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2014年人教B版数学(理)一轮复习精品训练 第8章 平面解析几何7 Word版含解析]


[命题报告· 教师用书独具]

一、选择题 y2 x2 1.抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线 5 - 4 =1 的一个焦点重合,则 该抛物线的标准方程可能是( A.x2=4y C.y2=-12x ) B.x2=-4y D.x2=-12y

解析:由题意得 c= 5+4=3,∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0,-3).∴ 该抛物线的标准

方程为 x2=12y 或 x2=-12y. 答案:D 2.(2013 年长沙模拟)过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共 点,这样的直线有( A.1 条 C.3 条 ) B.2 条 D.4 条

解析:结合图形分析可知,满足题意的直线共有 3 条:直线 x=0,过点(0,1) 且平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x=0). 答案:C 3.(2013 年郑州模拟)已知过抛物线 y2=6x 焦点的弦长为 12,则此弦所在直 线的倾斜角是( )

π 5π A.6或 6 π 2π C.3或 3

π 3π B.4或 4 π D.2

2p 6 解析:由焦点弦长公式|AB|=sin2θ得sin2θ=12, 2 π 3π ∴sin θ= 2 ,∴θ=4或 4 . 答案:B → +FB →+ 4.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若FA → =0,则|FA → |+|FB → |+|FC → |=( FC A.9 C.4 ) B.6 D.3

→ +FB → +FC → =0,可 解析:由于抛物线 y2=4x 的焦点 F 的坐标为(1,0),由FA ?3 ? → =(-1,0), → +FC → =(1,0), 取FB 此时, FA 注意到对称性, 可令 A 的坐标为?2, 6?, ? ? ?3 ? → |+|FB → |+|FC → |=2 C 的坐标为?2,- 6?.于是,可得|FA ? ? +1=6.选 B. 答案:B 5.(2012 年高考安徽卷)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( 2 A. 2 3 2 C. 2 B. 2 D.2 2 ) ?3 ? ?2-1?2+? 6?2+1=5 ? ?

解析:利用抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系求解. 如图所示,由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0), 又|AF|=3,由抛物线定义知:点 A 到准线 x=-1 的距离为 3,∴点 A 的横 坐标为 2. 将 x=2 代入 y2=4x 得 y2=8, 由图知点 A 的纵坐标 y=2 2,

∴A(2,2 2), ∴直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1). 联立直线与抛物线的方程 ?y=2 2?x-1?, ? 2 ?y =4x, ? 1 ?x= , 解之得? 2 ? ?y=- 2 ?x=2, 或? ?y=2 2.

1 ?1 ? 由图知 B?2,- 2?,∴S△AOB=2|OF|· |yA-yB|= ? ? 1 3 × 1 × |2 2 + 2| = 2 2 2.故选 C. 答案:C 二、填空题 6.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值 为________. p 解析:依题意得,直线 x=-2与圆(x-3)2+y2=16 相切,因此圆心(3,0)到直 p p 线 x=-2的距离等于半径 4,于是有 3+2=4,即 p=2. 答案:2 7.(2013 年南京模拟)已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,准线与 y 轴的交点为 M,N 为抛物线上的一点,且|NF|= 3 2 |MN|,则∠NMF=________.

3 解析:如图,过 N 作准线的垂线,垂足为 H,则|NF=|NH|= 2 |MN|, 3 ∴cos∠MNH= 2 , π π ∴∠MNH=6,∴∠NMF=6.

π 答案:6 →· → 取得 8.已知点 A(2,0),B(4,0),动点 P 在抛物线 y2=-4x 上运动,则AP BP 最小值时点 P 的坐标是________. 解析:
2 2 2 ?-y ? → ? y ? → ? y ? → → ?则AP=?- 4 -2,y?,BP 设 P? =?- 4 -4,y?,AP · BP = , y ? ? ? ? ? 4 ?

2 2 y4 5 ? y ?? y ? ?- 4 -2?· ?- 4 -4?+y2= + y2+8≥8,当且仅当 y=0 时取等号,此时点 P 的 16 2 ? ?? ?

坐标为(0,0). 答案:(0,0) 9.(2012 年高考陕西卷)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离 水面 2 m,水面宽 4 m.水位下降 1 m 后,水面宽____________m.

解析:用数形结合法. 建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0),则 A(2, -2),将其坐标代入 x2=-2py 得 p=1. ∴x2=-2y. 当水面下降 1 m,得 D(x0,-3)(x0>0),将其坐标代入 x2=-2y 得 x2 0=6,

∴x0= 6.∴水面宽|CD|=2 6 m.

答案:2 6 三、解答题 10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m) 到焦点的距离为 5,求抛物线的方程和 m 的值. ? p ? 解析: 根据已知条件, 抛物线方程可设为 y2=-2px(p>0), 则焦点 F?-2,0?. ? ? ∵点 M(-3,m)在抛物线上,且|MF|=5,得方程组
2 ?m =6p, ? ? p? ? ?-3+2?2+m2=5, ? ? ? ?

?p=4, 解得? ?m=2 6

?p=4, 或? ?m=-2 6.

∴抛物线方程为 y2=-8x,m=± 2 6. 11.(2013 年厦门模拟)如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原 点,点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜 率. 解析:(1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y2=2px(p>0). ∵点 P(1,2)在抛物线上,∴22=2p×1,解得 p=2.故所求抛物线的方程是 y2 =4x,准线方程是 x=-1.

(2)设直线 PA 的斜率为 kPA, 直线 PB 的斜率为 kPB, 则 kPA= y2-2 = (x ≠1), x2-1 2 ∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB. 由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得 y2 1=4x1,
2 y2 =4x2,

y1-2 (x ≠1), kPB x1-1 1

① ②

y1-2 y2-2 ∴1 =-1 ,∴y1+2=-(y2+2). 2 2 4y1-1 4y2-1 ∴y1+y2=-4.
2 由①-②得,y1 -y2 2=4(x1-x2),

∴kAB=

y1-y2 4 = =-1(x1≠x2). x1-x2 y1+y2

12.(能力提升)如图,过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m>0)作直 线与抛物线交于 A,B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点.

→ =λPB → (λ 为实数),证明:QP → ⊥(QA → -λQB → ); (1)设点 P 满足AP (2)设直线 AB 的方程是 x-2y+12=0,过 A,B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线,求圆 C 的方程. 解析:(1)依题意,可设直线 AB 的方程为 y=kx+m,代入抛物线方程 x2= 4y,得:x2-4kx-4m=0. ①

设 A,B 两点的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),则 x1,x2 是方程①的两根, →= 所以,x1x2=-4m.由点 P 满足AP → (λ 为实数,λ≠-1),得 λPB x1+λx2 x1 =0,即 λ=-x . 1+λ 2

→= 又点 Q 是点 P 关于原点的对称点,故点 Q 的坐标是(0,-m),从而QP (0,2m).

→ → QA-λ· QB=(x1,y1+m)-λ(x2,y2+m) =(x1-λx2,y1-λy2+(1-λ)m). →· → -λQB → )=2m[y -λy +?1-λ?m] QP (QA 1 2
2 2 x1? ? ?x1 x1 x2 ? +?1+x ?m? =2m? 4 +x · 4 ? ? 2? ? 2

x1x2+4m =2m(x1+x2)· 4x
2

-4m+4m =2m(x1+x2)· 4x =0,
2

→ ⊥(QA → -λQB → ). 所以QP ?x-2y+12=0, (2)由? 2 得点 A,B 的坐标分别是(6,9),(-4,4). ?x =4y, 1 1 由 x2=4y 得 y=4x2,y′=2x, 所以,抛物线 x2=4y 在点 A 处切线的斜率为 y′|x=6=3. 设圆 C 的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2, -9 1 ?b =-3, 则?a-6 ??a-6?2+?b-9?2=?a+4?2+?b-4?2, 3 23 125 解得:a=-2,b= 2 ,r2=(a+4)2+(b-4)2= 2 . ? 3? ? 23? 125 所以,圆 C 的方程是?x+2?2+?y- 2 ?2= 2 . ? ? ? ? [因材施教· 学生备选练习] 1.(2013 年聊城模拟)已知 A、B 为抛物线 C:y2=4x 上的不同两点,F 为抛 → → 物线 C 的焦点,若FA=-4FB,则直线 AB 的斜率为( 2 A.± 3 3 C.± 4 → =-4FB → ,∴|FA → |= 解析:∵FA → |,设|BF|=t,则|AF|=4t,如图所示,点 A、B 在抛物线 C 的准线上的 4|FB 3 B.± 2 4 D.± 3 )

射影分别为 A1、B1,过 A 作 BB1 的垂线,交线段 B1B 的延长线于点 M,则|BM| =|AA1|-|BB1|=|AF|-|BF|=3t. 又|AB|=|AF|+|BF|=5t, 4 ∴|AM|= |AB|2-|BM|2 =4t, ∴tan∠ABM=3.由对称性可知, 这样的直线 AB 4 有两条,其斜率为± 3.

答案:D 2.(2013 年郑州质检)已知抛物线 y2=4x,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A、 B 两点,过 A,B 分别作 y 轴的垂线,垂足分别为 C,D,则|AC|+|BD|的最小值 为________. 解析:由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD| 取得最小值时当且仅当 |AB|取得最小值.依抛物线定义知当 |AB|为通径,即 |AB| =2p=4 时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为 2. 答案:2


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