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2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题


2006 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
第一试
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、a,b 为实数,集合 M ? { ,1}, P ? {a , 0}, f : x ? x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合

b

a

P 中仍为 x,则 a+b 的值等于( A. -1 B

. 0 C. 1 D. ?1



2、若函数 f ( x ) 满足 f (

2 x? | x |

) ? log 2
C. 2
?x

x | x | ,则 f ( x ) 的解析式是(
?2



A. log 2 x

B. ? log 2 x

Dx

3、若关于 x 的方程 ( ) ?
x

3 2

2 ? 3a 5?a

有负数根,则实数 a 的取值范围为(



A. ( ?? , ? ) ? (5, ?? )

2 3

B. ( ?? , ? ) ? (5, ?? )

3 4

C. ( ?

2 3

, 5)

D. ( ?

2 3 , ) 3 4

{b 4、已知数列 {an }、 n } 的前 n 项和分别为 An , Bn 记 Cn ? an ? Bn ? bn ? An ? an ? bn ( n ? 1)
则数列{ C n }的前 10 项和为( ) A . A10 ? B10 B.

A10 ? B10 2

C. A10 ? B10

D.

A10 ? B10

5、如图 1,设 P 为△ABC 内一点,且 AP ? 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 A.

??? ?

? 2 ??? 1 ???? AB ? AC , 5 5

( )

1 5
3

B.

2 5
3

C.

1 4

D.

1 3

6、若 sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ? 2? 则角 ? 的取值范围是( A. [0, ) C. [

?
4

]

B. [

?
4

,? ]

? 5?
4 , 4

]

D. [

? 3?
4 , 2

)

7、袋中装有 m 个红球和 n 个白球,m>n≥4.现从中任取两球,若取出的两个球是同色的概 率等于取出的两个球是异色的概率,则满足关系 m+n≤40 的数组(m,n)的个数为 ( ) A .3 B. 4 C .5 D.6 8 、 已 知 实 系 数 一 元 二 次 方 程 x ? (1 ? a ) x ? a ? b ? 1 ? 0 的 两 个 实 根 为 x1 , x 2 且
2

0 ? x1 ? 1, x2 ? 1 则
A . ( ? 1, ? ]

b a

的取值范围是 (

) D ( ?2, ? )

1

2

B ( ?1, ? )

1

2

C ( ?2, ? ]

1

1

2

2

9、如图 2,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P 为棱 AB 上一点,过点 P 在空间作直线 l,使

l 与平面 ABCD 和平面 AB C1 D1 均成 30 角,则这样的直线 l 的条数为 ( A. 1 B .2 C. 3 D .4

0

)

10、如图 3,从双曲线

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1( a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 引圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点

为 T. 延长 FT 交双曲线右支于 P 点若 M 为线段 FP 的中点, 为坐标原点, | MO | ? | MT | O 则 与 b ? a 的大小关系为 ( ) D.不确定

A. | MO | ? | MT |? b ? a B. | MO | ? | MT |? b ? a C. | MO | ? | MT |? b ? a 二、填空题(每小题 6 分,共 30 分) 11、已知 ? 为锐角,且

cos 3? cos ?

?

1 3

,则

sin 3? sin ?

?

12、 6 根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架, 用 铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架 能容纳得下的最大球的半径为 R1 ,能包容此框架的最小球的半径为 R2 ,则

R1 R2

等于

13、设 f ( x ) 是以 2 为周期的奇函数,且 f ( ? ) ? 3 ,若 sin ? ?

2

5 5

5

则 f (4 cos 2? ) 的值

14、若 a,b,c 成等差数列,则直线 ax+by+c = 0 被椭圆 方程为

x2 2

?

y2 8

? 1 截得线段的中点的轨迹

15、设 x ? 1, y ? 1, 且 S ? min log x 2, log 2 y , log y (8 x ) ,则 S 的最大值为
2

?

?

第二试
一、(20 分)设 P ( x ? a , y1 )、 Q ( x , y 2 )、r (2 ? a , y3 ) 是函数 f ( x ) ? 2 ? a 的反函数图象上
x

三个不同点,且满足 y1 ? y3 ? 2 y2 的实数 x 有且只有一个,试求实数 a 的取值范围. 二、(20 分)已知 x、y、z 均为正数 (1)求证:

x yz

?

y zx

?

z xy

?

1 x

?

1

1 ? ; y z

(2)若 x ? y ? z ? xyz ,求 u ?

x yz

?

y zx

?

z xy

的最小值

三、(20 分)已知 sin(2? ? ? ) ? 3sin ? ,设 tan ? ? x, tan ? ? y ,记 y ? f ( x ) (1)求 f ( x ) 的表达式; (2)定义正数数列 {an }; a1 ?

1 2

2 , an ?1 ? 2 an ? f ( an )( n ? N * ) 。试求数列 {an } 的通项公式。

四、 (30 分)如图 4,△ABC 的内心为 I,过点 A 作直线 BI 的垂线,垂足为 H,设 D、E 分 别为内切圆 I 与边 BC、CA 的切点,求证:D、H、E 三点共线

五、(30 分)如图 5,已知抛物线 C: y ? 4 px ( p ? 0) ,F 为 C 的焦点,l 为准线,且 l 交 x
2

轴于 E 点,过点 F 任意作一条直线交抛物线 C 于 A、B 两点。 (1)若 AF ? ? FB ( ? ? 0) ,求证: EF ? ( EA ? ? EB ) ; (2)设 M 为线段 AB 的中点,P 为奇素数,且点 M 到 x 轴的距离和点 M 到准线 l 的距离 均为非零整数,求证:点 M 到坐标原点 O 的距离不可能是整数。

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?


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