当前位置:首页 >> 数学 >>

1978年全国统一高考数学试卷(附加题)


1978 年全国统一高考数学试卷(附加题) 一、解答题(共 7 小题,满分 100 分) 1. (14 分) (1)分解因式:x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3. (2)求 (3)求函数 y= 的定义域. ,

(4)已知直圆锥体的底面半径等于 1cm,母线的长等于 2cm,求它的体积. (5)计算: 的值.

2. (14 分)已知两数 x1,x2 满足下列条件: (1)它们的和是等差数列 1,3,…的第 20 项; (2)它们的积是等比数列 2,﹣6,…的前 4 项和. 求根为 的方程.

3. (14 分)已知:△ ABC 的外接圆的切线 AD 交 BC 的延长线于 D 点,求证:



4. (14 分) (如图)CD 是 BC 的延长线,AB=BC=CA=CD=a,DM 与 AB,AC 分别交于 M 点和 N 点,且∠BDM=α. 求证: . , .

5. (14 分)设有 f(x)=4x4﹣4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2. (p≠0)求证: 2 (1)如果 f(x)的系数满足 p ﹣4q﹣4(m+1)=0,那么 f(x)恰好是一个二次三项式的平方. (2)如果 f(x)与 F(x)=(2x2+ax+b)2 表示同一个多项式,那么 p2﹣4q﹣4(m+1)=0. 6. (14 分)已知:asinx+bcosx=0 (b2﹣a2)B+(a2+b2)C=0 ①,Asin2x+Bcos2x=C ②,其中 a,b 不同时为 0,求证:2abA+

7. (16 分)已知 L 为过点 P 等于 1 的圆,Q 表示顶点在原点而焦点是

且倾斜角为 30° 的直线,圆 C 为圆心是坐标原点且半径 的抛物线,设 A 为 L 和 C 在第三象限的交点,

B 为 C 和 Q 在第四象限的交点. (1)写出直线 L、圆 C 和抛物线 Q 的方程,并作草图. (2)写出线段 PA、圆弧 AB 和抛物线上 OB 一段的函数表达式. (3)设 P′、B′依次为从 P、B 到 x 轴的垂足,求由圆弧 AB 和直线段 BB′、B′P′、P′P、PA 所包含的 面积.

1978 年全国统一高考数学试卷(附加题) 参考答案与试题解析 一、解答题(共 7 小题,满分 100 分) 1. (14 分) (1)分解因式:x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3. (2)求 (3)求函数 y= 的定义域. ,

(4)已知直圆锥体的底面半径等于 1cm,母线的长等于 2cm,求它的体积. (5)计算: 的值.

考点: 专题: 分析:

解答:

对数函数的定义域;根式与分数指数幂的互化及其化简运算;棱柱、棱锥、棱台的体积. 计算题. (1) 把(x﹣y)看做一个整体,整式即: (x﹣y)2+2(x﹣y)﹣3 (2)应用特殊角的三角函数值. (3)分母不为 0,对数的真数大于 0. (4)先求出圆锥的高,代入体积公式计算. (5)使用分数指数幂的运算法则化简每一项,然后合并同类项. 解: (1)原式=(x﹣y)2+2(x﹣y)﹣3=(x﹣y﹣1) (x﹣y+3) (2)原式= ﹣0+1﹣ =

(3)∵25﹣5x>0,且 x+1≠0.∴x<2 且 x≠﹣1,∴所求定义域为: (﹣∞,﹣1)∪(﹣1,2) . (4) (5)原式=10?( ﹣20﹣10 ﹣2 )﹣ +30?

=10

+30

=﹣20+30?

=﹣20+

点评:

(1)体现整体的数学思想. (2)记住特殊角的三角函数值. (3)分式的分母不为 0,对数的真数大于 0. (4)直接使用圆锥的体积公式. (5)分数指数幂的运算法则的使用.本题的最后一项可能不对.

2. (14 分)已知两数 x1,x2 满足下列条件: (1)它们的和是等差数列 1,3,…的第 20 项; (2)它们的积是等比数列 2,﹣6,…的前 4 项和. 求根为 的方程.

考点: 分析: 解答:

利用导数研究函数的单调性;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 1 由等差数列通项公式求出第二十项 2 由等比数列求前 n 项和求出前四项和 3 接下来可以求解 x1,x2.也可利用技巧直接求出两根之和两根之积. 解:x1+x2=39 ①,x1x2=﹣40 ②,故 由②式得 . = 得:1/x1+1/x2=

点评:

由初中所学一元二次函数根与系数关系得所求方程为:40x2+39x﹣1=0. 本题考查数列通项公式和前 n 项和公式以及一元二次方程根与系数关系

3. (14 分)已知:△ ABC 的外接圆的切线 AD 交 BC 的延长线于 D 点,求证:



考点: 专题: 分析: 解答:

相似三角形的判定. 证明题. 由 AD 是△ ABC 的外接圆的切线得到角相等进而得两个三角形相似,可得三角形的面积比与 相似比的平方的关系,再结合三角形面积公式即可证得. 证:因为 AD 是△ ABC 的外接圆的切线, 所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD ∴ 作 AE⊥BD 于点 E, 则

点评:

故得证. 本题主要考查相似三角形的判定,在圆中找相等的角,依据是弦切角和同弧所对的圆周角相等 相等,再根据相似三角形的判定即可得到.

4. (14 分) (如图)CD 是 BC 的延长线,AB=BC=CA=CD=a,DM 与 AB,AC 分别交于 M 点和 N 点,且∠BDM=α. 求证: . , .

考点: 专题: 分析: 解答:

三角形中的几何计算. 证明题. 由题意及图形作 ME⊥DC 于 E,由△ ABC 是等边三角形,在直角△ MBE 中利用正切的定义即 可;同理,过 N 作 NF⊥BC 于 F,在直角△ NFC 中也可求得 CN. 证明:证作 ME⊥DC 于 E,由△ ABC 是等边三角形,在直角△ MBE 中, ,



,∴



类似地,过 N 作 NF⊥BC 于 F,在直角△ NFC 中,可证: 点评:

此题考查了学生的识图能力,还考查了解三角形及正切函数定义,还考查了学生的计算能力.

5. (14 分)设有 f(x)=4x4﹣4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2. (p≠0)求证: 2 (1)如果 f(x)的系数满足 p ﹣4q﹣4(m+1)=0,那么 f(x)恰好是一个二次三项式的平方. (2)如果 f(x)与 F(x)=(2x2+ax+b)2 表示同一个多项式,那么 p2﹣4q﹣4(m+1)=0. 考点: 专题: 分析:

解答:

函数与方程的综合运用. 证明题. (1)利用配方法和因式分解法的方法将该函数表达式进行因式分解. (2)利用多项式相等建立各项系数的相等关系,将无关的系数消掉,建立起字母 p,q,m 的 关系. 证明: (1) ∵ ,



=

=

= ∴f(x)等于一个二次三项式的平方 (2)∵4x4﹣4px3+4qx2+2p(m+1)+(m+1)2=(2x2+ax+b)2 =4x4﹣4ax3+(a2+4b)x2+2abx+b2,



由(1)可得 a=﹣p 代入(2)得

将 a,b 的表达式代入(3)得



点评:

∴p[p2﹣4q﹣4(m+1)]=0.∵p≠0,∴p2﹣4q﹣4(m+1)=0. 本题考查多项式的因式分解,考查待定系数法.注意配方法和分组分解因式的方法.注意多项 式相等的转化方法. ①,Asin2x+Bcos2x=C ②,其中 a,b 不同时为 0,求证:2abA+

6. (14 分)已知:asinx+bcosx=0 (b2﹣a2)B+(a2+b2)C=0 考点: 专题: 分析:

三角函数恒等式的证明. 证明题. 可先 入 ②即可得证. ,通过①可得 x=y+kπ,进而可求出 sin2x 和 cos2x 代

解答:

证明: 则①可写成 cosysinx﹣sinycosx=0, ∴sin(x﹣y)=0∴x﹣y=kπ(k 为整数) , ∴x=y+kπ 又 sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy= cos2x=cos2y=cos2y﹣sin2y= 代入②,





点评:

∴2abA+(b2﹣a2)B+(a2+b2)C=0. 本题主要考查三角函数恒等式的证明.证明此类问题时应考虑:异名化同名,异角化同角,公 式的正用、逆用、变形用.

7. (16 分)已知 L 为过点 P 等于 1 的圆,Q 表示顶点在原点而焦点是

且倾斜角为 30° 的直线,圆 C 为圆心是坐标原点且半径 的抛物线,设 A 为 L 和 C 在第三象限的交点,

B 为 C 和 Q 在第四象限的交点. (1)写出直线 L、圆 C 和抛物线 Q 的方程,并作草图. (2)写出线段 PA、圆弧 AB 和抛物线上 OB 一段的函数表达式. (3)设 P′、B′依次为从 P、B 到 x 轴的垂足,求由圆弧 AB 和直线段 BB′、B′P′、P′P、PA 所包含的 面积. 考点: 专题: 分析:

直线与圆锥曲线的综合问题;直线的一般式方程;圆的标准方程;抛物线的标准方程. 综合题;数形结合. (1)由题意代入点斜式求直线方程,代入标准式求圆的方程和抛物线的方程; (2)分别联立直线、圆和抛物线的方程,求出交点的横坐标,再通过图形表示出线段 PA、圆 弧 AB 和抛物线上 OB 一段的函数表达式,注意范围; (3)先作出图形再把图形进行分割,再由(2)求的点 A、B 的坐标求每一部分的面积,最后 再求和. 解: (1)由题意知,直线 L 的方程为 y+ = 圆 C 的方程为 x2+y2=1,抛物线 Q 的方程为 (x+ ) ,即 y= x;

解答:

草图为: (2)由 ,解得 A 点横坐标 .

∴线段 PA 的函数表达式为:



,解得 B 点横坐标



∴圆弧 AB 的函数表达式为: ∴抛物线上 OB 一段的函数表达式为: (3)如下图所求的面积为图中阴影部分, 由(2)和题意知,P'点的横坐标为﹣ ∴ 和点 P , .

∵A 点横坐标

,B 点横坐标

,∴∠AOB=

=



∴扇形 OAB 的面积为 ∴所求面积 (图中阴影部分) .

点评:

本题涉及的内容多且层次分明,考查了求直线方程、圆的方程和抛物线的方程,还把几何图形 和函数联系在一起,是一道新颖的直线与圆锥曲线综合强的题.


相关文章:
1978-1999年高考数学试题全国卷
1978-1999年高考数学试题全国卷_高考_高中教育_教育专区。1978年试题 注意事项:...附加题 问a、 b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,直线(L)与椭圆(E)总...
数学高考题(1978-1999)
数学高考题(1978-1999)_数学_高中教育_教育专区。高考真题 数学高考题(1978-...7.美国的物价从 1939 年的 100增加到四十年后 1979 年的500. 1 附加题 ...
1986年全国统一高考数学试卷(理科)
1986 年全国统一高考数学试卷(理科) 一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,...附加题: (1)求 y=xarctgx2 的导数; (2)求过点(﹣1,0)并与曲线 相切...
2015年全国统一高考数学试卷(新课标ii)附答案解析
2015 年全国统一高考数学试卷(理科) (新课标 II)一、选择题(共 12 小题,每...62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 ...
2014年全国统一高考数学试卷(文科)真题,附全网最全解析
2014 年全国统一高考数学试卷(文科) (新课标Ⅱ)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 2 1. ...
2017年全国Ⅰ卷数学高考试题(Word版,含答案)
2017 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学考生...第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。...?2.78 ,其中 x 为抽取的第 i 个零件的尺寸, ...
2016年高考试题(数学理)新课标1卷(附答案)_图文
2016年高考试题(数学理)新课标1卷(附答案)_高考_高中教育_教育专区。河南、...绝密★启封并使用完毕前 试题类型:A 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 数学...
1985年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
1985 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案考生注意:这份试题共八道大题,满分 120 分 第九题是附加题,满分王新敞奎屯 新疆 10 分,不计入总分 王...
2008高考江苏数学试卷含附加题详细答案(全word版)080616
绝密★启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数注 意 学事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共 4 页,包含填空题...
2008高考江苏数学试卷含附加题详细解答(全word版)080619
2008高考江苏数学试卷附加题详细解答(全word版)080619_数学_高中教育_教育专区。2008 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数注意 学事项 考生在答题前请...
更多相关标签: