯一解 ③ 有两个不等的实根

④无正根

⑤只有一个正根

⑥有两个不等正根

⑦有两个不等的非负根

⑧有一个正根一个负根,且负根的绝对值大

⑨至少有一个正根

⑩至多有一个正根

124

(二)一元二次方程的根控制在一个区间内 例 2 已知方程 x 2 ? 2kx ? 2k 2 ? 1 ? 0 ,分别在下列情况下求参数 k 的取值范围。 ①根都在( ?
1 ,4)内 2

②根都大于

1 2

例 3 已知方程 x 2 ? 2 x ? k 2 ? 1 ? 0 ,分别在下列情况下求参数 k 的取值范围。 ①在[-1,2]内无解 ②在[-1,2]内只有一个解

③在[-1,2]内有两个不同的解

④在[-1,2]内有解

反思总结:

125

第三部分 走向课外
【课后作业】
? 1.已知 A= x | x 2 ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0 , x ? R?,若 A∩ R =φ ,求实数 p 的取值范围。

?

2.当 m 为何值时,方程 x ? 2mx ? m ? 1 ? 0 的根
2 2

(1)在 ( ?2 , 4) 内;

(2)都大于 2 ?

3.方程 x ?
2

3 x ? k ? 0 在 [ ?1 , 1] 有实数解,求实数 k 的取值范围。 2

126

4、2、2 一元二次方程根的分布(2) 第一部分
【 复 习 】

走进复习

1、一元二次方程根的分布问题 ①无正根 ②只有一个正根

③有两个不等正根

④有两个不等的非负根

⑤有一个正根一个负根,且负根的绝对值大

⑥至少有一个正根

⑦至多有一个正根

⑧根都在( ?

1 ,4)内 2

⑨根都大于

1 2

2、一元二次方程根在一个区间内的问题 ①在[-1,2]内无解 ②在[-1,2]内只有一个解

③在[-1,2]内有两个不同的解 ④在[-1,2]内有解

127

第二部分
【探索新知】 (一)先求补集(补集思想)

走进课堂

例 1 、 已 知 下 列 三 个 方 程 : x 2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0 , x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 ,
x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 至少有一个方程有实根,求实数 a 的取值范围。

例 2、 已知函数 f ( x) ? 4x 2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p ? 1 在区间[ ? 1 ,1]上至少存 在一实数 c 使 f (c) >0,求实数 p 的取值范围.

(二)一元二次方程根与基本初等函数

1、方程 x ? 4 x ? 2 ? a ? 0 有实数根,求实数 a 的取值范围。

2、已知 x 2 ?

1 1 ? 2k ( x ? ) ? k 2 ? 1 ? 0 有正实数解,求实数 k 的取值范围。 2 x x

128

3.方程 9

?| x ?2|

? 4 ? 3?| x?2| ? a ? 0 有实数根,求实数 a 的取值范围。

4.若方程 (lg ax)(lgax2 ) ? 4 所有解都大于 1,求实数 a 的取值范围。

第三部分 走向课外
【课后作业】 1、当 k 为何值时, x 2 ? (k ? 1) x ? 2k ? 1 ? 0 的根 (1)都在 (1 , 4) 内; (2)一个大于 4,另一个小于 4 (3)都小于 2 ?

2、已知 ? x 2 ? 2x ? 2k ? x 2 ? 2x ? k 2 ? 11 ? 0 有两个不等实数根,求实数 k 的取 值范围。

3、若方程 [log2 (ax)] ? [log2 (ax )] ? 6 所有解都在 (2 , 8) 内 ,求实数 a 的取值范围。
2

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