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第5节 三角恒等变换


第5节 课时训练 【选题明细表】 知识点、方法 三角函数式的化简与求值 给值求值问题 给值求角问题 综合问题 一、选择题

三角恒等变换 练题感 提知能

题号 1、4 3、5、6、7、8、13 9、10、13 2、11、12、14、15

1.计算 sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°的值为( (A)- (B) (C) (D)1

B )

解析:sin 68°sin 67°-sin 23°cos 68°= sin 68°cos 23°-cos 68°sin 23°= sin(68°-23°)=sin 45°= . 故选 B. 2.函数 f(x)=1-2sin2x 是( D )

(A)最小正周期为 2π 的奇函数 (B)最小正周期为 2π 的偶函数 (C)最小正周期为π 的奇函数 (D)最小正周期为π 的偶函数 解析:f(x)=1-2sin2x=cos 2x,

∴f(x)是最小正周期为π 的偶函数,故选 D. 3.(2013 淄博模拟)已知 cos(α - )= ,则 sin 2α 等于( (A) (B)- (C) (D)D )

解析:法一

∵cos(α - )= ,

∴ cos α + sin α = , ∴cos α +sin α = , ∴1+sin 2α = , ∴sin 2α =- . 故选 D. 法二 sin 2α =cos(2α - ) =2cos2(α - )-1 =2×( )2-1 =- . 故选 D. 4.化简 等于( C )

(A)-2 (B)- (C)-1 (D)1

解析: 故选 C.

=

=

=-1.

5.当- ≤x≤ 时,函数 f(x)=sin x+ cos x 的( (A)最大值是 1,最小值是-1 (B)最大值是 1,最小值是(C)最大值是 2,最小值是-2 (D)最大值是 2,最小值是-1 解析:f(x)=2sin(x+ ), ∵- ≤x≤ , ∴- ≤x+ ≤ , ∴-1≤2sin(x+ )≤2. 故选 D. 6.若 cos α =- ,α 是第三象限的角,则 (A)- (B) (C)2 (D)-2 等于(

D

)

A

)

解析:因为α 是第三象限的角, 且 cos α =- , 所以 sin α =- .

= = = =- . 故选 A. 7.(2013 赣州模拟)已知 sin(α + )+cos α = 值为( (A) A (B) ) (C) (D) , , , ,则 cos( -α )的

解析:∵sin(α + )+cos α = ∴ sin α + cos α +cos α = 即 ×( sin α + cos α )= ∴sin(α + )= ,

∴cos( -α )=sin[ -( -α )]=sin(α + )= , 故选 A. 二、填空题

8.(2013 年高考新课标全国卷Ⅱ)设θ 为第二象限角,若 tan(θ + )= , 则 sin θ +cos θ = 解析:因为θ 为第二象限角, 所以 +2kπ <θ <π +2kπ ,k∈Z, 因此 π +2kπ <θ + < π +2kπ ,k∈Z, 又 tan(θ + )= , 从而 sin(θ + )<0. 所以 sin(θ + )=- , 所以 sin θ +cos θ = sin(θ + )=- . 答案:9.sin α = ,cos β = ,其中α 、β ∈(0, ),则α +β = 解析:∵sin α = ,cos β = ,α ,β ∈(0, ), ∴cos α = ,sin β = , ∴cos(α +β )= × - × =0. 又∵α +β ∈(0,π ), ∴α +β = . . .

答案: 10.设 tan α ,tan β 是方程 6x2-5x+1=0 的两根,0<α < ,π <β < ,则 α +β = .

解析:∵tan α ,tan β 是方程 6x2-5x+1=0 的两根, ∴tan α +tan β = ,tan α tan β = , ∴tan (α +β )= ∵0<α < ,π <β < , ∴π <α +β <2π , ∴α +β = . 答案: 11.已知角α 、β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α 、 β ∈(0,π ),角β 的终边与单位圆交点的横坐标是- ,角α +β 的终边 与单位圆交点的纵坐标是 ,则 cos α = 解析:依题设得, cos β =- ,∵0<β <π , ∴ <β <π ,sin β = , . =1.

又∵sin(α +β )= >0,0<α <π , ∴ <α +β <π , cos(α +β )=- . ∴cos α =cos[(α +β )-β ]= cos(α +β )cos β +sin(α +β )sin β =- × = . +×

答案: 12.(2013 年高考新课标全国卷Ⅰ)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ = 解析:f(x)=sin x-2cos x = ( sin x- cos x) = sin(x- ? ), 其中 sin ? = ,cos ? = , 当 x- ? =2kπ + (k∈Z), 即 x=2kπ + + ? 时,函数 f(x)取到最大值, 即θ =2kπ + + ? , .

所以 cos θ =-sin ? =- . 答案:三、解答题 13.(2012 洛阳模拟)已知 cos α = ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < . (1)求 tan 2α 的值; (2)求β . 解:(1)由 cos α = ,0<α < ,得 sin α = ∴tan α = = = .

= × =4 , =

于是 tan 2α = =- .

(2)由 0<β <α < ,得 0<α -β < , ∵cos(α -β )= , ∴sin(α -β )= 由β =α -(α -β ),得 cos β =cos[α -(α -β )]= cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β )= = = .

× + × =, 所以β = . 14.(2013 广东深圳第一次调研)已知函数 f(x)=2sin( + ) (0≤x≤5), 点 A、B 分别是函数 y=f(x)图象上的最高点和最低点. (1)求点 A、B 的坐标以及 · 的值;

(2)设点 A、B 分别在角α 、β 的终边上,求 tan(α -2β )的值. 解:(1)∵0≤x≤5, ∴≤ +≤ , ∴- ≤sin( + )≤1. 当 + = ,即 x=1 时, Sin( + )=1,f(x)取得最大值 2; 当 + = ,即 x=5 时, Sin( + )=- ,f(x)取得最小值-1. 因此,点 A、B 的坐标分别是 A(1,2)、B(5,-1). ∴ · =1×5+2×(-1)=3.

(2)∵点 A(1,2)、B(5,-1)分别在角α 、β 的终边上,

∴tan α =2,tan β =- . ∵tan 2β = =- ,

∴tan(α -2β )=

= .

15.(2013 天津模拟)已知函数 f(x)=2sin(x+ )cos(x+ ) -2cos2(x+ )+1. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调递增区间. 解:(1)f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )-2cos2(x+ )+1 =sin(2x+ )-cos(2x+ ) = [sin(2x+ )·cos -cos(2x+ )·sin ) = sin[(2x+ )- ) = sin(2x+ ), ∴f(x)的最小正周期 T= =π . (2)由(1)可知 f(x)= sin(2x+ ). 当- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z),

即 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z)时, 函数 f(x)= sin(2x+ )是增函数. ∴函数 f(x)的单调递增区间是[kπ - ,kπ + ](k∈Z).


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