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1978年全国统一高考数学试卷(附加题)


1978 年全国统一高考数学试卷(附加题) 一、解答题(共 7 小题,满分 100 分) 1. (14 分) (1)分解因式:x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3. (2)求 (3)求函数 y= 的定义域. ,

(4)已知直圆锥体的底面半径等于 1cm,母线的长等于 2cm,求它的体积. (5)计算: 的值.

2. (14 分)已知两数 x1,x2 满足下列条件: (1)它们的和是等差数列 1,3,…的第 20 项; (2)它们的积是等比数列 2,﹣6,…的前 4 项和. 求根为 的方程.

3. (14 分)已知:△ ABC 的外接圆的切线 AD 交 BC 的延长线于 D 点,求证:



4. (14 分) (如图)CD 是 BC 的延长线,AB=BC=CA=CD=a,DM 与 AB,AC 分别交于 M 点和 N 点,且∠BDM=α. 求证: . , .

5. (14 分)设有 f(x)=4x4﹣4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2. (p≠0)求证: 2 (1)如果 f(x)的系数满足 p ﹣4q﹣4(m+1)=0,那么 f(x)恰好是一个二次三项式的平方. (2)如果 f(x)与 F(x)=(2x2+ax+b)2 表示同一个多项式,那么 p2﹣4q﹣4(m+1)=0. 6. (14 分)已知:asinx+bcosx=0 (b2﹣a2)B+(a2+b2)C=0 ①,Asin2x+Bcos2x=C ②,其中 a,b 不同时为 0,求证:2abA+

7. (16 分)已知 L 为过点 P 等于 1 的圆,Q 表示顶点在原点而焦点是

且倾斜角为 30° 的直线,圆 C 为圆心是坐标原点且半径 的抛物线,设 A 为 L 和 C 在第三象限的交点,

B 为 C 和 Q 在第四象限的交点. (1)写出直线 L、圆 C 和抛物线 Q 的方程,并作草图. (2)写出线段 PA、圆弧 AB 和抛物线上 OB 一段的函数表达式. (3)设 P′、B′依次为从 P、B 到 x 轴的垂足,求由圆弧 AB 和直线段 BB′、B′P′、P′P、PA 所包含的 面积.

1978 年全国统一高考数学试卷(附加题) 参考答案与试题解析 一、解答题(共 7 小题,满分 100 分) 1. (14 分) (1)分解因式:x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3. (2)求 (3)求函数 y= 的定义域. ,

(4)已知直圆锥体的底面半径等于 1cm,母线的长等于 2cm,求它的体积. (5)计算: 的值.

考点: 专题: 分析:

解答:

对数函数的定义域;根式与分数指数幂的互化及其化简运算;棱柱、棱锥、棱台的体积. 计算题. (1) 把(x﹣y)看做一个整体,整式即: (x﹣y)2+2(x﹣y)﹣3 (2)应用特殊角的三角函数值. (3)分母不为 0,对数的真数大于 0. (4)先求出圆锥的高,代入体积公式计算. (5)使用分数指数幂的运算法则化简每一项,然后合并同类项. 解: (1)原式=(x﹣y)2+2(x﹣y)﹣3=(x﹣y﹣1) (x﹣y+3) (2)原式= ﹣0+1﹣ =

(3)∵25﹣5x>0,且 x+1≠0.∴x<2 且 x≠﹣1,∴所求定义域为: (﹣∞,﹣1)∪(﹣1,2) . (4) (5)原式=10?( ﹣20﹣10 ﹣2 )﹣ +30?

=10

+30

=﹣20+30?

=﹣20+

点评:

(1)体现整体的数学思想. (2)记住特殊角的三角函数值. (3)分式的分母不为 0,对数的真数大于 0. (4)直接使用圆锥的体积公式. (5)分数指数幂的运算法则的使用.本题的最后一项可能不对.

2. (14 分)已知两数 x1,x2 满足下列条件: (1)它们的和是等差数列 1,3,…的第 20 项; (2)它们的积是等比数列 2,﹣6,…的前 4 项和. 求根为 的方程.

考点: 分析: 解答:

利用导数研究函数的单调性;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 1 由等差数列通项公式求出第二十项 2 由等比数列求前 n 项和求出前四项和 3 接下来可以求解 x1,x2.也可利用技巧直接求出两根之和两根之积. 解:x1+x2=39 ①,x1x2=﹣40 ②,故 由②式得 . = 得:1/x1+1/x2=

点评:

由初中所学一元二次函数根与系数关系得所求方程为:40x2+39x﹣1=0. 本题考查数列通项公式和前 n 项和公式以及一元二次方程根与系数关系

3. (14 分)已知:△ ABC 的外接圆的切线 AD 交 BC 的延长线于 D 点,求证:



考点: 专题: 分析: 解答:

相似三角形的判定. 证明题. 由 AD 是△ ABC 的外接圆的切线得到角相等进而得两个三角形相似,可得三角形的面积比与 相似比的平方的关系,再结合三角形面积公式即可证得. 证:因为 AD 是△ ABC 的外接圆的切线, 所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD ∴ 作 AE⊥BD 于点 E, 则

点评:

故得证. 本题主要考查相似三角形的判定,在圆中找相等的角,依据是弦切角和同弧所对的圆周角相等 相等,再根据相似三角形的判定即可得到.

4. (14 分) (如图)CD 是 BC 的延长线,AB=BC=CA=CD=a,DM 与 AB,AC 分别交于 M 点和 N 点,且∠BDM=α. 求证: . , .

考点: 专题: 分析: 解答:

三角形中的几何计算. 证明题. 由题意及图形作 ME⊥DC 于 E,由△ ABC 是等边三角形,在直角△ MBE 中利用正切的定义即 可;同理,过 N 作 NF⊥BC 于 F,在直角△ NFC 中也可求得 CN. 证明:证作 ME⊥DC 于 E,由△ ABC 是等边三角形,在直角△ MBE 中, ,



,∴



类似地,过 N 作 NF⊥BC 于 F,在直角△ NFC 中,可证: 点评:

此题考查了学生的识图能力,还考查了解三角形及正切函数定义,还考查了学生的计算能力.

5. (14 分)设有 f(x)=4x4﹣4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2. (p≠0)求证: 2 (1)如果 f(x)的系数满足 p ﹣4q﹣4(m+1)=0,那么 f(x)恰好是一个二次三项式的平方. (2)如果 f(x)与 F(x)=(2x2+ax+b)2 表示同一个多项式,那么 p2﹣4q﹣4(m+1)=0. 考点: 专题: 分析:

解答:

函数与方程的综合运用. 证明题. (1)利用配方法和因式分解法的方法将该函数表达式进行因式分解. (2)利用多项式相等建立各项系数的相等关系,将无关的系数消掉,建立起字母 p,q,m 的 关系. 证明: (1) ∵ ,



=

=

= ∴f(x)等于一个二次三项式的平方 (2)∵4x4﹣4px3+4qx2+2p(m+1)+(m+1)2=(2x2+ax+b)2 =4x4﹣4ax3+(a2+4b)x2+2abx+b2,



由(1)可得 a=﹣p 代入(2)得

将 a,b 的表达式代入(3)得



点评:

∴p[p2﹣4q﹣4(m+1)]=0.∵p≠0,∴p2﹣4q﹣4(m+1)=0. 本题考查多项式的因式分解,考查待定系数法.注意配方法和分组分解因式的方法.注意多项 式相等的转化方法. ①,Asin2x+Bcos2x=C ②,其中 a,b 不同时为 0,求证:2abA+

6. (14 分)已知:asinx+bcosx=0 (b2﹣a2)B+(a2+b2)C=0 考点: 专题: 分析:

三角函数恒等式的证明. 证明题. 可先 入 ②即可得证. ,通过①可得 x=y+kπ,进而可求出 sin2x 和 cos2x 代

解答:

证明: 则①可写成 cosysinx﹣sinycosx=0, ∴sin(x﹣y)=0∴x﹣y=kπ(k 为整数) , ∴x=y+kπ 又 sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy= cos2x=cos2y=cos2y﹣sin2y= 代入②,





点评:

∴2abA+(b2﹣a2)B+(a2+b2)C=0. 本题主要考查三角函数恒等式的证明.证明此类问题时应考虑:异名化同名,异角化同角,公 式的正用、逆用、变形用.

7. (16 分)已知 L 为过点 P 等于 1 的圆,Q 表示顶点在原点而焦点是

且倾斜角为 30° 的直线,圆 C 为圆心是坐标原点且半径 的抛物线,设 A 为 L 和 C 在第三象限的交点,

B 为 C 和 Q 在第四象限的交点. (1)写出直线 L、圆 C 和抛物线 Q 的方程,并作草图. (2)写出线段 PA、圆弧 AB 和抛物线上 OB 一段的函数表达式. (3)设 P′、B′依次为从 P、B 到 x 轴的垂足,求由圆弧 AB 和直线段 BB′、B′P′、P′P、PA 所包含的 面积. 考点: 专题: 分析:

直线与圆锥曲线的综合问题;直线的一般式方程;圆的标准方程;抛物线的标准方程. 综合题;数形结合. (1)由题意代入点斜式求直线方程,代入标准式求圆的方程和抛物线的方程; (2)分别联立直线、圆和抛物线的方程,求出交点的横坐标,再通过图形表示出线段 PA、圆 弧 AB 和抛物线上 OB 一段的函数表达式,注意范围; (3)先作出图形再把图形进行分割,再由(2)求的点 A、B 的坐标求每一部分的面积,最后 再求和. 解: (1)由题意知,直线 L 的方程为 y+ = 圆 C 的方程为 x2+y2=1,抛物线 Q 的方程为 (x+ ) ,即 y= x;

解答:

草图为: (2)由 ,解得 A 点横坐标 .

∴线段 PA 的函数表达式为:



,解得 B 点横坐标



∴圆弧 AB 的函数表达式为: ∴抛物线上 OB 一段的函数表达式为: (3)如下图所求的面积为图中阴影部分, 由(2)和题意知,P'点的横坐标为﹣ ∴ 和点 P , .

∵A 点横坐标

,B 点横坐标

,∴∠AOB=

=



∴扇形 OAB 的面积为 ∴所求面积 (图中阴影部分) .

点评:

本题涉及的内容多且层次分明,考查了求直线方程、圆的方程和抛物线的方程,还把几何图形 和函数联系在一起,是一道新颖的直线与圆锥曲线综合强的题.


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