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东北三省三校2015届高三第一次联合模拟考试数学(理)试题


东北三省三校 2015 年高三第一次联合模拟考试 理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。考试结束 后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码 区域内。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂; 非选择题必须使用 0.5 毫米

黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、 笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、 试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷(选择题
只有一项是符合题目要求的. )

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 1、已知集合 ? ? ? x ?2 ? x ? 1? , ? ? x x 2 ? 2 x ? 0 ,则 ? ? ? ? ( A. ? x 0 ? x ? 1? 2、复数 A. 2 B. ? x 0 ? x ? 1? ) B. 1 ? i C. i D. ?i C. ? x ?1 ? x ? 1?

?

?

) D. ? x ?2 ? x ? 1?

2 ?i ?( 1 ? 2i
2 ?i

?

?

3、点 ? ?1,1 ? 到抛物线 y ? ax2 准线的距离为 2 ,则 a 的值 为( A.
1 4

) B. ?
1 12

C.

1 1 或? 4 12

1 1 D. ? 或 4 12

4 、设 Sn 是公差不为零的等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且

a1 ? 0 ,若 S5 ? S9 ,则当 Sn 最大时, n ? (
A.6 D. 9 B.7

) C.10

第 1 页 共 12 页

5、执行如图所示的程序框图,要使输出的 S 值小于 1 ,则输入的 t 值不能是下面的( A. 2012 C. 2014 B. 2013 D. 2015 )



6、下列命题中正确命题的个数是(

①对于命题 p : ?x ? R ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ② p 是 q 的必要不充分条件,则 ? p 是 ? q 的充分不必要条件 ③命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 ④“ m ? ?1 ”是“直线 l1 : mx ? ? 2m ?1? y ?1 ? 0 与直线 l2 : 3x ? my ? 3 ? 0 垂直”的充要条 件 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

7、如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,若粗线画出的是某 几何体的三视图,则此几何体的体积为( A. 6 C. 10 B. 8 D. 12 )

8、 设双曲线的一个焦点为 F , 虚轴的一个端点为 ? , 焦点 F 到 一条渐近线的距离为 d ,若 F? ? 3d ,则双曲线离心率的取值范围是( A. 1, 2 ? ? )

?

B. ? ? 2, ??

?

C. ?1,3?

D. ? ? 3, ??

?

?x ? y ? 2 ? 0 ??2 ? x ? 2 9、不等式组 ? 表示的点集记为 ? ,不等式组 ? 表示的点集记为 ? , 2 ?y ? x ?0 ? y ? 4

在 ? 中任取一点 ? ,则 ??? 的概率为( A.
9 32
n

) C.
9 16

B.

7 32

D.

7 16

1? ? 10、设二项式 ? x ? ? ( n ? ?? )展开式的二项式系数和与各项系数和分别为 an , bn , 2? ?

a1 ? a2 ? ??? ? an ?( b1 ? b2 ? ??? ? bn

) B. 2 ? 2 n ?1 ? 1? C. 2 n ?1 D. 1 )

A. 2n?1 ? 3

1 5 11、已知数列 ?an ? 满足 an ? n3 ? n 2 ? 3 ? m ,若数列的最小项为 1 ,则 m 的值为( 3 4
第 2 页 共 12 页

A.

1 4

B.

1 3

C. ?

1 4

D. ?

1 3

?1 2 x ? 1 ? x ? 0? ? 12、已知函数 f ? x ? ? ? 2 ,若函数 F ? x ? ? f ? x ? ? kx 有且只有两个零点,则 ?? ln ?1 ? x ?? x ? 0 ? ?
k 的取值范围为(


? 1? B. ? 0, ? ? 2? ?1 ? C. ? ,1? ?2 ?

A. ? 0,1?

D. ?1, ?? ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13、向量 a ,b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a ? b ? 2a ? b ,则向量 a 与 b 的夹角为

?

? ?

?



14 、三棱柱 ??C ? ?1?1C1 各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直, ??C? ? 120? ,

C? ? C? ? 2 3 , ??1 ? 4 ,则这个球的表面积为



15、某校高一开设 4 门选修课,有 4 名同学,每人只选一门,恰有 2 门课程没有同学选 修,共有 种不同选课方案(用数字作答). 16、已知函数 y ? sin ?? x ? ? ? ? 2cos ?? x ? ? ? ( 0 ? ? ? ? )的图象关于直线 x ? 1 对称,则
sin 2? ?



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? 17、 (本小题满分 12 分)已知 ??? C 的面积为 2 ,且满足 0 ? ??? ?C ? 4 ,设 ?? 和 ?C 的 夹角为 ? . ?1? 求 ? 的取值范围;

? 2 ? 求函数 f ?? ? ? 2sin 2 ? ?

? ? ? ? ? 3 cos 2? 的取值范围. ?4 ?

?

18、 (本小题满分 12 分)为调查市民对汽车品牌的认可度,在秋季车展上,从有意购车 的 500 名市民中,随机抽样 100 名市民,按年龄情况进行统计的频率分布表 1 和频率分 布直方图 2.

第 3 页 共 12 页

再根据频率分布直方 ?1? 频率分布表中的①②位置应填什么数?并补全频率分布直方图, 图估计这 500 名市民的平均年龄; ? 2 ? 在抽出的 100 名市民中,按分层抽样法抽取 20 人参加宣传活动,从这 20 人中选取 2 名市民担任主要发言人,设这 2 名市民中“年龄低于 30 岁”的人数为 ? ,求 ? 的分布 列及数学期望.

19、 (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 ? ? ??CD 的底面是边长为 1 的正方形, ?? ? 底 面 ?? CD , ? 、 F 分别为 ?? 、 ? C 的中点.

? ? ? 求证: ?F// 平面 ??D ; ? ?? ? 若 ?? ? 2 ,试问在线段 ?F 上是否存在点 Q ,使得二面角
Q ? ?? ? D 的余弦值为

5 ?若存在,确定点 Q 的位置;若不存 5

在,

请说明理由.

20、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 在椭圆上,且 ?F2 与 x 轴垂直.

x2 y 2 22 ? ?1 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点为 F1 、 点? , F2 , a 2 b2

?

?

?1? 求椭圆的方程; ? 2 ? 过 ? 作直线与椭圆交于另外一点 ? ,求 ???? 面积的最大值.

第 4 页 共 12 页

21、 (本小题满分 12 分)已知 a 是实常数,函数 f ? x ? ? x ln x ? ax2 .

?1? 若曲线 y ? f ? x? 在 x ? 1 处的切线过点 ? ? 0, ?2? ,求实数 a 的值; , ? 2 ? 若 f ? x ? 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 )
? ? ? 求证: ? 2 ? a ? 0 ;
1

? ?? ? 求证: f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ? 2 .

1

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在 ??? C 中, ???C ? 90? ,以 ?? 为直径的圆 ? 交 ? C 于点 ? ,点 D 是 ? C 边的中 点,连接 ?D 交圆 ? 于点 ? . ? ? ? 求证: D ? 是圆 ? 的切线;

? ?? ? 求证: D? ? ?C ? D? ? ?C ? D? ? ?? .

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的

? 3 x? t?m ? ? 2 正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) . 1 ?y ? t ? ? 2 ? ? ? 求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程;

? ?? ? 设点 ? ? m,0? ,若直线 l 与曲线 C 交于 ? , ? 两点,且 ?? ? ?? ? 1,求实数 m 的值.
第 5 页 共 12 页

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2x ?1 ? x ? 2 .

? ? ? 解不等式 f ? x? ? 0 ; ? ?? ? 若 ?x0 ? R ,使得 f ? x0 ? ? 2m2 ? 4m ,求实数 m 的取值范围.

东北三省三校 2015 年三校第一次联合模拟考试理科数学试题 参考答案
一.选择题: 1.B 2.C 3.C 二.填空题: 13. 900 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A 9.A 10.C 11.B 12.C

14. 64 ?

15. 84

16.

?

4 5

三.解答题: 17.解: ,B,C 的对边分别为 a,b,c , (Ⅰ)设 △ ABC 中角 A 则由已知:

1 bc sin ? ? 2 , 0 ? bc cos ? ? 4 , 2

?? 4 分

可得 tan ? ? 1 ,所以: ? ? [

?? 6 分 , ). 4 2 ? ?π ?? ?π ? (Ⅱ) f (? ) ? 2sin 2 ? ? ? ? ? 3 cos 2? ? ?1 ? cos ? ? 2? ? ? ? 3 cos 2? ?2 ?? ?4 ? ? π? ? ? (1 ? sin 2? ) ? 3 cos 2? ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 1 ? 2sin ? 2? ? ? ? 1 . ?? 8 分 3? ?

? ?

第 6 页 共 12 页

? ? ? ? 2? π? ? ?? ? [ , ) ,? 2? ? ? [ , ) ,∴ 2 ≤ 2sin ? 2? ? ? ? 1 ≤ 3 . 4 2 3 6 3 3? ? 5π π 即当 ? ? 时, f (? ) max ? 3 ;当 ? ? 时, f (? ) min ? 2 . 12 4
所以:函数 f (? ) 的取值范围是 [2,3] 18.解: (1)由表知:①,②分别填 35 频率 组距
0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 20 25 30 35 40 45 50

??12 分

, 0.300 .补全频率分布直方图如下:

?? 2 分

??3 分

年龄(岁)

1 (45 ? 0.05 ? 55 ? 0.2 ? 65 ? 0.35 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.1) ? 33.5 (岁) ? 6 分 2 (2)由表知:抽取的 20 人中,年龄低于 30 岁的有 5 人, X 的可能取值为 0,1,2
平均年龄估值为:

P( X ? 0) ?

2 C 15

C2 20

?

21 38
0

P( X ? 1) ?

1 1 C5 C15 15 ? 2 38 C 20

P( X ? 2) ?

C 52 2 ? 2 C 20 38

??9 分

X 的分布列为 X

1

2

P

21 38

15 38

2 38

??10 分
21 15 2 1 期望 E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? (人) 38 38 38 2
19.证明: (Ⅰ)取 PD 中点 M , 连接 MF , MA , 在△ CPD 中, F 为

??12 分

1 1 PC 的中点, ? MF // DC ,正方形 ABCD 中 E 为 AB 中点,? AE // DC , 2 2 ? EF // AM ? AE //MF 故: EFMA 为平行四边形
又? EF ? 平面 PAD , AM ? 平面 PAD

?? 2 分

? EF // 平面 PAD
第 7 页 共 12 页

z ?? 4 分

(Ⅱ) 如图:以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系:

1 1 1 P(0, 0, 2), B(0,1, 0), C (1,1, 0), E (0, , 0), F ( , ,1) 2 2 2
由题易知平面 PAD 的法向量为 n ? (0,1,0) ,

?? 6 分
1 2

假设存在 Q 满足条件:设 EQ ? ? EF , EF ? ( , 0,1), Q(

, , ? ) , ? ? [0,1] 2 2 ??? ? ???? ? 1 ?? AP ? (0, 0, 2), AQ ? ( , , ? ), 设平面 PAQ 的法向量为 m ? ( x, y, z ) , 2 2

??? ?

??? ? ??? ?

? 1

1 ?? ? x ? y ? ? z ? 0 ?? ? m ? (1, ?? , 0) 2 ?2 ? ?z ? 0
?

??10 分

cos ? m, n ??
1 2

m?n mn

?

?? 1? ?
2

由已知:

?
1? ?
2

?

5 5
??12 分

解得: ? ?

所以:满足条件的 Q 存在,是 EF 中点。

20.(1)有已知: c ? 2 ,

b2 ? 2 a

? a ? 2 2, b 2 ? 4

故椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 8 4
1 ?2 2?2 ? 2 2 2

?? 4 分

(2)当 AB 斜率不存在时: S ?AOB ?

?? 6 分
2? ? 2 ? ?

当 AB 斜率存在时:设其方程为: y ? 2 ? k ? x ? 2 ? ? k ?

? ? ?

由?

? ? y ? kx ? ( 2 ? 2k )
2 2 ? ? x ? 2 y =8

得 2k ? 1 x ? 4
2 2

?

?

?

2 ? 2k kx ? 2

?

?

2 ? 2k

?

2

?8 ? 0

由已知: ? ? 16

?

2 ? 2k

?
2

2

k 2 ? 8 ? 2k 2 ? 1? ? ? ?

?

2 ? 2k

?

2

? 4? ? ?

? 8 2k ? 2
即: k ? ?

?

?

?0

2 2

第 8 页 共 12 页

AB ? 1 ? k 2 ?

2 2 ? 2k ? 2 2k 2 ? 1
2 ? 2k 1? k 2

??8 分

O 到直线 AB 的距离: d ?
? S ?ABC ?

1 4 AB d ? 2 2 ? 2 2 2k ? 1

??10 分

?k ? ?

2 ? 2k 2 ? 1 ? 2 2

? 2k 2 ? 1? ?1, 2 ? ? ? 2, ?? ?
?2 ? ? ? ?2, 0 ? ? ? 0, 2 ? 2k ? 1 ?
2

4

? 此时 S ?AOB ? (0,2 2 ]
综 上 所 求 : 当 AB 斜 率 不 存 在 或 斜 率 为 零 时 : ?A0 B 面 积 取 最 大 值 为 2 2

??12 分
21.解(1)由已知: f ( x) ? ln x ? 1 ? 2ax
/

( x ? 0) ,切点 P(1, a)

??1 分

切线方程: y ? a ? (2a ? 1)( x ? 1) ,把 (0, ?2) 代入得: a ? 1 (2)(Ⅰ)依题意: f ( x) ? 0 有两个不等实根 x1 , x2
/

?? 3 分

( x1 ? x2 )

设 g ( x) ? ln x ? 2ax ? 1 ①当 a ? 0 时:

则: g / ( x) ?

1 ? 2a ( x ? 0) x

g / ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 是增函数,不符合题意; ? 5 分
/

②当 a ? 0 时:由 g ( x) ? 0 得: x ? ? 列表如下:

1 ?0 2a ? 1 2a
0 极大值

x
g / ( x)
g ( x)

(0, ?

1 ) 2a ?

(?

1 , ??) 2a

?





第 9 页 共 12 页

1 1 1 ) ? ln(? ) ? 0 ,解得: ? ? a ? 0 2a 2a 2 1 综上所求: ? ? a ? 0 得证; 2
依题意: g (? (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ( x), f ( x) 变化如下:
/

?8 分

x
f / ( x)
f ( x)

(0, x1 )

x1
0

( x1 , x2 )
+ ↗

x2
0

( x2 , ??)

?


?


由表可知: f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 上为增函数,所以: f ( x2 ) ? f ( x1 ) 又 f (1) ? g (1) ? 2a ? 1 ? 0
/

?10 分

, 故 x1 ? (0,1)

?1 ? ln x1 1 , f ( x1 ) ? x1 ln x1 ? ax12 ? ? ? (x1 ln x1 ? x1 ) (0 ? x1 ? 1) 2 2 1 1 设 h( x) ? ( x ln x ? x) (0 ? x ? 1) ,则 h / ( x) ? ln x ? 0 成立,所以 h( x) 单调递减, 2 2 1 1 故: h( x) ? h(1) ? ? ,也就是 f ( x1 ) ? ? 2 2 1 综上所证: f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? 成立. ?12 分 2
由(Ⅰ)知: ax1 ? 22.选修 4-1: 几何证明选讲 证明: (Ⅰ)连结 OE . ∵点 D 是 BC 的中点,点 O 是 AB 的中点,

1 ∴ OD // ? 2 AC ,∴ ?A ? ?BOD, ?AEO ? ?EOD .
∵ OA ? OE ,∴ ?A ? ?AEO ,∴ ?BOD ? ?EOD . ? 3 分 在 ?EOD 和 ?BOD 中,∵ OE ? OB , ?EOD ? ?BOD , OD ? OD , ∴ ?EOD ≌ ?BOD , ∴ ?OED ? ?OBD ? 90? , 即 OE ? ED .

A F O M D C E

B

?? 5 分 ∵ E 是圆 O 上一点,∴ DE 是圆 O 的切线. (Ⅱ)延长 DO 交圆 O 于点 F . ∵ ?EOD ≌ ?BOD ,∴ DE ? DB .∵点 D 是 BC 的中点,∴ BC ? 2 DB .
∵ DE , DB 是圆 O 的切线,∴ DE ? DB .∴ DE ? BC ? DE ? 2 DB ? 2 DE 2 . ∵ AC ? 2OD, AB ? 2OF ,
第 10 页 共 12 页

?7 分

∴ DM ? AC ? DM ? AB ? DM ? ( AC ? AB) ? DM ? (2OD ? 2OF ) ? 2 DM ? DF . ∵ DE 是圆 O 的切线, DF 是圆 O 的割线, ∴ DE ? DM ? DF ,∴ DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB
2

??10 分

23.选修 4-4: 坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)由 ? ? 2 cos? ,得: ? ? 2 ? cos ? ,∴ x ? y ? 2 x ,即 ( x ? 1) ? y ? 1 ,
2 2 2 2 2

∴曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? y ? 1 .
2 2

?3 分

? 3 ? ?x ? 2 t ? m 由? ,得 x ? 3 y ? m ,即 x ? 3 y ? m ? 0 , ? y ? 1t ? 2 ?
∴直线的普通方程为 x ? 3 y ? m ? 0 .

?? 5 分

? 3 2 t?m ?x ? ? 3 ? ? 1 ?2 ? 2 2 2 ? (Ⅱ)将 ? 代入 ( x ? 1) ? y ? 1 ,得: ? t ? ? 1, ? 2 t ? m ? 1? ? ? ? ? ?2 ? ? y ? 1t ? 2 ?
整理得: t ? 3 (m ? 1)t ? m ? 2m ? 0 ,
2 2

由 ? ? 0 ,即 3(m ? 1) ? 4(m ? 2m) ? 0 ,解得: ? 1 ? m ? 3 .
2 2

设 t1 , t 2 是上述方程的两实根,则 t1 ? t2 ? ? 3 (m ? 1), t1t2 ? m ? 2m ,
2

?8 分

又直线过点 P (m,0) ,由上式及的几何意义得

| PA | ? | PB |?| t1t 2 |?| m 2 ? 2m |? 1 ,解得: m ? 1 或 m ? 1 ? 2 ,都符合 ? 1 ? m ? 3 ,
因此实数 m 的值为或 1 ? 2 或 1 ? 2 . 24.选修 4-5: 不等式选讲 解: (Ⅰ)当 x ? ?2 时, f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 |? 1 ? 2 x ? x ? 2 ? ? x ? 3 ,

??10 分

f ( x) ? 0 ,即 ? x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 3 ,又 x ? ?2 ,∴ x ? ?2 ;
当?2? x ?

1 时, f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 |? 1 ? 2 x ? x ? 2 ? ?3 x ? 1 , 2
第 11 页 共 12 页

1 1 1 f ( x) ? 0 ,即 ? 3 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ? ,又 ? 2 ? x ? ,∴ ? 2 ? x ? ? ; 3 2 3 1 当 x ? 时, f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 |? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 3 , 2 1 ?3 分 f ( x) ? 0 ,即 x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 3 ,又 x ? ,∴ x ? 3 . 2
综上,不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? ? ?,? ? ? (3,??) .

? ?

1? 3?

?? 5 分

? ? ? x ? 3, x ? ?2 ? 5 1 ?1? ? (Ⅱ) f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 |? ?? 3 x ? 1, ?2 ? x ? ,∴ f ( x) min ? f ? ? ? ? . 2 2 ?2? ? 1 ? x ? 3, x ? ? 2 ?
∵ ?x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 2m ? 4m ,∴ 4m ? 2m ? f ( x) min ? ?
2
2

?8 分

5 , 2

整理得: 4m ? 8m ? 5 ? 0 ,解得: ?
2

1 5 ?m? , 2 2

因此 m 的取值范围是 ? ?

? 1 5? , ?. ? 2 2?

??10 分
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