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2014-2015高中数学(北师大版)多媒体教学优质课件1.7 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质


§7 正切函数

7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质

在前两节中,我们学习了任意角的正、余弦 函数,并借助于它们的图像研究了它们的性质. 今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法, 在直角坐标系内学习任意角的正切函数.

1.了解任意角的正切函数的概念.(重点)
2.能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像.(重点)

3.根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性
质.(难点)

4.能熟练掌握正切函数的图像与性质.(重点)

探究点1 正切函数的定义
在直角坐标系中, y
P(a ,b) α OM

如果角α满足:α∈R,
α≠
? +kπ(k∈Z),那么,角 2

A
1

x

α的终边与单位圆交于点P
(a,b),唯一确定比



b. a

正切函数的定义 根据函数的定义,比值
?
2
b
a

是角α 的函数,我们

把它叫作角α 的正切函数,记作y=tanα , 其中α ∈R,α ≠ +kπ ,k∈Z.

思考1:正切函数与正弦和余弦函数有什么关系? 提示:比较正、余弦和正切的定义,不难看出:
tanα= sin
cos

a

(α∈R,α≠kπ+ ? ,k∈Z).
2

a

思考2:当角α 的终边在x轴、y轴时,正切函数值的

情况如何?
提示:当角α的终边在x轴上时,tanα=0;
b a

当角α的终边在y轴上时,a=0,比值
角α的正切值不存在.

没意义,故

这里的角是指的角的弧度数. 由此可知,正弦、余弦、正切都是以角为自 变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数 值的函数,我们统称它们为三角函数. 根据正切函数的定义,我们知道:当角在第一

和第三象限时,其正切函数值为正;当角在第二和
第四象限时,其正切函数值为负.

探究点2 正切线和正切函数的周期 正切线
如图,单位圆与x轴正半轴 的交点为A(1 ,0),任意角 α 的终边与单位圆交于点P,

过点A(1 ,0)作x轴的垂线,
与角的终边或终边的延长 线相交于T点.

从图中可以看出: 当角α 位于第一和第三象限时,T点位于x轴的上方; 当角α 位于第二和第四象限时,T点位于x轴的下方.

不论角α 的终边在第几象限,都有∠AOT与 ∠MOP的正切值相等,且角α 的正切值与有向线段 AT的值相等.因此,我们称有向线段AT为角α 的正 切线.

正切函数的周期

? ? sin x ? tan x(k为奇数), ? ? cos x 由于 tan(x ? k?) ? sin(x ? k?) ? ? ? cos(x ? k?) ? sin x ? tan x(k为偶数). ? ? cos x

? tan(x ? k?) ? tan x, 其中,x ? R, x ? ? k?, k ? Z. 2
所以 k?(k ? Z, k

? 0)

是正切函数的周期.

? 是它的最小正周期.

探究点3 正切函数的图像
作法如下: (1)作直角坐标系,并在 直角坐标系y轴左侧作单
y

位圆. (2)找横坐标
(把x轴上 ? ? 到
?
2
?

?
π 2

? 4

成8等份)

?

这一段分

O

? 4

π ?

x

(3)在单位圆右半圆中 作出正切线. (4)平移. (5)连线.

正切函数图像的简单画法: 三点两线法.
? ? 1), ( ? , ? 1) “三点”: (0,0),( , 4 4

? ? “两线”: x ? 和x ? ? 2 2
y
1

?

?
4

?

3? 2

??

?

? 2

O
-1

?
4

? 2

?

3? 2

x

思考:为什么不用五点法?

提示:因为有渐近线,只需在对称中心两侧各取一点即可.

正切曲线是由通过点 (k? ?

?
2

, 0)(k ? Z )且与 y 轴

相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成.
渐 近 线 渐 近 线

3 ? ? 2

??

O

探究点4 正切函数的性质

3 ? ? 2

??

O

函数 性质

y=tan x
? {x | x ? R, x ? ? k?, k ? Z} 2

定义域
值域

R

奇偶性
周期性

奇函数
周期kπ (k∈Z,k≠0), 最小正周期是π

单调性

? ? 在每一个区间 (? 2 ? k?, 2 ? k?)(k ? Z)

上是增加的

2 例1. 若 tanα = ,借助三角函数定义求角α 的正弦函 3
数值和余弦函数值.
2 解:因为 tanα= >0,所以α是第一象限或第三象限的角. 3

2 (1)如果α是第一象限的角,则由 tanα= 可知,角α终边上必有一点 3 y 2 13 P(3,2).所以 x=3,y=2. 因为 r=|OP|= 13 , 所以 sinα= = , r 13
x 3 13 cosα= = . r 13

y x 2 13 3 13 (2) 如果α是第三象限角,同理可得:sinα= =- , cosα= =- . r r 13 13

? 例2.求函数y ? tan (2x ? )的定义域. 4

? 解:令z ? 2x ? , 那么函数y ? tan z的定义域 4 ? ? ? 是 ? z z ? ? k?, k ? Z ? 2 ? ? ? ? 由2x ? ? z ? ? k? 可得x ? 3? ? k? , k ? Z 4 2 8 2
? 所以函数y ? tan(2x ? )的定义域为 4

?

3? k? xx? ? , k ? Z ?. 8 2

例3.比较下列每组数的大小.

(1)tan167

o

13π 11π tan() 与 tan(与 tan173 . ). (2) 4 5
o

解:(1) 因为90? ? 167? ? 173? ? 180?,
?? ? y ? tan x在 ? ,? ? 上是增加的, 所以 tan167? ? tan173?. ?2 ?

方法: 转化到同一单调区间内,利用单调性解决.

11 ? 13 2 tan(? ? ) ? tan ? . (2) tan(? ? ) ? tan , 4 4 5 5 ? 2 ? ?? 因为0 ? ? ? ? , 又y ? tan x在 ? 0, ? 上是增加的, ? 4 5 2 ? 2? ? 2 所以 tan ? tan ? , 所以 tan(? 11 ? ) ? tan(? 13 ? ). 4 5 4 5

? 例4.求函数y ? tan (x ? )的单调区间. 4
解: 设 t ? x ? ,

? ? ? ? 因为y ? tan t在开区间? - ? k? , ? k? ( ? k ? Z)上是增加的, 2 ? 2 ?

? 4

? ? ? k?,k ? Z 2 4 2 3? ? 解得 ? ? k? ? x ? ? k?,k ? Z 所以 ? ? k? ? x ?
4 4

?

?

3? ?? ? 所以函数在区间 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z 上是增加的. 4 4? ?

1. 已知 a ? tan1, b ? tan 2, c ? tan 3, 则( C )
A.a<b<c B.c<b<a C .b<c<a D. b<a<c

2.已知θ 是三角形的一个内角,且有tanθ ≥ -1,

则θ 的取值范围是 ( C )
?3 ? ? , ? A. ? 4 ? ? ?
? ?? 0, ? B. ? ? 2?

C.

? ?? ? 0, ? ? 2?

?3 ? ? , ? ? ?4 ? ?

D. 以上都不对

3.求函数 y= tan x ? 1的定义域.
解:要使函数有意义,需tan x+1≥0,

即tan x≥-1.结合正切函数的图像可知

所以函数的定义域为

? ? ? ? k? ? x ? ? k?, k ? Z, 4 2

? ? {x | ? ? k? ? x ? ? k?, k ? Z}. 4 2

1.正切函数的定义. 2.正切函数的图像. 3.正切函数的性质.
⑴ 定义域: {x | x ? ⑵ 值域:R.
? 3? 2

?

?
2

?
?

3? 2

?
2

? k ?, k ? Z }.

⑶ 周期性: 正切函数的最小正周期为?. ⑷ 奇偶性:奇函数,图像关于原点对称. ⑸ 单调性:在每一个开区间( ?
? ? ? k?, ? k?) (k ? Z)内都是增加的. 2 2

白发无凭吾老矣!青春不再汝知乎?年将 弱冠非童子,学不成名岂丈夫? ——俞良弼


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